极坐标与参数方程知识点总结归纳

1、欢迎阅读第一部分：坐标系与参数方程【考纲知识梳理】x'=九x,（九>0）y'=N y,>0）1 .平面直角坐标系中的坐标伸缩变换的作换,设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换中：， 用下，点P(x, y附应到点P(x： y、称呼为平面直角坐标系中的坐标伸缩变简称伸缩变换.2 .极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点。，叫做极点，自极点。引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度 单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景，而平面直角坐标系以互相垂直的

2、两条数轴为几何背景；平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系，而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为P;以极轴Ox为始边，射线OM 为终边的角NxOM叫做点M的极角，记为0 .有序数对(P,B )叫做点M的极坐标，记作M(P,0 ).一般地, 不作特殊说明时，我们认为P20,6可取任意实数.特别地，当点M在极点时，它的极坐标为(0,日处w R )。和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定P>0,0<9 <2n，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(P,

3、e )表示;同时，极坐标(P,e废示的点也是唯一确定的.3 .极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系 中取相同的长度单位，如图(2)所示：(2)互化公式:设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x, y、极坐标是(P6 (P>0 )，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表点M直角坐标(x, y )极坐标伊,8 )互化公式在一般情况下，由tan确定角时，可根据点M所在的象限最小正角欢迎阅读欢迎阅读4.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆圆心为（r,0）,半径为r的圆圆心为；三半径为r的< 2 J圆

4、. J 11过极点，倾斜角为a的直线11,(一 _ JI 1R = o(Pw R 四日=兀 +o(Pw R)(2)9 =a(P > 0 或 g = n +ot(P > 0)过点（a,0 ）,与极轴垂直的直线过点a,- |,与极轴平行的< 2；直线1注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，即伊,日）（P,2n +9 ）（- P,n +日）（- P,-n +8将B表示同一点的坐标，这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程p=19点m 三,-i可以表示为4 4I Ifn 55 fir 555

5、 5 5J! Y. . fnn 、.一、一M.1, 一+2冗怏;M. 一, 2n段M .-一, |等多种形式，其中，只有M 一 ,一 |的极坐标满足方程 14 4Jl4 4/ V 4 4 J<4 4）P =9 .二、参数方程1 .参数方程的概念x=f（tJ一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标（x,y 是某个变数t的函数J,、V= g（t）并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M（x,y ）都在这条曲线上，那么方程就叫做这条欢迎阅读欢迎阅读曲线的参数方程，联系变数（x, y ）的变数t叫做参变数，简称参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.

6、2 .参数方程和普通方程的互化曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地可以通过消去参数而从参数方程得到 普通方程.（2）如果知道变数（x, y ）中的一个与参数t的关系，例如x = f （t），把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y=g（t）,那么x ' f（t）就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使、y =g（t）（x,y旭取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适 当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。3 .圆的参数如图所示，设圆。的半径为r ,点M

7、从初始位置Mo出发，按逆时针方向在圆O上作匀速圆周运动， I1 I /1 /x = r cos0设M （x, y ）,则3 cos用为参数）0这就是圆心在原点O ,半径为r的圆的参数方程，其中日的 y = rsin 日几何意义是OMo转过的角度。圆心为（a,b ）,半彳空为r的圆的普通方程是（x-a）2 +（y-bf =r2,x a r cos它的参数方程为：,x a国为参数）。j =b +rsin 日4.椭圆的参数方程22以坐标原点O为中心，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为 3+4=1（aAb>0）其参数方程为a bx a cosp,x acos （邛为参数），其中参数中称为离心角；焦点

8、在y轴上的椭圆的标准方程是j =bsin 甲v2 x2、x = bcos中,小 ，、彳+x-，（a >b >0收参数方程为,x bcos科为参数）其中参数中仍为离心角，通常规定参数中a2 b2、y = asin 中的范围为中 0,2冗）。注：椭圆的参数方程中，参数中的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角a区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在0到2n的范围内），在其他JtJT任何一点，两个角的数值都不相等。但当0£口 时，相应地也有0E中,在其他象限内类似。225 .双曲线的参数方程欢迎阅读以坐标原点。为中心，焦点在x轴上的双曲线的

9、标准议程为2 X-2 ab2= 1（a >0,b>0收参数方程为x =ase"”参数)，其中中w 0,2n0”三,中y = btan 甲2x = bco叫,好.仰为参数), y = a cs呼22焦点在y轴上的双曲线的标准方程是为*=1叱0,b>0戌参数方程为、 其中0 0 (0.2n产甲# n以上参数中都是双曲线上任意一点的离心角6 .抛物线的参数方程以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线 y2= 2px（p>0羽参数方程为xy9为参数）7.直线的参数方程经过点M 0（X0, y ），倾斜角为a （久31 1的直线l的普通方程是y - yo = tana(x -

