线性代数总结归纳

1、第一章行列式1. 为何要学习线性代数？学习线性代数的重要性和意义。答：线性代数是理、工、医各专业的基础课程，它是初等代数理论的继续和发展，它的理论和 方法在各个学科中得到了广泛的应用。2. 线性代数的前导课程。答：初等代数。3. 线性代数的后继课程。答：高等代数，线性规划，运筹学，经济学等。4. 如何学习线性代数？答：掌握各章节的基本概念和解决问题的基本方法，多多体会例子的方法和技巧，多做练习，在练习中要紧扣问题涉及的概念， 不要随意扩大概念的范围， 练习要自己做才能理解所学的知识。 在学 完一章后自己要做一个小结， 理清该章内容及前后概念之间的联系。 在学完本课程后，将各章的内 容做一个总结

2、，想想各章内容之间的联系，易混淆的概念要着重加深理解及区分它们之间的差异。第一章行列式5. 什么是一个n阶全排列？【知识点】：n阶全排列。答：由n个数1,2,，n组成的一个有序数组。6. 什么是标准排列？【知识点】：n阶全排列。答：按数字由小到大的自然顺序排列的n阶排列123n。7. 什么是n阶全排列的逆序？【知识点】：n阶全排列的逆序。答：在一个n阶排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面， 则称这两个数构成一个逆序。 例 如：排列45312中，数63,数4与1 ,数4与2,数5与3,数5与1,数5与2,数3与1,数3与2都构成 逆序。数4与5,数1与环构成逆序。8. 什么是n阶排列的逆序

3、数？【知识点】：n阶排列的逆序数。答：在一个n阶排列中，所有逆序的总数就是排列的逆序数。例如：上问中的排列45312的逆序数为8。9. 什么是奇排列和偶排列？【知识点】：排列的奇偶性。答：逆序数为奇数的排列叫奇排列；逆序数为偶数的排列叫偶排列。例如：排列45312为偶排列。10. 对换一个排列中的任意两个数，该排列的奇偶性有什么变化？【知识点】 ：排列的对换对排列的奇偶性的影响。答：对换一个排列中的任意两个数，奇排列就变成偶排列，偶排列就变成奇排列。例如：偶排列45312对换4与3,则变成排列35412,它的逆序数为7,排列35412是奇排列。11. 任一个n阶排列与标准排列可以互变吗？【知识

4、点】：n阶排列与标准排列的关系。答：可经过一系列对换互变。且所做对换的次数与排列具有相同的奇偶性。例如：排列32541的逆序数是6,因而是偶排列，它经过2次对换：3与1对换后变为12543,再对换5与3就变为标准排列12345。 对换的次数2与逆序数6tB是偶数，但要注意对换的次数与逆序数一般不相等。12. n阶行列式中的元素的两个下标表示什么？【知识点】：n阶行列式的元素。答：第一个下标表示元素所在的行数，第二个下标表示元素所在的列数。例如：a23表示该元素位于行列式的第2行第3列的位置。13. n阶行列式展开式中共有多少项？每一项有什么特点？【知识点】：n阶行列式的定义。答：共有n!项，每

5、一项由不同行不同列的n个元素的乘积构成。例如：3阶行列式共有3! =6项，每一项由不同行不同列的 3个元素的乘积构成。14. n阶行列式展开式中每一项前的符号如何确定？【知识点】：n阶行列式的定义。答：当n个元素的乘积的第一个下标按标准排列排列时，该项的符号为（-1）的列标排列的逆序数次方。例如：4阶行列式中的项 a4a23a32&1的符号为（-1）t（4321）=+1.15. 1阶行列式等于多少？【知识点】：1阶行列式的特点。答：1阶行列式| ai= a。但不要与绝对值混淆。16. 2, 3阶行列式的对角线算法怎样进行？【知识点】：2, 3阶行列式的的定义及特殊性。答：从左上角到右下角的元素

6、的乘积的项前取正号，从右上角到左下角的元素的乘积的项前取负号。17. 对角线算法能用于4阶以上的行列式吗？【知识点】：行列式的对角线算法的局限性。答：不能，因为按对角线算法展开阶行列式只有2n项，而阶行列式的展开式中应有m项，另外各项前的符号也不能用对角线算法的方法来定。例如：4阶行列式中的项 a4a23a32a41的符号应为+,按对角线算法的方法它的符号为“一”。18. 上（下）三角行列式怎样计算？三角行列式的算法。1 2 60 3 7 =1x3x(-1) = -3,答：主对角线上的所有元素的乘积。例如:0 0-119. 什么是转置行列式？与原行列式有什么关系？这说明行列式的什么性质？【知识

