数字信号的最佳接收2

1、2021/8/21数字信号的最佳接收数字信号的最佳接收一、引言一、引言二、数字信号接收的统计表达式二、数字信号接收的统计表达式三、最佳接收的准则三、最佳接收的准则二、匹配滤波器二、匹配滤波器三、用匹配滤波器构成的最佳接收机三、用匹配滤波器构成的最佳接收机四、最佳接收机与实际接收机误码性能比较四、最佳接收机与实际接收机误码性能比较2021/8/221 1 引言引言 通信系统中信道特性不理想及信道噪声的存在，直接影响接收系统的性能， 而一个通信系统的质量优劣在很大程度上取决于接收系统的性能。2021/8/23研究从噪声中如何最好地提取有用信号，且在某个准则下构成最佳接收机，使接收性能达到最佳，这就

2、是最佳接收理论。研究对象接收问题研究的问题最佳接收或信号接收最佳化的问题2021/8/24从数字信号接收统计模型出发，依据某种最佳接收准则，推导出相应的最佳接收机结构，然后再分析其性能。前面分析的问题是给出接收机模型然后分析其性能现在讨论的问题是2021/8/252 2 数字信号接收的统计表述数字信号接收的统计表述 带噪声的数字信号的接收，实质上是一个统计接收问题， 也可以说数字信号接收过程是一个统计判决过程。从统计学的观点来看，数字信号接收可以用一个统计模型来表述.2021/8/26xysn判 决规 则消息空间信号空间观察空间判决空间噪声空间数字信号接收的统计模型消息空间、信号空间、噪声空间

3、、观察空间及判决空间分别代表消息、信号、噪声、接收波形及判决的所有可能状态的集合2021/8/27在数字通信系统中， 消息是离散的状态， 设消息的状态集合为 X=x1, x2, , xm若消息集合中每一状态的发送是统计独立的， 第i个状态xi的出现概率为P(xi)，则消息X的一维概率分布为X1 x2 xmP(x1) P(x2) P(xm) 根据概率的性质有1( )1miip x2021/8/28若消息各状态x1, x2, , xm出现的概率相等，则有121( )()()mP xP xP xm消息是各种物理量， 本身不能直接在数字通信系统中进行传输需要将消息变换为相应的电信号s(t)，用参数S来

4、表示。因此2021/8/29将消息变换为信号可以有各种不同的变换关系，通常最直接的方法是建立消息与信号之间一一对应的关系，即消息xi与信号si(i=1, 2， ， m)相对应。 这样，信号集合S也由m个状态所组成即S=s1, s2, , sm 2021/8/210并且信号集合各状态出现概率与消息集合各状态出现概率相等，即1122( )()()()P sP xP sP x=()()mmP sP x=.同时也有niisp11)(2021/8/211若消息各状态出现的概率相等， 则有12( )()()mP sP sP s=P(si)是描述信号发送概率的参数通常称为先验概率， 它是信号统计检测的第一数

5、据2021/8/212信道特性是加性高斯噪声信道，噪声空间n是加性高斯噪声。在前面各章分析系统抗噪声性能时，用噪声的一维概率密度函数来描述噪声的统计特性, 在本章最佳接收中，为了更全面地描述噪声的统计特性，采用噪声的多维联合概率密度函数。2021/8/213噪声n的k维联合概率密度函数为12( )( ,)kkfnf n nn=n1, n2, , nk为噪声n在各时刻的可能取值若噪声是高斯白噪声， 则它在任意两个时刻上得到的样值都是互不相关的，同时也是统计独立的；注意2021/8/214若噪声是带限高斯型的，按抽样定理对其抽样，则它在抽样时刻上的样值也是互不相关的， 同时也是统计独立的根据随机信