10、Xo )而过M o(x0, y ), 2倾斜角为0的直线l的参数方程为x = x° t cos：好(t为参数)。y = y0tsin ;注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点 M0（X0,y° ），倾斜角为«的直线l的参数方程为r . -x = Xc +t cosa0（t为参数），其中t表小直线l上以定点Mo为起点，任一点M（x ,y ）为终点的有向线y = y0 +tsinu段M 0M的数量，当点M在M0上方时，t>0;当点M在M0下方时，t<0;当点M与M0重合时,t=0。我们也可以把参数t理解为以Mo为原点，直线l向上的方向为正方向的数轴上的点

11、 M的坐标,其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。【要点名师透析】一、坐标系（一）平面直角坐标系中的伸缩变换K例R在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换 中：x/ =3x2y/ = y（1）求点A也,-2 j经过中变换所得的点A'的坐标;31-B =（-3,J（2）点B经过 变换得到点2 ,求点B的坐标;欢迎阅读（2）若cl上的点P对应的参数为t=；, Q为C】为参数）跑离的最小值。（二）椭圆参数方程的应用A在平面直角坐标系边了中，点p% >）是椭圆3解答：,：:（三）直线参数方程的应用P匹,0）K例1过点2作倾斜角为a的直线与曲线IMI叫勺值及相应的位的值。解析：（四）圆的参

12、数方程的应用I = 2 + 72 cos 5 但K例R已知曲线C的参数方程是卜二为B欢迎阅读上的动点，求中点加至IJ直线C3x-3+2t? （t y=-2+ty3 =1rf.上的一个动点，求的最大值X +12/ = 1交于点肱N ,求b4J参数），且曲线C与直线工一、&=0相交于两点A、（3）求直线l: y=6x经过中变换后所得到直线的i'方程；2-I C：x2 一±=1, 一 一 以 ,口 小-一（4）求双曲线64 经过中变换后所得到曲线C的焦点坐标。（二）极坐标与直角坐标的互化一二5 二A（2, JB（2,）K例22在极坐标系中，如果 44为等边三角形ABC的两个

13、顶点，求顶点C的极坐标（P 之0,0 <0 <2n）。（三）求曲线的极坐标方程K例R已知P, Q分别在/ AOB的两边OA, OB上，/AOB=g, /POQ的面积为8,求PQ中点 M的极坐标方程。（四）极坐标的应用K例R如图，点A在直线x=4上移动，/ OPA为等腰直角三角形，/ OPA的顶角为/ OPA （O, P, A依次按顺时针方向排列），求点 P的轨迹方程，并判断轨迹形状。二、参数方程（一）把参数方程化为普通方程卜二一4 + ccg 上，x = 8co£3,K例R已知曲线cl： V = 3+smZ- ? （t为参数），C】：b = 3sin （9为参数）。（1）

14、化cl, C】的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；欢迎阅读（1）求曲线C的普通方程；（2）求弦AB的垂直平分线的方程（3）求弦AB的长【感悟高考真题】JI1.在极坐标系中，点p=28s e的圆心的距离为（）(A) 2(B)4；(C)/得(D) 3欢迎阅读2.在极坐标系中，圆P = -2sin8的圆心的极坐标是（A）（1，2）（B）（1, 2）（C） （1，0）（D） （1，JI）x = cosot3,在直角坐标系xOy中，曲线.的参数方程为1y =1+sinc（口为参数）.在极坐标系（与直角坐标系xOy有相同的长度单位，且以原点 。为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C2的方程为Lx

15、''!P（cosH sin 8）+1 =0，则 C1 与 C2 的交点个数为 二二，二二"'1 -：J.x = 2 cosa4. 直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为）='3加"（为参数）.在极坐标系（与直角坐标系 xOy取相同的长度单位，且以原点 。为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C2的方程为P（cos8 -sin 9） +1 =0，则C1与C2的交点个数为5. （1）（坐标系与参数方程选做题）若曲线的极坐标方程为P=2sin0+4cos9 ,以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为 .II6. （20

16、11 陕西高考理科 T15C）直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立x = 3 cos1极坐标系，设点A, B分别在曲线C1: J=4+sin8 （9为参数）和曲线C2 ： P = 1±,则1ABi的 最小值为 .7.（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系 xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A, B分别在曲线G：Lx = 3 cos-y = sin fa为参数）和曲线C2 ： p =1上，则1ABi的最欢迎阅读欢迎阅读8. （2011天津高考理科.T11）.已知抛物线C的参数方程为"y = 8t J J8t2.（t为参数）若斜率为1

