高等数学(下)无穷级数PPT通用PPT课件

1、无穷级数 无穷级数数项级数幂级数傅氏级数（数一）第十一章常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件 第一节 第十一章 一、常数项级数的概念 引例 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正边形, 这个和逼近于圆的面积 A .设 a0 表示即内接正三角形面积, ak 表示边数增加时增加的面积, 则圆内接正定义：给定一个数列将各项依即称上式为无穷级数，其中第 n 项叫做级数的一般项,级数的前 n 项和称为级数的部分和.次相加, 简记为当级数收敛时, 称差值为级数的余项.则称无穷级数发散 .显然收敛 ,则称无穷级数并称 S 为级数的和,记作例1.

2、 讨论等比级数 (又称几何级数)( q 称为公比 ) 的敛散性. 解: 1) 若从而因此级数收敛 ,从而则部分和因此级数发散 .其和为2). 若因此级数发散 ;因此n 为奇数n 为偶数从而综合 1)、2)可知,时, 等比级数收敛 ;时, 等比级数发散 .则级数成为不存在 , 因此级数发散.例2. 判别下列级数的敛散性:解: (1) 所以级数 (1) 发散 ;技巧:利用 “拆项相消” 求和(2) 所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .技巧:利用 “拆项相消” 求和二、无穷级数的基本性质 性质1. 若级数收敛于 S ,则各项乘以常数 c 所得级数也收敛 ,说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不

3、变 .即其和为 c S .性质2. 设有两个收敛级数则级数也收敛, 其和为说明:(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则必发散 . 但若二级数都发散 ,不一定发散.例如, (1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 .性质3.在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级数的敛散性.性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和.推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散.注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.但发散.例如，三、级数收敛的必要条件 性质5、设收敛级数则必有可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 .例如,其一般项为不趋于0,因此这个级数发散.注意:并非级

4、数收敛的充分条件.例如, 调和级数虽然但此级数发散 .事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则但矛盾!所以假设不真 .二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛 第二节一、正项级数及其审敛法常数项级数的审敛法 第十一章 一、正项级数及其审敛法若定理 1. 正项级数收敛部分和序列有界 .则称为正项级数 .定理2 (比较审敛法)设且存在对一切有(1) 若强级数则弱级数(2) 若弱级数则强级数则有收敛 ,也收敛 ;发散 ,也发散 .是两个正项级数, (常数 k 0 ),例1. 讨论 p 级数(常数 p 0)的敛散性. 解: 1) 若因为对一切而调和级数由比较审敛法可知 p 级数发散 .发散 ,

5、因为当故考虑强级数的部分和故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .时,2) 若调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.若存在对一切证明级数发散 .证: 因为而级数发散根据比较审敛法可知,所给级数发散 .例2.定理3. (比较审敛法的极限形式)则有两个级数同时收敛或发散 ;(2) 当 l = 0 (3) 当 l = 设两正项级数满足(1) 当 0 l 时,是两个正项级数, (1) 当 时,两个级数同时收敛或发散 ;特别取可得如下结论 :对正项级数(2) 当 且 收敛时,(3) 当 且 发散时, 也收敛 ;也发散 .的敛散性. 例3. 判别级数的敛散性 .解: 根据比较审敛法的极限形式

6、知例4. 判别级数解:根据比较审敛法的极限形式知定理4 . 比值审敛法 ( Dalembert 判别法)设 为正项级数, 且则(1) 当(2) 当时, 级数收敛 ;或时, 级数发散 .说明: 当时,级数可能收敛也可能发散.例如, p 级数但级数收敛 ;级数发散 .例5. 讨论级数的敛散性 .解: 根据定理4可知:级数收敛 ;级数发散 ;例6. 讨论级数的敛散性 .定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法)设 为正项级则数, 且时 , 级数可能收敛也可能发散 .例如 , p 级数 说明 :但级数收敛 ;级数发散 .例7. 讨论级数的敛散性 .例8. 讨论级数的敛散性 .二 、交错级数及其审敛

