第2章随机变量及其分布第4节综合讲练(2)

1、概率论与数理统计 第2章 随机变量及其分布 第4节 连续型随机变量及其概率分布 综合讲练（2）、全面学习基本内容（见教材、课件）、概括内容提要（见教材、课件）、归纳常见题型（必做题）题型二 利用常用连续型随机变量的概率密度函数（分布函数）、性质与直观模式，求解有关问题【例4】（教材P45例2），【例5】（教材P46例3），【例6】（教材P48例4），【例7】（第2版课件补充）【例8】（教材P48例5），【例9】（第2版课件补充），【例10】（教材P48例6）；【§2.4 课堂练习2】，【§2.4 课堂练习2】；【补例2.4.5】【补例2.4.9】；【第二章考研真题2】.【习

2、题2-4 EX5】【习题2-4 EX15】；【总习题二 EX13】【总习题二 EX16】.题型二 利用常用连续型随机变量的概率密度函数（分布函数）、性质与直观模式，求解有关问题l 提示（1）熟记常用连续型随机变量的概率密度函数（分布函数）、直观模式表（见课件光盘）；（2）熟记常用连续型随机变量的概率密度函数（分布函数）的性质（补充）；（3）复习§2.1、§2.2及第1章中的有关知识（够用为度，缺什么补什么）.此类问题多为综合应用问题要诀：先设随机变量（问什么设什么）； 后套用常用随机变量的概率密度函数（分布函数）的性质与直观模式l 辨析常用连续型随机变量的概率密度函数（分布

3、函数）的性质1、如果，则 （通常称为的标准化随机变量） （参见P48定理1）2、如果， （ ，为常数，且 ），则 （证明类似P48定理1）3、如果，与分别为其分布函数与概率密度函数，与分别为标准正态分布的分布函数与概率密度函数，则（1） （ ） （参见P48（2）（2） （ ）4、如果，则对任意实数 （1） P48(3)（2） （3） （ ，为常数 ） P48(3)是连续型 左端不等式中，可任意添加或去掉等号5、如果，则对任意实数（1） P48(1)l 注意如果，可直接查P288附表3如果， 如果， （2）（3） （ ，为常数 ） P48(2)是连续型 左端不等式中，可任意添加或去掉等号6、如

4、果，则的取值遵循“原则” ：的取值几乎必然落入区间内，且其取值的概率“中间大、两头小，左右对称” P50即是连续型 左端不等式中，可任意添加或去掉等号7、如果，则的取值落在区间的子区间的的概率与该区间长度成正比，且 它反映了的在点附近（而非单个点）取值的可能性的均等.8、如果，则对任意正数和，有 （参见P46(2)）是连续型 不等式中，可任意添加或去掉等号l 注意指数分布具有“无记忆性” ：在取值大于的条件下，取值大于的概率等于取值大于的概率，与起点无关，只与间隔有关）l 注意一般教材中，如果，其分布函数与概率密度函数分别记为： 与标准正态分布的分布函数与概率密度函数分别记为：与本教材中，如果

5、，其分布函数与概率密度函数分别记为： 与标准正态分布的分布函数与概率密度函数分别记为：与【例4】（教材P45例2）【辨析】利用均匀分布【例5】（教材P46例3）【辨析】利用指数分布、事件独立性求概率设事件 第个元件使用1000小时后未损坏 三个这样的元件使用1000小时后，至少已有一个损坏 = 1- 三个这样的元件使用1000小时后，均未损坏 【例6】（教材P48例4）【辨析】利用正态分布的有关结论如果，则对任意实数 （1） P48(3)（2） （3）（ ，为常数 ） P48(3)是连续型 左端不等式中，可任意添加或去掉等号【例7】（第2版课件补充）【辨析】利用正态分布的有关结论如果，则对任意