7、点】：行列式的的对称性。答：依次将行列式的行写成列后得到的行列式叫转置行列式。转置行列式与原行列式相等。这说明1 2 61 一 2 5D =-2 3 7Dt =2 3。行列式的行与列的对称性。 例如：行列式5 0-1的转置行列式5 7-1它们是相等的。20.交换行列式的任意两行（列），行列式有什么变化？【知识点】:行列式的基本性质。答：行列式要变号。例如:1 2 6D=-2 3 75 0-1-2153 72 6 = D.0 -121 .用一个数k乘行列式，行列式中的元素有什么变化？【知识点】:行列式的基本性质。答：相当于在行列式的某行（或列）的每个元素上都乘以数1 2 6D= -2 3 7k。

8、例如：口 u1，则3x1 3x23D= -235023x63 3x70 3x(-1)22 .如果行列式中有两行（列）元素相等，则行列式等于多少？【知识点】:行列式的基本性质。答：行列式等于0。例如:1 2 61 2 6 =0.5 0-123 .行列式中某一行（列）所有元素的公因子是否可以提到行列式符号的外面？【知识点】：行列式的基本性质。答：可以。例如:1-2523x633x70 3x(-1)12 6=3乂-2 3 75 0-124 .若行列式中有某一行（列）的元素全是零，则行列式等于多少？【知识点】 质。:行列式的基本性答：应用23问的答，得行列式等于 0。25 .若行列式中有两行（列）元素

9、对应成比例，则行列式等于多少？【知识点】 质。:行列式的基本性答：应用22问与23问的答，得行列式等于 0。26 .将一个行列式拆成两个行列式的和时应注意什么问题？【知识点】：行列式拆成两个行列式的和。126-2+4 3 + 5 7-2 =答：只能将某行（或列）的元素拆开，而其它行（或列）的元素不变。例如： 5127 . 把行列式的某一行（列）元素乘以同一数 【知识点】：行列式的基本性质。k后加到另一行对应元素上，行列式有什么变化?答：行列式不变1+(2)x3 2+3x3-2350例如： 的第2行乘3加到第277一 1与原行列式相等。1行后的行列式28 . 行列式的k阶子式是什么含义？【知识点

10、】:行列式的k阶子式。答：行列式的k阶子式由某k行和某k列交叉的k2个元素按原来的顺序排成的 k阶行列式。例如:的由第1、3行与第2、3列得到的一个2阶子式为29. 式的余子式是什么含义？【知识点】：行列式的子式的余子式。12 6-2 -2371答：把子式所在的行和列去掉后剩下的元素构成的行列式。例如: 行与第2、3列得到的子式的由第1、35 0-130 4-58的余子式为划去第1、3行与第2、3列剩下的行列式-2 10 8。30. 子式的代数余子式是什么含义？【知识点】：行列式的子式的代数余子式。答：子式的代数余子式是在子式的余子式前添上符号(刃2唳雁，其中4M “】办人为子式所在的行和列。

11、31. 行列式d的元素a.的余子式和代数余子式是什么含义？【知识点】：行列式的元素的余子式和代数余子式的概念。答：元素 a的余子式是去掉元素 au所在的第ia的代数余子式是在元素 a的余子式前添上符号式是去掉元素所在的第2行和第3列后剩下的元素所构成的行列式行和第j列后剩下的元素所构成的行列式。元素(1)后的式子。例如： 的元素a23=7的余子1 25 0 , a23=7的代数余子(T严式是 P Q 。32. n阶行列式的任一个 k阶子式与它的代数余子式的乘积中的每一项与行列式中的项有什么关 系？【知识点】：子式与它的代数余子式的乘积与行列式中的项的关系。答：n阶行列式的任一个 k阶子式与它的

12、代数余子式的乘积中的每一项都是行列式中的一项，而且 符号一致。33. 行列式按k行展开如何展开？【知识点】：行列式展开的拉普拉斯定理。答：在行列式中任取 k行，由这k行元素组成的所有的 k阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等 于行列式。34. 行列式按一行（列）展开如何展开？【知识点】：行列式按一行（列）展开的公式。答：行列式等于它的任意一行（列）的所有元素与它们的代数余子式的乘积之和。35. 行列式的某一行（列）的所有元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积之和等于 多少？【知识点】：行列式的重要性质。答：等于0。36. 范德蒙行列式有什么特点？怎么计算？【知识点】：范德蒙行列式。答：