7、法 则各项符号正负相间的级数称为交错级数 .定理6 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件:则级数收敛 , 且其和 其余项满足收敛收敛用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?发散收敛收敛三、绝对收敛与条件收敛 定义: 对任意项级数若若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级收敛 ,数为条件收敛 .均为绝对收敛.例如 ：绝对收敛 ；则称原级数条件收敛 .定理7. 绝对收敛的级数一定收敛 .说明：上述逆定理不一定成立。即发散发散例9. 证明下列级数绝对收敛 :证: (1)而收敛 ,收敛因此绝对收敛 .(2) 令因此

8、收敛,绝对收敛.内容小结1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2. 利用正项级数审敛法必要条件不满足发 散满足比值审敛法根值审敛法收 敛发 散不定 比较审敛法用它法判别积分判别法部分和极限3. 任意项级数审敛法为收敛级数Leibniz判别法:则交错级数收敛概念:绝对收敛条件收敛例1、（06，一，三）若则级数（ ）A、B、C、D、例2、（05，三）设若则下列结论正确的是（ ）A、B、C、D、第三节一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算 幂级数 第十一章 一、 函数项级数的概念设为定义在区间 I 上的函数项级数 .对若常数项级数敛点,所有收敛点的全体称为其收敛域 ;若常数

9、项级数为定义在区间 I 上的函数, 称收敛,发散 ,所有为其收 为其发散点, 发散点的全体称为其发散域 .为级数的和函数 , 并写成若用令余项则在收敛域上有表示函数项级数前 n 项的和, 即在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数 称它例如, 等比级数它的收敛域是它的发散域是或写作又如, 级数级数发散 ;所以级数的收敛域仅为有和函数 二、幂级数及其收敛性 形如的函数项级数称为幂级数, 其中数列下面着重讨论例如, 幂级数为幂级数的系数 .即是此种情形.的情形, 即称 发 散发 散收 敛收敛发散定理 1. ( Abel定理 ) 若幂级数则对满足不等式的一切 x 幂级数都绝对收敛.反之, 若当的一

10、切 x , 该幂级数也发散 . 时该幂级数发散 ,则对满足不等式幂级数在 (, +) 收敛 ;由Abel 定理可以看出, 中心的区间. 用R 表示幂级数收敛与发散的分界点,的收敛域是以原点为则R = 0 时,幂级数仅在 x = 0 收敛 ;R = 时,幂级数在 (R , R ) 收敛 ;(R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域.R 称为收敛半径 ， 在R , R 可能收敛也可能发散 .外发散;在(R , R ) 称为收敛区间.发 散发 散收 敛收敛发散定理2. 若的系数满足1) 当 0 时,2) 当 0 时,3) 当 时,则 的收敛半径为说明:据此定理对端点 x =1, 的收敛半径及收敛域.

11、解:对端点 x = 1, 级数为交错级数收敛; 级数为发散 . 故收敛域为例1.求幂级数 例2. 求下列幂级数的收敛域 :解: (1)所以收敛域为(2)所以级数仅在 x = 0 处收敛 .规定: 0 ! = 1例3.的收敛半径 .解: 级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2,比值审敛法求收敛半径.时级数收敛时级数发散 故收敛半径为 故直接由例4.的收敛域.解: 令 级数变为当 t = 2 时, 级数为此级数发散;当 t = 2 时, 级数为此级数条件收敛;因此级数的收敛域为故原级数的收敛域为即三、幂级数的运算定理3. 设幂级数及的收敛半径分别为令则有 :其中说明:两个幂级数相除所得幂级数的收敛半

12、径可能比原来两个幂级数的收敛半径小得多.例如, 设 它们的收敛半径均为但是其收敛半径只是 定理4 若幂级数的收敛半径则其和函在收敛域上连续,且在收敛区间内可逐项求导与逐项求积分,运算前后收敛半径相同: 注: 逐项积分时, 运算前后端点处的敛散性不变.例5. 求级数的和函数解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 , 及收敛 , 因此由和函数的连续性得:而及内容小结1. 求幂级数收敛域的方法1) 对标准型幂级数先求收敛半径 , 再讨论端点的收敛性 .2) 对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式)求收敛半径时直接用比值法或根值法,2. 幂级数的性质两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与也可通过换元化为标

