沪科初中数学八上《命题与证明》教案

1、13.2 命题与证明第 1课时命题与证明( 一 )教学目标【知识与技能】1. 理解真命题、假命题、公理、原命题、逆命题等概念.2. 会判断一个命题的真假, 能区分公理、定理和命题.3. 理解证明的含义, 体验证明的必要性和数学推理的严密性.【过程与方法】1. 通过一些简单命题的证明, 训练学生的逻辑推理能力.2. 根据命题的证明需要, 要求学生画出图形, 写出已知、求证, 训练学生将命题转化为数学语言的能力.【情感、态度与价值观】1. 通过对命题真假的判断, 培养学生科学严谨的学习态度和求真务实的作风.2. 让学生积极参与数学活动, 对数学定理、命题的由来产生好奇心和求知欲, 让学生认识数学与

2、人类生活的密切联系, 提高学生学习数学的积极性.重点难点【重点】学习命题的概念和命题、公理、定理的区分.【难点】严密完整地写出推理过程.教学过程一、创设情境, 导入新知教师多媒体出示:有一根比地球赤道长im勺铜线将地球赤道绕一圈，想一想，铜线与地球赤道之间的空隙有多大?能放进一颗枣吗?能放进一个苹果吗?学生交流讨论后回答.生甲 : 都放不进去.生乙: 枣能放进, 苹果放不进.生丙: 都能放进.师：我们现在用这个式子来算,设赤道的长为C,则铜线与地球赤道之间的间隙是-=-0.26(m), 可见 , 枣和苹果都能放进去. 通过这个例子, 你们受到了什么启发?生 : 有些东西想象的或感觉的不一定可靠

3、, 要具体分析.师 : 对 , 我们要做到有理有据.上一节研究三角形的性质时, 我们通过折叠、剪拼、度量等方法得到三角形的内角和是180 , 但对这种方法, 有的同学提出这样的疑问:在剪拼时, 发现三个内角难以拼成一个平角, 只是接近180的某个值;度量三个角, 然后相加, 不一定能准确地得到180.这两种情况怎么解释呢?学生思考、交流、讨论.师 : 是这样的, 研究几何图形时, 从观察和实验得到的认识, 有时会有误差, 难以使人确信其结果一定正确. 因此 , 就得在观察的基础上有理有据地说明理由, 这就是说, 要判断数学命题的真假, 需要做必要的逻辑推理.二、共同探究, 获取新知师 : 推理

4、是一种思维活动, 人们在思维活动中, 常常要对事物的情况做出种种判断.教师多媒体出示:(1) 长江是中国第一大河;(2)如果/ 1和/ 2是对顶角，那么它们相等；(3)2+3 W5;(4) 如果一个整数的各位上的数字之和是3的倍数, 那么这个数能被3整除.教师找一名学生回答, 然后集体订正.师 : 在逻辑学中, 凡是可以判断出真( 即正确 ) 、假( 即错误) 的语句叫做命题. 上面的 (1) 、(2) 、 (4) 都是正确的命题, 我们称之为真命题;(3) 是错误的命题, 我们称之为假命题. 如果一个语句没有对某一事件的正确与否作出任何判断, 那么它就不是命题, 比如感叹句、疑问句、祈使句等

5、.教师多媒体出示:(1) 请关上窗户;(2) 你明天骑车来上学吗?(3) 天真冷啊!(4) 今天晚上不会下雨.(5) 昨天我们去旅游了.师 : 请同学们判断一下哪些语句是命题?学生讨论后回答, 然后集体订正.师 : 每个命题都由题设、结论两部分组成, 题设是已知事项, 结论是由已知事项推出的事项.命题常写成“如果那么”的形式.有时我们为了简便，省略关联词“如果”、“那么” , 如命题“如果两个角是对顶角 , 那么这两个角相等”, 可以写成“对顶角相等”.以“如果那么”为关联词的命题的一般形式是“如果p,那么q，或者说成“若p,则q，其中p是这个命题的条件(或假设),q是这个命题的结论(或题断)

6、.三、边讲边练教师多媒体出示:【例 1】 指出下列命题的条件与结论:(1) 两条直线都平行于同一条直线, 这两条直线平行;(2)如果/ A=Z B,那么/ A勺补角与/ B的补角相等.生甲 :(1) 中“两条直线平行于同一条直线”是条件 , “两条直线平行”是结论 .生乙：/ a=/ b”是条件，“/ A的补角与/ B的补角相等”是结论.四、层层推进, 深入探究师：将命题“如果p,那么q”中的条件与结论互换，便得到一个新命题“如果 q,那么p”， 我们把这样的两个命题称为互逆命题, 其中一个叫做原命题, 另一个叫做原命题的逆命题. 我们在前面学习了命题都可以判断真假, 当一个命题是真命题时,