6、号分析，若随机信号各样值是统计独立的，则其k维联合概率密度函数等于其k个一维概率密度函数的乘积，即1212(,)()()()kkkfn nnf nf nf n=f(ni)是噪声n在ti时刻的取值ni的一维概率密度函数2021/8/215kiinknknnf12221exp)2(1)(222)(exp21)(nnxnf若ni的均值为零，方差为2n，则其一维概率密度函数为噪声n的k维联合概率密度函数为2n是噪声的方差，即功率2021/8/216信号通过信道叠加噪声后到达观察空间， 观察空间的观察波形为( )( )( )y tn ts t=+由于n(t)是均值为零， 方差为2n的高斯过程，则当出现信

7、号si(t)时, y(t)的概率密度函数fsi(y)可表示为20011( )exp(1,2,.,) ( )( )( 2)Tsiiknfyimy ts tdtnfsi(y)称为似然函数，它是信号统计检测的第二数据2021/8/217根据y(t)的统计特性，按照某种准则，即可对y(t)作出判决， 判决空间中可能出现的状态r1, r2, , rm与信号空间中的各状态s1, s2, , sm相对应。2021/8/2183 3 关于最佳接收的准则关于最佳接收的准则在数字通信系统中，最直观且最合理的准则是“最小差错概率”准则 在通信中，由于噪声和畸变的作用，使接收发生错误，我们总期望错误接收的概率越小越好

8、原因2021/8/219由于在传输过程中，信号会受到畸变和噪声的干扰，发送信号si(t)时不一定能判为ri出现，而是判决空间的所有状态都可能出现。以二进制数字通信系统为例分析其原理2021/8/220问题二进制数字通信系统，在噪声背景下按何种方法接收信号才能获得最小错误概率？思路先找出每一次判决总的平均错误概率0201)()()()(21ysysedyyfsPdyyfsPP2021/8/221然后用求极值的方法，使 满足eP00yPe找到最佳划分点，可得似然比准则为212112)()()()()()()()(2121判为判为sPsPyfyfsPsPyfyfssss2021/8/222当 时，得

9、到的最大似然准则为)()(21sPsP21)()()()(2121判为判为yfyfyfyfssss对于多进制情形，假定先验等概，最大似然准则可表示为)21()()(jimjiyfyfissji；，判为2021/8/223 数字信号最佳接收的概念：数字信号最佳接收的概念：能使误码率最小的能使误码率最小的接收方式称为最佳接收，相应的接收机称为最佳接接收方式称为最佳接收，相应的接收机称为最佳接收机。收机。理论和实践都已证明：理论和实践都已证明：在白噪声干扰下，如果线性滤在白噪声干扰下，如果线性滤波器的输出端在某一时刻上使信号的瞬时功率与白噪波器的输出端在某一时刻上使信号的瞬时功率与白噪声平均功率之比

10、值达到最大，就可以使判决电路出现声平均功率之比值达到最大，就可以使判决电路出现错误判决的概率最小。错误判决的概率最小。这样的线性滤波器称为匹配滤这样的线性滤波器称为匹配滤波器。波器。所以匹配滤波器是最大输出信噪声比意义下的所以匹配滤波器是最大输出信噪声比意义下的最佳线性滤波器。用匹配滤波器构成的接收机是满足最佳线性滤波器。用匹配滤波器构成的接收机是满足最大输出信噪比准则的最佳接收机，也称为匹配滤波最大输出信噪比准则的最佳接收机，也称为匹配滤波器接收机。器接收机。 4 4 匹配滤波器匹配滤波器2021/8/224 匹配滤波器是指在白噪声为背景的条件下，匹配滤波器是指在白噪声为背景的条件下，输出信

11、噪比最大的最佳线性滤波器。输出信噪比最大的最佳线性滤波器。 （一）（一） 匹配滤波器的传输特性匹配滤波器的传输特性 匹配滤波器)( fH)(tx)(ty图9.2.1 匹配滤波器示意图设匹配滤波器的输入信号：设匹配滤波器的输入信号： )()()(tntstx根据线性叠加原理，匹配滤波器的输出信号：根据线性叠加原理，匹配滤波器的输出信号： )()()(tntstyoo2021/8/225)()()(fHfSfSo求付氏反变换可得到输出信号求付氏反变换可得到输出信号dfefHfStsftjo2)()()(输出噪声的功率谱密度为输出噪声的功率谱密度为202)(2)()()(fHnfHfPfPnnot