17、的直线经过抛物线C的焦点，且与圆222 ,(X-4) 7 T (r>0)相切，则=9.（坐标系与参数方程选做题） 们的交点坐标为.x_5t2x= 5cosi -)x= (t. R)已知两曲线参数方程分别为 ly=sine和ly=t，它'x =展c0sx （口为参数）10. （2）在直角坐标系xOy中，直线1的方程为x-y+4=0 ,曲线C的参数方程为ly=sina（I）已知在极坐标系（与直角坐标系 xOy取相同的长度单位，且以原点 。为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为4,- I,判断点P与直线l位置关系;12)（II）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最

18、小值.11.选彳4-4:坐标系与参数方程（本小题满分10分）在平面直角坐标系x0y中，求过椭圆x = 5cosy = 3sin :x = 4-2t（中为参数）的右焦点，且与直线y二3-t （t为参数）平行的直线的普通方程。12.（2011新课标全国高考理科 T23）在直角坐标系xOy?中，曲线C1的参数方程为 uiv uuiv（S为参数）M是C1上的动点，P点满足OP=20M ,P点的轨迹为曲线C2（I ）求C2的方程x = 2cos ;y = 2 2sin 二日=一（H）在以。为极点，x?轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3与C1的异于极点的交点为 A,与C2的异于极点的交点为B, 13.

19、（2011新课标全国高考文科 -Lx = 2cos -1y =2+2sina （二为参数）M （I ）求C2的方程求AB .T23）在直角坐标系xOy?中，曲线C1的参数方程为uivuuuv是C1上的动点，P点满足0P =20M ,P点的轨迹为曲线C20 =（H）在以。为极点，x?轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3与C1的异于极点的交点为 A,与C2的异于极点的交点为B,求AB14 . （2011 辽宁高考理科 T 23）（本小题满分10分）（选修4-4:坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x =acos ,（a ab >0,甲为参数） y =bsin ,x

20、 = cos ;,俘为参数） y = sin ,曲线C2的参数方程为.在以。为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ： 0 =a与C1, C2各有一个交点.当a=0时，这两个交点间的距离为2,当a=2时，这两个交点重合.（I）分别说明C1, C2是什么曲线，并求出a与b的值；冗冗（II）设当仪=4时，l与C1, C2的交点分别为A1 , B1,当a=：时，l与C1,C2的交点为A2, B2,求四边形 A1A2B2B1的面积.x =一1 t15 .极坐标p=cos9和参数方程1y =2+t （t为参数）所表示的图形分别是（D）A.直线、直线 B.直线、圆 C.圆、圆D.圆、直线16 .极

21、坐标方程（p-1） （ 9 -H ） = （p至0）表示的图形是（A）两个圆（B）两条直线（C） 一个圆和一条射线（D） 一条直线和一条射线17 .在极坐标系（p, 9） （0?0? 8 V2/，曲线p?sinH?与pcosH = -1?的交点的极坐标为 .x = cos6 八 一八 18.已知P为半圆C:（9为参数，。至 Wn）上的点，点a的坐标为（1Q）, o为坐j =sin 日标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧馥的长度均为-。3（I）以。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点 M的极坐标；（II）求直线AM的参数方程。【考点模拟演练】一、选择题1 .已知极坐标平面内的点P%

22、,法,则P关于极点的对称点的极坐标与直角坐标分别为（）A.3；,（1,响B.（2,-3j, （1, -V3）C；2,斜，（-1,V3）D.2,-2fi, （-1,-3）2 .在平面直角坐标系xOy中，点P的直角坐标为（1, -V3）.若以原点。为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标可以是（） 九）44冗、 冗、44九、A.1, 3/ B.g -； C.（2, -3）D.12, -JJ欢迎阅读3 .在直角坐标系xOy中，已知点C（3, -V3）,若以。为极点，x轴的正半轴为极轴，则点 C 的极坐标（a 9）（ p >0- tt < 9 <0写为.4 .过点?，4心

23、行于极轴的直线的极坐标方程是（）A. p cosM）4B. p sinW4C. p sin=0/2D. p cosM）&答案：CUi-15 .曲线的参数方程是< t（t是参数，tw0）它的普通方程是（）y = i12x?x 2?x1A. （x 1）2（y 1）= 1B. y = ?i x?2 C, y= i _ x2 + 1 D , y = ?i _ x?2 16.直线p coH2关于直线8=*寸称的直线方程为（A.p cosM) 2B. p sinM2C.x= 1 7.已知直线l的参数方程为 厂"=2+当P,2 2sin=0 2D. p= 2sin 9t（t为参数），则直线l的斜率为（A.8.x= 2cos直线3x4y9 = 0与圆：'、y= 2sinA.9.