2017中考数学压轴试题复习第一部分专题四因动点产生的平行四边形问题

1、1.4因动点产生的平行四边形问题课前导学如图 1,过厶ABC的每个顶点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生三个点D.如图 2,已知A(0, 3) ,B( 2, 0) ,C(3, 1)，如果四边形ABCDI平行四边形，怎样求 点D的坐标呢？点B先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位与点 A 重合，因为BA与CD平行且相等， 所以点 Q3, 1) 先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位得到点D(5, 4).如图 3,如果平行四边形ABCD勺对角线交于点G,那么过点G画任意一条直线(一般与 坐标轴垂直)，点A、C到这条直线的距离相等，点B D到这条直线的距离相等.关系式XA+xc=

2、XB+XD和yA+yc=ys+yD有时候用起来很方便.我们再来说说压轴题常常要用到的数形结合.如图 4，点A是抛物线y= X2+ 2x+ 3 在X轴上方的一个动点,AB交直线y=X 1 于点C,那么点A的坐标可以表示为(x, X2+ 2x+ 3), 点C的坐标可以表示为(x,X 1), 线段AB的长可以用点A的纵坐标表示为2AB= yA= X+ 2x+ 3,线段AC的长可以用A、C两点的纵坐标r _ _ 2 2表示为AC= yAyc= ( X+ 2X+ 3) (X 1) = X+X+2.通俗地说，数形结合就是：点在图象上，可以用图象的解析式表示点的坐标，用点的坐标表示点到坐标轴的距离.我们先思

3、考三个问题：1.已知A B C三点，以A、B C2在坐标平面内，如何理解平行四边形3在坐标平面内，如何理解平行四边形D为顶点的平行四边形有几个，怎么画？ABC的对边AB与DC平行且相等?ABCD勺对角线互相平分？图 2图 3ABLX轴于点B线段210如图 1,抛物线经过A(1,0) 、B(5, 0) 、C(o _)三点.设点E(x,y)是抛物线上一动 ，3点，且在x轴下方，四边形OEBF是以OE为对角线的平行四边形.(1) 求抛物线的解析式；(2) 当点E(x,y)运动时，试求平行四边形OEBF的面积S与x之间的函数关系式，并求出面积S的最大 值；(3) 是否存在这样的点E,使平行四边形OEB

4、F为 正方形？若存在，求点E、F的坐标；若不存在，请说明理由.图 1动感体验请打开几何画板文件名“ 14 岳阳 24”，拖动点E运动，可以体验到， 当点E运动到抛物 线的顶点时，S最大当点E运动到OB的垂直平分线上时，四边形OEB胎好是正方形.思路点拨1平行四边形OEBF的面积等于厶OEB面积的 2 倍.2第(3)题探究正方形OEBF先确定点E在OB的垂直平分线上，再验证EO= EB图文解析(1)因为抛物线与x轴交于A(1,0) 、B(5, 0)两点，设y=a(x 1)(x- 5). 代入点C(0, 2),得10=5a.解得a=-.333所以抛物线的解析式为y = 2(x 1)(x 5) =

5、2 X24x亠10.333(2) 因为S=S平行四边形 OEBF=2SOBE=OB( yE)r-f 22. J010/2 a10/Q2+ 40=-5(x 4x )=(x 6x 5)=(x -3)33333所以当x= 3 时，S取得最大值，最大值为40此时点E是抛物线的顶点(如图 2).3(3)如果平行四边形OEBF1正方形，那么点E在OB的垂直平分线上，且EO= EB当x=-时，y =2(x -1)(x-5)- (-5)=-5.此时E(-,-).233 22222如图 3,设EF与OB交于点D,恰好OB=2DE所以OEB是等腰直角三角形.所以平行四边形OEBF1正方形.所以当平行四边形OEBF

6、1正方形时，E(5,_)、F(-,5).例 242014年湖南省岳阳市中考第24 题32 2 2 24考点伸展既然第（3）题正方形OEB是存在的，命题人为什么不让探究矩形OEBf有几个呢?如图 4,如果平行四边形OEBF为矩形，那么/OEB=90.根据EH=HO- HB列方程匚2(X_I)(X_5)1 =X(5_X)IL 3或者由DE=1OB=5，根据DE=25，列方程224事实上，这个方程可以因式分解，（x _4）（x-5）（x-丄）=0.2 2如图 3,X=5;如图 4,X= 4;如图 5,X=丄，但此时点E在X轴上方了.2 2这个方程我们也可以用待定系数法解：设方程的三个根是 -、m n

7、,那么 4x3 28X2+ 53X 20=4(x _)(x _ m)(x _ n).2 24m 4n 10 = 28,m =410m 10 n 4mn =53,解得1n二10mn二20.2225（X匚） 匚（x）（x-5） =4这两个方程整理以后都是一元三次方程业的水平是不好解的.4x3 28X2+ 53X 20= 0，这个方程对于初中毕根据恒等式对应项的系数相等，得方程组图 35例 252014年湖南省益阳市中考第 20 题如图 1,直线y= 3x+ 3 与x轴、y轴分别交于点A B,抛物线y=a(x 2)2+k经过A B两点，并与x轴交于另一点C,其顶点为P.(1) 求a,k的值；(2)抛