12、t0 0时刻的输出信号值为时刻的输出信号值为 dfefHfStsftjo020)()()(2021/8/226t t0 0时刻输出信号的瞬时功率为：时刻输出信号的瞬时功率为：22200)()()(dfefHfStsftjo输出噪声的平均功率为：输出噪声的平均功率为：dffHndffHndffPNono2020)(2)(2)( 在时刻在时刻t t0 0上匹配滤波器输出信号瞬时功率与噪声平均上匹配滤波器输出信号瞬时功率与噪声平均功率的比值为：功率的比值为： dffHndfefHfSNtsrftjoo2022200)(2)()()(02021/8/227 为上式的最大值，需要使用许瓦兹不等式：为上式

13、的最大值，需要使用许瓦兹不等式：dffBdffAdffBfA222)()()()()(fA)(fB)()(fkBfA只有当只有当和和成正比时，即成正比时，即中等号成立，中等号成立， 时，上式时，上式2)()(dffBfA达到最大，为达到最大，为dffBdffAdffBfA222)()()()(2021/8/228)()(fHfA02)()(ftjefSfB02020222202202)(2)(2)()()(2)()(00nEdffSndffHndfefSdffHdffHndfefHfSrftjftj0max2nEro根据许瓦兹不等式等号成立的条件可知，瞬时信噪比根据许瓦兹不等式等号成立的条件可

14、知，瞬时信噪比达最大值达最大值的条件是的条件是02)()(ftjefkSfH2021/8/229（二）匹配滤波器的冲激响应（二）匹配滤波器的冲激响应 )(fH)(th根据传输特性根据传输特性与冲激响应与冲激响应是一对付氏变换，是一对付氏变换，匹配滤波器的冲激响应为：匹配滤波器的冲激响应为：dfefkSdfeefkSdfefHthttfjftjftjftj)(222200)()()()(因此因此 )()()(0)(20ttksdfefkSthttfj 2021/8/2301t2tt（a)(ts1t2tt（b)( ts t（c)(0tts20ttt20tt（d)t20tt )(0tts)(0tts

15、（e)图9.2.2 匹配滤波器的冲激响应2021/8/231)()()()()()()()()()(000ttkRdttsskdttsskdthsthtstsso（三）匹配滤波器的输出波形（三）匹配滤波器的输出波形 )(tso匹配滤波器的输出等于输入信号与冲激响应的卷积：匹配滤波器的输出等于输入信号与冲激响应的卷积：根据自相关函数是偶函数的特性：根据自相关函数是偶函数的特性：)()(0ttkRtsso从这个意义上来说，匹配滤波器可以看成一个计算从这个意义上来说，匹配滤波器可以看成一个计算输入信号自相关函数的相关器。输入信号自相关函数的相关器。2021/8/232kEdskkRtsso)()0(

16、)(20) (tso0tt 匹配滤波器的输出信号匹配滤波器的输出信号在在时达到最大值：时达到最大值：0t输入信号进行处理，从而在输入信号进行处理，从而在时刻形成输出信号的峰值。时刻形成输出信号的峰值。0t这个结果再次说明，在这个结果再次说明，在时刻之前，匹配滤波器对时刻之前，匹配滤波器对2021/8/233例例1 1已知信号已知信号)(ts匹配滤波器的传输函数和匹配滤波器的输出信号波形。匹配滤波器的传输函数和匹配滤波器的输出信号波形。如下图如下图(a)(a)所示，求与之匹配的所示，求与之匹配的2021/8/234)()(0ttksth解解: :0to式中式中取信号的结束时刻值取信号的结束时刻值

