绝对值的几何意义

1、【知识要点】 大家知道，|a|的几何意义是：数轴上表示a的点到原点的距离；|a b|的几何意义是：数轴上表示数 a、b的两点的距离.对于某些问题用绝对值的几何意义来解，直观简捷，事半功倍.【例题精讲】【例题】我们知道，|a|可以理解为|a-0|表示数a到原点的距离，这是绝对值的 几何意义.进一步地，数轴上两个点A. B,分别用a, b表示，那么A、B两点 之间的距离为AB=|a-b| ,利用此结论，回答以下问题：(1) 数轴上表示8和3的两点之间的距离是,数轴上表示-2和5的两点之间的距离是，数轴上表示-3和-7的两点之间的距离是|;(2) 数轴上点A用a表示，则|a-3|=5 的几何意义是，

2、利用数轴及绝对值的几何意义写出 a的值是;(3) 利用数轴及绝对值的几何意义写出该式能取得的最小值是【思路点拨】(1) 根据数轴上两点间的距离公式，可得答案；(2) 根据到一点距离相等的点有两个，可得a的值；(3) 根据线段上的点与线段两端点的距离的和最小，可得答案.【解析】解：(1 )数轴上表示8和3的两点之间的距离是5 ,数轴上表示-2和5的 两点之间的距离是7,数轴上表示-3和-7的两点之间的距离是4 ;(2) 数轴上点A用a表示，则|a-3|=5 的几何意义是 数轴上表示a和3两 点之间的距离是5,利用数轴及绝对值的几何意义写出a的值是-2或8 ;(3) 说出|x+1|+|x+2| 表

3、示的几何意义 数轴上点x与-1的距离与点x与-2 距离的和，利用数轴及绝对值的几何意义写出该式能取得的最小值是1 ,故答案为：5, 7, 4;数轴上表示a与3两点之间的距离是5 , -2或8 ;数 轴上点x与-1的距离与点x与-2的距离的和是1 .【总结升华】本题考查了绝对值，(1 )数轴上两点间的距离公式，(2)到一点距 离相等的点有两个；(3)线段上的点与线段两端点的距离的和最小.【例题】阅读下列材料：我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离；即|x|=|x-O|,也就是说，|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为|x 1-x 2|表示在数轴上数x

4、i , X2对应点之间的距离；在解题中，我们会常常运用绝对值的几何意义：例1 :解方程|x|=2.容易得出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为± 2 ,即该方程的x= ± 2 ；例2 :解 不等式|x-1|> 2 .如图，在 数轴上找出|x-1|=2 的解，即至U 1的距离为2的点对应的数为-1 , 3 ,则|x-1|> 2的解为x V -1或x > 3 ；参考阅读材料，解答下列问题：(1) 方程|x+3|=4 的解为；(2) 解不等式 |x-3|+|x+4|> 9 ；(3) 若|x-3|-|x+4|< a对任意的x都成立，求a的取值范围.【

5、思路点拨】仔细阅读材料，根据绝对值的意义，画出图形，来解答.【解析】解：(1)根据绝对值得意义，方程|x+3|=4表示求在数轴上与-3的距离为4的点对应的x的值为1或-7 .(2 )T 3和-4的距离为7,因此，满足不等式的解对应的点3与-4的两侧.当x在3的右边时，如图，易知x>4.当x在-4的左边时，如图,易知xW -5 .原不等式的解为 x>4或xW -5(3)原问题转化为：a大于或等于|x-3|-|x+4|最大值.当x>3时，|x-3|-|x+4|应该恒等于-7 ,当-4 v x V 3, |x-3|-|x+4|=-2x-1 随 x 的增大而减小，当 xW -4 时，

6、|x-3|-|x+4|=7,即|x-3|-|x+4|的最大值为7.故 a>7.【总结升华】本题是一道材料分析题，通过阅读材料，同学们应当深刻理解绝对值得几何 意义，结合本题是一道材料分析题，通过阅读材料，同学们应当深刻理解绝对值得几何意义，结合数轴，通过数形结合对材料进行分析来解答题目.由于信息量较大，同学们不要产生畏惧心理.【巩固练习】1、我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离；即|x|=|x-O| ，也就是说，凶 表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为|x 1-x 2|表示在数轴上xi, X2对应点之间的距离；例1解方程|x|=2，容易看出，在

7、数轴下与原点距离为2点的对应数为土 2,即该方程的解为x=±2例2解不等式|x-1| > 2,如图，在数轴上找出|x-1| >2的解，即到1的距离为2的点对应的数为-1、3，则|x-1|>2的解为xv -1或X> 3参考阅读材料，解答下列问题：不等式|x+3| >4的解为.2、结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：2的两点一般地，(1 )数轴上表示1和4的两点之间的距离是;表示-3和之间的距离是;表示-5和-4的两点之间的距离是;数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于.(2)如果表示数a和-2的两点之间的距离是3,那么a=(3 )若数轴上表示数a的点位于-4与2之间，求|a+4|+|a-2| 的值； 【答案】1、解:T |x+3|=|x-(-3 ) | > 4,即到-3的距离为4的点对应的数为-7、1,用数轴表示为：不等式|x+3| > 4的解为x V -7或x> 1 .2、解：(1 ) |1-4|=3,卜3-2|=5,卜5-( -4 ) |=1 ,|m-n| ,故答案为：3; 5; 1 ; |m-n| ;(2) |a-(-2 ) |=3 ,所以，