7、它的逆命题也是真命题吗?学生交流讨论后发表意见.师：我们可以看这样一个例子，“如果/ 1与/ 2是对顶角，那么/ 1 = /2”是真命题，它的 逆命题是什么？生：它的逆命题是“如果/ 1 = /2，那么/ 1与/ 2是对顶角”.师:它是真命题还是假命题呢 ？生:假命题.师：你是怎么判断它是假命题的呢 ？学生交流讨论后回答.教师多媒体出示下图.师：又.我们可以举一个例子，比如角平分线分成的两个角 ,/ 1 = 7 2,但显然,这里/ 1与 / 2就不是对顶角.像这种符合命题条件，但不满足命题结论的例子，我们称之为反例.若要说 明一个命题是假命题，只要举出一个反例即可.五、练习新知，加深讨论师：请

8、同学们看教材中本节例1后练习的第2题.教师找学生回答，然后集体订正得到：(1)假命题.反例：|-1|=|1|, 但-1 丰 1.(2)假命题.反例：(-1) x ( -1)0,但-1是负数.(3)真命题.(4)假命题.若两条不平行的直线与第三条直线相交，同位角不相等.师：我们来看第3题.教师找学生回答，然后集体订正得到：(1)真命题,(2)真命题,(3)真命题.师：在数学命题的研究中，为了确认某些命题是真还是假，需要对命题的正确性进行论证在论证过程中，必须追本求源，真理不需要再作论证，其正确性是人们在长期实践中检验所得 的真命题，作为判断其他命题真假的依据，这些作为原始根据的真命题称为公理.同

9、学们想一下，我们学过哪些公理？生甲：经过两点有一条直线，并且只有一条直线.生乙：两点之间的所有连线中，线段最短.生丙：经过直线外一点，有且只有一条直线平行于这条直线，师：又t这些都是公理.有些命题，它们的正确性已经过推理得到证实，并被选定作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理.谁能举几个例子？生甲：对顶角相等.生乙：三角形的三个内角和等于180 .生丙：等角的补角相等.师：又.推理的过程叫做证明.下面，我们来证明一个七年级时用过的定理“内错角相等，两直线平行”教师多媒体出示：【例2】已知：如图所示，直线c与直线a、b相交，且/1 = /2.求证:a II b.师：若已知“同位角相等，

10、两直线平行”这个定理，怎么证明“内错角相等，两直线平行”这个结论？学生交流讨论，教师巡视指导.学生口述，教师板书推理过程.证明：.一/ 1 = 7 2,（已知）又.一/ 1 = 7 3,（对顶角相等）/ 2=7 3.（等量代换）a / b.（同位角相等，两直线平行）教师强调：证明中的每一步推理都要有根据，不能想当然.这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、公理、已经学过的定理.【例3】已知：如图，/ AOB廿BOC=180 ,0呼分/ AOB,O用分/ BOC.求证:OELOF.证明： OEF分/ AOBQFF分/ BOC（B知）1=/AOB,/2=/BOC.（角平分线的定义）又 / AOB吆

11、 BOC=180 ,（已知）. / 1+Z 2=（ / AOB廿 BOC）=90 .（等式性质）OEL OF.（垂直的定义）六、课堂小结师：我们今天学习了什么内容 ？学生回答，教师补充完善.教学反思在这节课上，通过举反例判定一个命题是假命题，培养学生学会从反面思考问题的方法.通过强调正面的严密性，让学生理解证明的必要性和推理过程要步步有据.在教学方法上我主要采用“举一”，让学生独立思考、自由交流、集思广益，从而达到“反三”的目的.尽可能地调动更多学生主动参与、交流、沟通，通过自身思维碰撞构建新的认知结构，从而准确地判断命题的真假，对于假命题举出反例.对于命题的证明，要求学生能写出证明的一般步骤

12、并 能做到步步有据.第2课时命题与证明（二）教学目标【知识与技能】1. 掌握三角形内角和定理及其三个推论.2. 熟悉并掌握较简单命题的证明方法及其表述.3. 探索并理解三角形的内角和定理.4. 会灵活地运用三角形内角和定理的几个推论解决实际问题.【过程与方法】1. 经历探索并证明三角形内角和定理的过程.2. 让学生在思考与探索的过程中了解三角形内角和定理的几个推论.【情感、态度和价值观】1. 通过三角形内角和定理的证明, 让学生体会到数学的严谨性和推理的用途.2. 通过让学生积极思考、踊跃发言, 使他们养成良好的学习习惯.3. 通过生动的教学活动, 发展学生的合情推理能力和表达能力, 提高学生