6、实数 （1） P48(3)（2） （3）（ ，为常数 ） P48(3)是连续型 左端不等式中，可任意添加或去掉等号【例8】（教材P48例5）【辨析】利用正态分布的有关结论如果，则对任意实数 （1） P48(3)（2） （3）（ ，为常数 ） P48(3)是连续型 左端不等式中，可任意添加或去掉等号【例9】（第2版课件补充）【辨析】利用正态分布的有关结论、全概率公式、Bayes公式设事件 该电子元件损坏 （“结果” ）显然，由个“原因”引发： 电源电压处在 电源电压处在 电源电压处在 注意到、构成一个完备事件组又是，由题设知电源电压 （ ）故 简化计算 或 较繁 由题设还知于是，所求事件的概率为

7、（1）求出该电子元件损坏的概率（2）求出该电子元件损坏时，电源电压处在的概率由（1）知 分子为分母的第2项【例10】（教材P48例6）【辨析】利用正态分布的有关结论如果，则对任意实数 （1） P48(3)（2） （3）（ ，为常数 ） P48(3)是连续型 左端不等式中，可任意添加或去掉等号【§2.4 课堂练习1】【辨析】利用正态分布的有关结论如果，则对任意实数 （1） P48(3)（2） （3）（ ，为常数 ） P48(3)是连续型 左端不等式中，可任意添加或去掉等号【§2.4 课堂练习2】【辨析】利用正态分布的有关结论如果，则对任意实数 （1） P48(3)（2） （3

8、）（ ，为常数 ） P48(3)是连续型 左端不等式中，可任意添加或去掉等号【习题2-4 EX5】【辨析】利用均匀分布、二项分布问题归结为求下列事件的概率： 在车站候车的10位乘客中，只有1位等待时间超过4分钟 = 在车站候车的10位乘客中，等待时间超过4分钟乘客数 = 设在车站候车的10位乘客中，等待时间超过4分钟乘客数为（单位：人），（在重试验中，事件（某乘客等待时间超过4分钟）恰好发生的次数），于是则的概率分布为在重试验中，事件恰好发生次 其中， 又，由题设知，某公共汽车站每5分钟有一辆车到达，而乘客在5分钟内任一时刻到达是等可能的（即上一班车到达时刻为第0分钟（已走），下一班车到达时刻

9、为第5分钟），设乘客到达时刻为（单位：分钟），注意到等可能地在闭区间内单位长度上取值，则由均匀分布的典型模式知即，的分布函数与密度函数分别为于是, 某乘客等待时间超过4分钟的概率为所以，在车站候车的10位乘客中，只有1位等待时间超过4分钟的概率为【习题2-4 EX6】【辨析】利用正态分布的有关结论1、如果，则 （通常称为的标准化随机变量） （参见P48定理1）2、如果，则对任意实数 （1） P48(3)（2） （3）（ ，为常数 ） P48(3)是连续型 左端不等式中，可任意添加或去掉等号3、如果，则对任意实数（1） P48(1)l 注意如果，可直接查P288附表3如果， 如果， （2）（3）

10、 （ ，为常数 ） P48(2)是连续型 左端不等式中，可任意添加或去掉等号【推导】（1）由于查附表3，得故取解出（2）由于 不能查附表3，查附表3，得故取解出【习题2-4 EX7】【辨析】利用正态分布、二项分布用泊松分布近似问题归结为求下列事件的概率： 100次独立重复测量中，至少有3次测量误差的绝对值大于19.6 = 100次独立重复测量中测量误差的绝对值大于19.6的测量次数 = 设100次独立重复测量中测量误差的绝对值大于19.6的测量次数为（单位：次），（在重试验中，事件（某次测量误差的绝对值大于19.6）恰好发生的次数），于是则的概率分布为在重试验中，事件恰好发生次 （精确值） 其

11、中，先求出 某次测量误差的绝对值大于19.6 由题设知，测量误差 （， ）于是 某次测量误差的绝对值大于19.6 所以，至少有3次测量误差的绝对值大于19.6的概率为由、式，得 100次独立重复测量中，至少有3次测量误差的绝对值大于19.6 = 100次独立重复测量中测量误差的绝对值大于19.6的测量次数 精确值不易求解近似值易于求解【习题2-4 EX8】【辨析】利用正态分布的有关结论如果，则对任意实数 （1） P48(3)（2） （3）（ ，为常数 ） P48(3)是连续型 左端不等式中，可任意添加或去掉等号【习题2-4 EX9】【辨析】利用正态分布的有关结论1、如果，则 （通常称为的标准化