13、准型再求 .乘法运算. 2) 在收敛区间内幂级数的和函数连续;3) 幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分.第四节两类问题:在收敛域内和函数求 和展 开本节内容:一、泰勒 ( Taylor ) 级数 二、函数展开成幂级数 函数展开成幂级数 第十一章 一、泰勒 ( Taylor ) 级数 其中( 在 x 与 x0 之间)称为拉格朗日余项 .则在若函数的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 ,该邻域内有 :为f (x) 的泰勒级数 . 则称当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 .1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？2) 在收敛域上 , 和函数是否

14、为 f (x) ?待解决的问题 :若函数的某邻域内具有任意阶导数, 定理1 .各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足:设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 内具有定理2.若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同.二、函数展开成幂级数 1. 直接展开法由泰勒级数理论可知, 第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ;第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ; 第三步 判别在收敛区间(R, R) 内是否为骤如下 :展开方法直接展开法 利用泰勒公式间接展开法 利

15、用已知其级数展开式0. 的函数展开例1. 将函数展开成 x 的幂级数. 解: 其收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项满足故( 在0与x 之间)故得级数 当 m = 1 时2. 间接展开法利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 例4. 将函数展开成 x 的幂级数.解: 因为把 x 换成, 得将所给函数展开成 幂级数. 例5. 将函数展开成 x 的幂级数.解: 从 0 到 x 积分, 得定义且连续, 区间为利用此题可得上式右端的幂级数在 x 1 收敛 ,所以展开式对 x 1 也是成立的,于是收敛例6. 将展成解: 的幂级数. 例7. 将展成 x1 的幂级数. 解: (06,一)将展成关于

16、x的幂级数内容小结1. 函数的幂级数展开法(1) 直接展开法 利用泰勒公式 ;(2) 间接展开法 利用幂级数的性质及已知展开2. 常用函数的幂级数展开式式的函数 .当 m = 1 时第七节一、三角级数及三角函数系的正交性 二、函数展开成傅里叶级数三、正弦级数和余弦级数 第十一章 傅里叶级数 一、三角级数及三角函数系的正交性简单的周期运动 :(谐波函数)( A为振幅, 复杂的周期运动 :令得函数项级数为角频率,为初相 )(谐波迭加)称上述形式的级数为三角级数.定理 1. 组成三角级数的函数系证:同理可证 :正交 ,上的积分等于 0 .即其中任意两个不同的函数之积在上的积分不等于 0 .且有 但是

17、在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 二、函数展开成傅里叶级数定理 2 . 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且右端级数可逐项积分, 则有叶系数为系数的三角级数 称为的傅里叶系数 ;由公式 确定的的傅里的傅里叶级数 .称为函数以定理3 (收敛定理, 展开定理)设 f (x) 是周期为2的周期函数,并满足狄利克雷( Dirichlet )条件:1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有 x 为间断点其中为 f (x) 的傅里叶系数 . x 为连续点注意: 函数展成傅里叶级数的条件比展成幂级数的条件低

18、得多.例1. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 上的表达式为解: 先求傅里叶系数将 f (x) 展成傅里叶级数. 1) 根据收敛定理可知,时,级数收敛于2) 傅氏级数的部分和逼近说明:f (x) 的情况见右图.例2.上的表达式为将 f (x) 展成傅里叶级数. 解: 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 说明: 当时, 级数收敛于周期延拓傅里叶展开上的傅里叶级数定义在 ,上的函数 f (x)的傅氏级数展开法其它例3. 将函数级数 .则解: 将 f (x)延拓成以 展成傅里叶2为周期的函数 F(x) , 利用此展式可求出几个特殊的级数的和.当 x = 0 时, f (0) = 0 , 得说明:设已知又三、正弦级数和余弦级数1. 周期为2 的奇、偶函数的傅里叶级数定理4 . 对周期为 2 的奇函数 f (x) , 其傅里叶级数为周期为2的偶函数 f (x) , 其傅里叶级数为余弦级数 ,它的傅里叶系数为正弦级数,它的傅里叶系数为例4. 设的表达式为 f (x)x ,将 f (x) 展成傅里叶级数.是周期为2 的周期函数,它在解: 若不计周期为 2 的奇函数, 因此n1根据收敛定理可得 f (x) 的正弦级数:级数的部分和 n2n3n4逼近 f (x) 的情况见右图.n5例5. 将周期函数展成傅里叶级数, 其中E 为