17、 ，所以，所以00)()(00tktksth其它其它)(fH)(th匹配滤波器的传输函数匹配滤波器的传输函数是冲激响应是冲激响应付氏变换，所以：付氏变换，所以：0)()()(00fjaefSkthFfH0000)()()()(002002fjaftjfjaftjefSkeefSkefkSfH2021/8/235)()()(00tkRttkRtssso00000)(0)()(ttkttktRs输出信号：输出信号： )(ts的自相关函数为的自相关函数为所以所以000002)2(0)()(ttktkttkRtsso匹配滤波器输出波形的波形图如图匹配滤波器输出波形的波形图如图(d)(d)所示。所示。2

18、021/8/236（四）匹配滤波器小结（四）匹配滤波器小结1 1匹配滤波器的传输函数匹配滤波器的传输函数02)()(ftjefkSfH 因此信号不同，对应的匹配滤波器也不同。也因此信号不同，对应的匹配滤波器也不同。也就是说，对某个信号匹配的滤波器，对其它信号就不就是说，对某个信号匹配的滤波器，对其它信号就不是匹配滤波器了。是匹配滤波器了。2 2匹配滤波器传输函数与信号频谱有关，而信号频匹配滤波器传输函数与信号频谱有关，而信号频谱的幅频特性通常不为常数，谱的幅频特性通常不为常数，也就是说匹配滤波器也就是说匹配滤波器的幅度特性通常是不理想的，所以信号通过匹配滤的幅度特性通常是不理想的，所以信号通过

19、匹配滤波器会产生严重的波形失真。波器会产生严重的波形失真。2021/8/2373 3匹配滤波器只能用于接收数字信号。匹配滤波器只能用于接收数字信号。对数字信对数字信号的传输而言，我们关心的是取样判决是否正确，号的传输而言，我们关心的是取样判决是否正确，不大关心波形是否失真，而匹配滤波器输出能获取不大关心波形是否失真，而匹配滤波器输出能获取最大信噪比，它有利于取样判决，减小误码率，所最大信噪比，它有利于取样判决，减小误码率，所以匹配滤波器适合于接收数字信号。以匹配滤波器适合于接收数字信号。因为匹配滤波因为匹配滤波器会使传输波形产生严重的失真，所以它不能用于器会使传输波形产生严重的失真，所以它不能

20、用于模拟信号的接收。模拟信号的接收。0max2nEro说明最大输出信噪比仅与信号的能量及白噪声的功说明最大输出信噪比仅与信号的能量及白噪声的功率谱密度有关，与信号的波形无关。但相同能量不率谱密度有关，与信号的波形无关。但相同能量不同波形的信号，其匹配滤波器的传输函数是不同的。同波形的信号，其匹配滤波器的传输函数是不同的。 4 4匹配滤波器输出端的最大瞬时信噪比匹配滤波器输出端的最大瞬时信噪比 2021/8/238表表9-2-1 9-2-1 匹配滤波器有关公式匹配滤波器有关公式)(fH)(th)(tso)(0tsomaxor02)(ftjefkS)(0ttks)(0ttkRskE02nE2021

21、/8/239（一）最佳接收机结构（一）最佳接收机结构二元数字信号的最佳接收机框图二元数字信号的最佳接收机框图5 5 用匹配滤波器构成的最佳接收机用匹配滤波器构成的最佳接收机2021/8/240)()(11ssoTtkRts)(1ts当接收信号为当接收信号为时，上支路时，上支路匹配滤波器匹配滤波器的输出为的输出为sT时对输出进行取样，取样值达最大：时对输出进行取样，取样值达最大：dttskkRTTkRTssTssssso0211)()0()()(11当接收信号为当接收信号为)(2ts时，下支路匹配滤波器的输出为时，下支路匹配滤波器的输出为)()(22ssoTtkRtssT时对输出进行取样，取样值