12、随机变量） （参见P48定理1）2、如果，则对任意实数 （1） P48(3)（2） （3）（ ，为常数 ） P48(3)是连续型 左端不等式中，可任意添加或去掉等号3、如果，则对任意实数（1） P48(1)l 注意如果，可直接查P288附表3如果， 如果， （2）（3） （ ，为常数 ） P48(2)是连续型 左端不等式中，可任意添加或去掉等号【习题2-4 EX10】【辨析】利用正态分布的有关结论1、如果，则 （通常称为的标准化随机变量） （参见P48定理1）2、如果，则对任意实数 （1） P48(3)（2） （3）（ ，为常数 ） P48(3)是连续型 左端不等式中，可任意添加或去掉等号3、

13、如果，则对任意实数（1） P48(1)l 注意如果，可直接查P288附表3如果， 如果， （2）（3） （ ，为常数 ） P48(2)是连续型 左端不等式中，可任意添加或去掉等号【习题2-4 EX11】【辨析】利用正态分布的有关结论1、如果，则 （通常称为的标准化随机变量） （参见P48定理1）2、如果，则对任意实数 （1） P48(3)（2） （3）（ ，为常数 ） P48(3)是连续型 左端不等式中，可任意添加或去掉等号3、如果，则对任意实数（1） P48(1)l 注意如果，可直接查P288附表3如果， 如果， （2）（3） （ ，为常数 ） P48(2)是连续型 左端不等式中，可任意添加

14、或去掉等号【习题2-4 EX12】【辨析】利用正态分布的有关结论1、如果，则 （通常称为的标准化随机变量） （参见P48定理1）2、如果，则对任意实数 （1） P48(3)（2） （3）（ ，为常数 ） P48(3)是连续型 左端不等式中，可任意添加或去掉等号3、如果，则对任意实数（1） P48(1)l 注意如果，可直接查P288附表3如果， 如果， （2）（3） （ ，为常数 ） P48(2)是连续型 左端不等式中，可任意添加或去掉等号【习题2-4 EX13】【辨析】利用指数分布、二项分布问题归结为求下列事件的概率： 顾客一个月要去等待5次，他未等到服务而离开的次数 = （）设顾客一个月要去

15、等待5次，他未等到服务而离开的次数为（单位：次），（在重试验中，事件（他未等到服务而离开）恰好发生的次数），于是则的概率分布为在重试验中，事件恰好发生次 其中， 又，由题设知， 即，的分布函数与密度函数分别为于是, 某乘客等待时间超过4分钟的概率为故，的概率分布为 所以，顾客一个月要去等待5次，他未等到服务而离开的次数的概率为【习题2-4 EX14】【辨析】利用指数分布、事件的独立性由题设知，的密度函数为于是即，的分布函数为 于是, 某在仪器使用的最初200小时内，第个电子元件损坏的概率为【习题2-4 EX15】【辨析】利用指数分布、二项分布、全概率公式问题归结为求下列事件的概率： 该厂新生产

16、的台仪器中，能出厂的仪器数 = （）设该厂新生产的台仪器中，能出厂的仪器数为（单位：台），（在重试验中，事件（某台仪器能出厂）恰好发生的次数），于是则的概率分布为在重试验中，事件（某台仪器能出厂）恰好发生次 其中，为正整数，注意到事件（某台仪器能出厂）“结果”显然，由个“原因”引发： 可直接出厂 = 寿命大于2 需进一步加工 = 寿命小于或等于2 注意到（为对立事件）构成一个完备事件组.于是，事件（某台仪器能出厂）的概率为 实际含义？其中，由题设知，某工厂生产的仪器使用寿命（设为）服从参数为1的指数分布，即即，的分布函数与密度函数分别为于是, 某工厂生产的仪器使用寿命大于2的概率为某工厂生产的