13、学习和探索数学的兴趣.重点难点【重点】三角形内角和定理的证明, 三角形内角和定理及其推理.【难点】三角形内角和定理的证明.教学过程一、创设情境, 导入新知师 : 在前面我们学习了三角形的内角和定理, 你还记得它的内容吗?学生回答.师 : 我们用什么方法证明过这个命题?生 : 用折叠、剪拼和度量的方法.师 : 很好 ! 在上节课我们学习了定理的概念, 大家还记得吗?生 : 记得 . 它们的正确性已经过推理得到证实, 并被选定作为判定其他命题真假的依据,这样的真命题叫做定理.师 : 对 . 三角形的内角和定理是一个定理, 它能够被证实, 上节课我们还学习了简单命题的证明 , 现在我们来证明这个定理

14、.二、共同探究, 获取新知教师多媒体出示:【例1】证明三角形内角和定理: 三角形的三个内角和等于180.师 : 在证明命题时, 要分清命题的条件和结论, 如果问题与图形有关, 首先 , 根据条件画出图形 , 并在图形上标出有关字母与符号; 再结合图形, 写出已知、求证 . 这个命题的条件和结论分别是什么?生 : 条件是一个三角形, 结论是它的内角和等于180.师：这个命题与图形有关吗 ？生：有关.师：那我们要画出什么图形 ？生：一个三角形.教师在黑板上画出一个三角形 .师：题目中没有已知、求证，我们自己要写出来.已知就是条件，求证的就是要证的结论 应该怎么写？生：已知： ABC,如图所示.求证

15、：/A+/ B+Z C=180 .教师板书.师：以前我们通过剪拼将三角形的三个内角拼成了一个平角，这不是证明，但它却给我们以启发，现在我们通过作图来实现这种转化，给出证明.教师边操作边讲解：在剪拼中我们可以把/ 项下,放在这个位置,在证明中我们可以彳出一个角与/B相等,来代替这种操作.并且为了证明的需要，在原来图形上添画的线，这种线叫做辅助线.同学们 看，应该怎样添画辅助线来帮助我们证明这个问题？生：延长BdijD,以点C为顶点、C的一边作/ 2=Z B.教师作图：师：又寸.如果再知道什么条件就能得到结论了？学生讨论后回答.生：因为/ 1 + /2+/ACB一个平角，等于180 ,如果/ A=

16、Z 1,那么就有/ A+Z B+Z C=Z 1+/2+/ACB=180，这样就证出了结论 .师：又.现在我们看怎样证/ A=Z 1？学生交流讨论.教师提示：/A和/ 1是什么角？生：内错角.师：怎么证两个内错角相等 ？生：两直线平行，内错角相等.师：在题中要证哪两条直线平行 ？怎么证它们平行？生：证明CE/ BA,因为/ 2=Z B,由同位角相等，两直线平行，就可以证出CE/ BAT .师：很好！我们现在来把这个推导过程具体写一下.要注意，我们刚才是分析，可以由结论推条件，但在书写过程中，要先写条件，再写Z论，这个顺序要理清.学生口述，教师板书.师：现在大家想一想，如果一个三角形中一个角是90

17、。，根据三角形内角和定理，另外两个角的和会是多少？生:90 .师：又.两个角的和是90。，我们可以称它们之间是什么关系？生：互余.师：又.由此我们得到三角形内角和定理的第一个推论教师板书：推论1直角三角形的两锐角互余.三、边讲边练师：三角形内角和定理的证明有多种方法，课本练习中给出了另外两种证法.大家能不能说出第一题的思路？生：过点A乍DEII BO,由两直线平行,内错角相等来建立两个相等关系,再由平角的定义就可证出了 .师：你们已经理清了思路，现在请大家将书上的证明过程补充完整.学生完成练习第1题.师：第二个练习的思路大家清楚吗 ？学生交流讨论后回答.生：过三角形一边上一点作两条平行线,然后

18、根据平行线的性质使 ABM三个内角与组成平角的三个角分别相等,再由平角的定义证明它们的和是180。.师：很好！请同学们把证明过程补充完整 .学生补充练习第2题的证明，教师巡视指导，然后集体订正.四、层层推进，深化理解教师多媒体出示：师：在三角形内角和定理的证明中，我们曾经如图中所示那样把 ABO勺一边B时长至点 D,得到/ ACD像这样由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.在上图中，ABO勺外角，也就是/ ACDf它不相邻的内角/ A、/B有怎样的关系？你能给出证明吗？学生小组交流讨论后回答.生：/ACDf / ACB勺和是180 ,所以/ ACD=180 - / ACB;根据三角形内角和定理 ，/ A+ /B+/C=180，/ A+/ B=180 -/C.由等式的性质，得至U/ACDh A+Z B.师：很好！除了这个相等关系，还能得到什么大小关系 ？生：/ ACD/ A, / ACD/ B.师：很好！在证明中主要应用了三角形内角和定理，我们把这两个结论称为这个定理的两个推论.教师板书：推论2三角形的一个外角等于与它不相邻的