22、达最大，为时对输出进行取样，取样值达最大，为dttskkRTTkRTssTsssso02222)()0()()(122021/8/2412021/8/242多元数字信号的最佳接收机框图多元数字信号的最佳接收机框图2021/8/243（二）二元数字信号最佳接收机的误码率（二）二元数字信号最佳接收机的误码率) (1ts)(2ts由于噪声的影响，最佳接收机在判决时也会发生错由于噪声的影响，最佳接收机在判决时也会发生错判，如发端发送判，如发端发送信号，接收机却判决为信号，接收机却判决为 信号。信号。接收机发生错判的可能性大小用误码率来衡量。接收机发生错判的可能性大小用误码率来衡量。2021/8/244

23、)(1ts判决器的任务就是比较上下两支路积分值的大小并判决器的任务就是比较上下两支路积分值的大小并作出判决。判决规则如下：作出判决。判决规则如下：)(2ts（2 2）如果下支路的积分值大，判为）如果下支路的积分值大，判为（1 1）如果上支路积分值大，判为）如果上支路积分值大，判为)()()()(212121ssPsPssPsPPe由于噪声的影响，判决器会发生错误判决，有两种错由于噪声的影响，判决器会发生错误判决，有两种错判情况：判情况：)(1ts)(2ts)(21ssP2.2.当发送端发送当发送端发送，判决器判为，判决器判为，此误码率记为，此误码率记为根据全概公式，最佳接收机的平均误码率为根据

24、全概公式，最佳接收机的平均误码率为: : )(12ssP)(2ts)(1ts，判决器判为，判决器判为，此误码率记为，此误码率记为 当发送端发送当发送端发送2021/8/245)(1ts)(2ts)(12ssP求发求发错判成错判成的概率的概率)()()(1tntstx)(1ts发发时，接收机输入信号为时，接收机输入信号为上支路送给判决器的积分值为上支路送给判决器的积分值为 dttstntssT)()()(101下支路送给判决器的积分值为下支路送给判决器的积分值为dttstntssT)()()(201令判决量令判决量V V为上支路积分值减去下支路的积分值，即为上支路积分值减去下支路的积分值，即dt

25、tstntsdttstntsVssTT)()()()()()(201101)(1ts)(2ts)(12ssPV0V0的概率就是发的概率就是发错判成错判成的概率的概率2021/8/246求求V V的概率密度函数：的概率密度函数：（1 1）V V是一个高斯随机变量。是一个高斯随机变量。（2 2）V V的均值为的均值为)1 ()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(20110102201101010220110101201101sTTTTTTTTTTTTEdttstsdttstsdttstnEdttstsdttstnEdttstsdtt

26、stndttstsdttstndttstsEdttstntsdttstntsEVEassssssssssss0)(tnEdttsEsTs)(021)(1tsssTTdttsdttsts021021)()()(上式中上式中是信号是信号的能量，的能量，2021/8/247bEnVEVE)1 (0222)(exp21)(22avvf2(3) V(3) V的方差的方差所以高斯随机变量所以高斯随机变量V V的概率密度函数为的概率密度函数为V0V0的概率为：的概率为： )/(2)(exp21)()0(122200ssPdvavdvvfVP2021/8/248)(21ssP求发求发s2(t)s2(t)错判成

27、错判成s1(t)s1(t)的概率的概率上支路送给判决器的积分值为上支路送给判决器的积分值为 发发s2(t)s2(t)时，接收机输入信号为时，接收机输入信号为)()()(2tntstxdttstntssT)()()(102下支路送给判决器的积分值为下支路送给判决器的积分值为 dttstntssT)()()(202令判决量令判决量V V为下支路积分值减去上支路的积分值，即为下支路积分值减去上支路的积分值，即dttstntsdttstntsVssTT)()()()()()(1022022021/8/249求求V V的概率密度函数可从以下三个方面考虑：的概率密度函数可从以下三个方面考虑：（1 1）V