17、仪器使用寿命不大于2的概率为 故，能出厂的仪器数的概率分布为 其中，为正整数（1）利用能出厂的仪器数的概率分布，求出台仪器能全部出厂的概率（2）利用能出厂的仪器数的概率分布，求出恰有2台仪器能不能出厂的概率（即，恰有台仪器能出厂）的概率（3）利用能出厂的仪器数的概率分布，求出至少有两台仪器不能出厂（即，至多有台仪器能出厂）的概率【总习题二 EX13】【辨析】利用均匀分布【总习题二 EX14】【辨析】利用正态分布的有关结论由于不能查附表3，查附表3，得故取 【总习题二 EX15】【辨析】利用泊松分布、指数分布（1）服从参数为的泊松分布（），即的分布律为的分布函数为所以服从参数为的指数分布()l

18、注意年的时间间隔内发生地震的次数服从参数为的泊松分布（）连续两次地震之间间隔的时间服从参数为的指数分布()（2） 今后3年内再次发生地震 = 连续两次地震之间间隔的时间 （3） 今后3年到5年内再次发生地震 = 连续两次地震之间间隔的时间【总习题二 EX16】【辨析】利用指数分布、全概率公式、Bayes公式（1）设备寿命超过1的概率设事件（设备寿命超过1）“结果”显然，由3个“原因”引发： 一台设备中有个二等品 （）注意到构成一个完备事件组.于是，事件（设备寿命超过1）的概率为实际含义？其中，由题设知，若一台设备中有个二等品，则该设备的使用寿命（设为），即的分布函数与密度函数分别为于是,用分布

19、函数求出（最简）l 另解用密度函数求出（较繁）（2）已知设备寿命超过1，则安装在设备上的两个零件都是一等品（二等品数为0）的概率【补例2.4.5】某班数学考试成绩呈正态分布，老师将最高成绩的定为优秀，那么成绩为优秀的最少成绩是多少？【解】利用正态分布的有关结论设某班数学考试成绩为（分），则 （， ）又设成绩为优秀的最少成绩为（分），依题意（最高成绩的定为优秀），即某班数学考试成绩定为优秀即 查附表3，得所以解出 （分）即，成绩为优秀的最少成绩是86.4分【补例2.4.6】公共汽车车门的高度，是按男子与车门碰头的机会在0.01以下设计的，设男子的身高服从，的正态分布，问车门的高度应如何确定？【解

20、】利用正态分布的有关结论设男子的身高为（厘米），则 （， ）又设车门的高度为（厘米），依题意（车门的高度，是按男子与车门碰头的机会在0.01以下设计的），即 男子与车门碰头 男子的身高 车门的高度 查附表2，得，所以解出 （厘米）即，车门的高度应为（厘米），才能使男子与车门碰头的机会在0.01以下.【补例2.4.7】（填空题）如果，则 【分析与答案】利用正态分布的有关结论因，故 教材上有误l 注意如果，则的取值遵循“原则”：的取值几乎必然落入区间内，且其取值的概率“中间大、两头小，左右对称” ，即【补例12】设，试求：（1）（2）决定，使【解】利用正态分布的有关结论注意到 （， ）（1） （2

21、）因 查附表3，得即解出l 另解根据正态分布密度函数关于直线的对称性，在两边的概率相等，面积 面积故【补例2.4.8】在某公共汽车站甲、乙、丙三人分别等1、2、3路公共汽车。设每人等车时间（更正：某人到达车站的时刻）（单位：（分钟）均服从在上的均匀分布，求3人中至少有2个人等车时间不超过2（分钟）的概率. 【解】利用二项分布、均匀分布问题归结为求下列事件的概率 3人中至少有2个人等车时间不超过2（分钟）= 3人中等车时间不超过2（分钟）的人数 = 补设为3人中等车时间不超过2（分钟）的人数（在重试验中，事件恰好发生的次数，事件= 某人等车时间不超过2（分钟） ）于是 （ ， 未知）即，的分布律为 （ ， 未知）（ ； ， ） 先