8、物线的对称轴上有一点Q,使厶ABC是以AB为底边的等腰三角形，求点Q的坐标；(3)在抛物线及其对称轴上分别取点M N使以A、CM N为顶点的四边形为正方 形，求此正方形的边长.】动感体验请打开几何画板文件名“14 益阳 20”，可以体验到，点Q在线段AB的垂直平分线上.还可以体验到，正方形的对角线为AC有一个顶点恰为抛物线的顶点.思路点拨1第(2)题的等腰三角形只考虑QA= QB的情形.2第(3)题的正方形不可能AC为边，只存在AC为对角线的情形. 图文解析(1)由y= 3x+ 3,得A(1,0) ,B(0, 3).将A(1,0) 、B(0, 3)分别代入y=a(x 2)2+k,得a k=0,

9、4a + k =3.解得a= 1,k= 1.图 4图 56(2)如图 2，抛物线的对称轴为直线x= 2,设点Q的坐标为(2,m). 已知A(1,0) 、B(0, 3)，根据QA=QB,列方程 12+mi= 22+ (m 3)2.解得m 2所以 Q2, 2).(3)点A(1,0)关于直线x= 2 的对称点为C(3, 0) ,AC=2.如图 3,如果AC为正方形的边，那么点M N都不在抛物线或对称轴上.如图 4,当AC为正方形的对角线时，M N中恰好有一个点是抛物线的顶点(2, 1)因为对角线AC=2,所以正方形的边长为、2.7考点伸展如果把第(3 )题中的正方形改为平行四边形，那么符合条件的点M

10、有几个？1如果AC为对角线，上面的正方形AMC是符合条件的，M2, 1) 2如图 5，如果AC为边，那么MN AC, MN= AC=2 所以点M的横坐标为 4 或 0. 此时点M的坐标为(4, 3)或(0, 3).第(2)题如果没有限制等腰三角形ABQ 的底边，那么符合条件的点Q有几个？1如图 2，当QA= QB时，Q2, 2).2如图 6，当BQ= BA= .10时，以B为圆心，BA为半径的圆与直线x= 2 有两个交点.根据BQ= 10,列方程 22+ (m 3)2= 10,得m= 3_-、6.此时Q(2,3 . 6)或(2,3 - . 6)3如图 7,当AQ= AB时，以A为圆心，AB为半

11、径的圆与直线x= 2 有两个交点，但是点图 738例 262014年湖南省邵阳市中考第 25 题准备一张矩形纸片(如图 1)，按如图 2 操作：将厶ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的点M将厶CDF沿DF翻折，使点C落在 对角线BD上的点N.(1) 求证：四边形BFDE1平行四边形；(2) 若四边形BFDE是菱形，AB=2,求菱形BFDE勺面积.图 1图 2动感体验请打开几何画板文件名“ 14 邵阳 25”，拖动点D可以改变矩形ABCD勺形状，可以体验 到，当EM与FN在同一条直线上时，四边形BFDE是菱形，此时矩形的直角被三等分. 思路点拨1 平行四边形的定义和 4 个判定定理都可以证

12、明四边形BFDE是平行四边形.2 如果平行四边形BFDE是菱形，那么对角线平分一组对角，或者对角线互相垂直用这两个性质都可以解答第(2)题.图文解析(1)如图 3，因为AB/DC所以/ABD=ZCDB又因为/ 1 =Z2，Z3=Z4,所以/ 1 =Z3.所以BE/FD.又因为ED/BF,所以四边形BFDE!平行四边形.图 3图 4(2)如图 4，如果四边形BFDE是菱形，那么/ 1 =Z5. 所以/ 1 = / 2 = /5.所以BD=2AB=4，AE=.所以ME=2_3.33所以S菱形 BFDE= 2SABDE=BD*由于/ABC=90，所以/1= Z2=Z5=309考点伸展第（1 题的解法，我们用平行四边形的定义作为判定的依据，两组对边分别平行的四 边形叫平行四边形还可以这样思考：证明四边形BFDE勺两组对边分别相等；证明ED与BF平行且相等；证明四边形BFDE勺两组对角分别相等.这三种证法，都要证明三角形全等，而全等的前提，要证明/1 =72=Z3=Z4.这样其实就走了弯路，因为由/1 =73,直接得到BE FD,根据平行四边形的定义来得快.能不能根据BD与EF互相平分来证明呢？也是可以的：如图 5,设EF与BD交于点0,根据“角角边”证明EMFNO得到EF与MN互相 平分.又因为BM= DN于是得到EF与BD互相平分.图 5图 6第（2）题的解法，