28、V是一个高斯随机变量。是一个高斯随机变量。（2 2）V V的均值为的均值为sEnVEVE)1 (022)1 (sEVEa2(3) V(3) V的方差的方差所以高斯随机变量所以高斯随机变量V V的概率密度函数为的概率密度函数为2)(exp21)(22avvf2021/8/250V0V0的概率为的概率为: : )/(2)(exp21)() 0(212200ssPdvavdvvfVP得最佳接收机的误码率得最佳接收机的误码率: : )2)1 (212)(exp210220nEerfcdvavPbe2021/8/251( (三三) )各类系统最佳接收机误码率各类系统最佳接收机误码率 在基带系统中，已讨论

29、了单极性基带系统、双在基带系统中，已讨论了单极性基带系统、双极性基带系统的误码率。在调制技术这一章中，我极性基带系统的误码率。在调制技术这一章中，我们也介绍了们也介绍了2ASK2ASK、2FSK2FSK、2PSK2PSK、2DPSK2DPSK各种解调方各种解调方法的误码率。那么，如果用图法的误码率。那么，如果用图9.3.29.3.2所示的最佳系所示的最佳系统来接收它们，误码率会是多少呢？下面我们讨论统来接收它们，误码率会是多少呢？下面我们讨论这个问题。这个问题。2021/8/252121EEs014(21nEerfcPesE由于由于”1”1”码、码、”0”0”码能量不等，码能量不等，取两个能量

30、的平均值，即取两个能量的平均值，即0单极性信号单极性信号代入公式得单极性信号最佳接收机的误码率为：代入公式得单极性信号最佳接收机的误码率为：1.1.单极性基带信号单极性基带信号2021/8/25321EEEs1双极性信号的双极性信号的双极性信号最佳接收机的误码率为双极性信号最佳接收机的误码率为)(2101nEerfcPe2.2.双极性基带信号双极性基带信号21EE 前提条件：前提条件：”1”1”、”0”0”等概，等概，”1”1”码能量为码能量为E E1 1 ，”0”0”码能量为码能量为E E2 2。2021/8/25442121TAEEs0)4(2101nEerfcPe221TAE 02E因此

31、有因此有，所以一个码元内的平均能量为，所以一个码元内的平均能量为2ASK2ASK信号最佳接收机的误码率为信号最佳接收机的误码率为3.2ASK3.2ASK信号信号 2ASK 2ASK信号可表示为信号可表示为sscTttsTttfAts000)(0 1 2cos)(21前提条件：前提条件：”1”1”、”0”0”等概，等概，”1”1”码能量为码能量为E E1 1 ，”0”0”码能量为码能量为0 02021/8/2550)()(201dttstsTTnff21Tmff21n,mn,m为正整数时。为正整数时。02221TAEEEs此时，此时，2FSK2FSK信号最佳接收机误码率为信号最佳接收机误码率为)

32、2(2101nEerfcPe21EE 4.2FSK4.2FSK信号信号2FSK2FSK信号可表示为信号可表示为 TttfAtsTttfAts002cos)(0 1 2cos)(2211前提条件：前提条件：”1”1”、”0”0”等概，等概，”1”1”码能量为码能量为E E1 1 ，”0”0”码能量为码能量为E E2 2。2021/8/2565.2PSK5.2PSK信号信号TttfAtsTttfAtscc002cos)(0 1 2cos)(212221TAEEEs1)()(021sTEdttsts2PSK2PSK可表示为可表示为 2PSK2PSK信号最佳接收机误码率为信号最佳接收机误码率为)(2101nEerfcPe前提条件：前提条件：”1”1”、”0”0”等概，等概，”1”1”码能量为码能量为E E1 1 ，”0”0”码能量为码能量为E E2 2。21EE 2021/8/257可知，在可知，在n n0 0相同时，要达到相同时，要达到2PSK2PSK的误码率，的误码率