13、范德蒙行列式第一行全为 1,第三行以后依次是第二行的元素 2, 3,，n-1次哥.范德蒙行列 式等于第二行的后一列元素与前各列元素的所有差的乘积。即37. 克拉默法则能解决什么样的线性方程组的问题？【知识点】 ：克拉默法则。答：方程的个数与未知量的个数相等的线性方程组，且方程组的系数行列式要求不为零。38. 克拉默法则中，方程组的解的公式是怎样计算的？【知识点】：克拉默法则。答：第i个未知量的解等于 D/D,其中D是系数行列式D中的第i列换成自由项所得到的行列式。39. 行列式的计算有哪些常用的方法？【知识点】：行列式的计算方法。答：利用行列式的性质将行列式化为上（或下）三角行列式；利用行列式

14、的性质将行列式的某一行（或列）变成只有一个元素非零，再按该行（或列）展开，依照此法做下去，直到2或3阶行列式;根据行列式的形状找出递推关系，由递推关系来计算出行列式。第二章矩阵1. 矩阵是否表示一个数？【知识点】：矩阵的概念。答：矩阵是一个由数排成的数表，不是数。2. 有哪些矩阵表示法？【知识点】：矩阵表示法。答：用大写的英文字母 A,B,，或Amn, （a j） 第n, （a j）。3. 两个矩阵相等有什么条件？【知识点】：矩阵相等的概念。答：矩阵的型相同，对应的元素相等。4. 矩阵在什么情况下叫方阵？【知识点】：方阵的概念。答：矩阵的行数与列数相等。5. 1阶方阵是什么？【知识点】：1阶方

15、阵。答：1行1列的矩阵。6. 上三角矩阵有什么特点？【知识点】 ：上三角矩阵。答：上三角矩阵是方阵，且主对角线以下的元素都为0的方阵。例如： 是上三角矩阵。7. 下三角矩阵有什么特点？【知识点】 ：下三角矩阵。答：下三角矩阵是方阵，且主对角线以上的元素都为。的方阵。例如： 是下三角矩阵。8. 对角矩阵有什么特点？【知识点】：对角矩阵。答：对角矩阵是方阵，且主又角线以外的元素都为0的方阵。例如：是3阶对角矩阵。9. n阶单位矩阵的含义是什么？【知识点】：单位矩阵的概念。答：主对角线上的元素都为 1的对角矩阵。10. 不同阶的单位矩阵是否相等？【知识点】：单位矩阵。答：因为两个矩阵相等首先要求它们

16、是同阶的，所以不同阶的单位矩阵不相等。11. 零矩阵的含义是什么？【知识点】：零矩阵的概念。答：每个元素都为0的矩阵，它不一定是方阵。12. 不同型的零矩阵是否相等？【知识点】：零矩阵。答：因为两个矩阵相等首先要求它们是同阶的，所以不同阶的零矩阵不相等。13. 两个矩阵相加有什么条件？【知识点】：矩阵的加法。答：两个矩阵的型要相同。比如要与2X 3矩阵相加的矩阵一定是 2X 3矩阵。14. 两个矩阵如何相加？【知识点】：矩阵的加法。15 .负矩阵是什么含义？【知识点】：负矩阵。答：矩阵的每个元素都添上负号后得到的矩阵为原矩阵的负矩阵。例如:-3 2 -1一一2 。16 . 两个矩阵如何相减？【

17、知识点】：矩阵的减法。答：AB为A加上B的负矩阵。例如:3-2 72 2 43 -61 13 -2 71 1 3 -6=2_| 一2 = =1 4 217 .矩阵的加法有交换律和结合律吗？【知识点】:矩阵的加法的基本规律。答：有，即有 A+B=B+A（ A+B）+GA+（BO。18. 数k与矩阵A=（aj）是如何相乘的？【知识点】：矩阵与数的乘法。答：kA为A的每个元素 a都乘数k,即（kau） 。例如:2x3 2x (-2)2x22x22x72x46 -4 144 4 819. 两个矩阵的乘法有什么条件？【知识点】 ：矩阵的乘法。答：第一个矢I阵的列数=第二个矩阵的行数，即如果矩阵 A的列数

18、是n,则从右边与 A相乘的矩阵B的行数必定是n。20. 矩阵A=（a）m与矩阵 白（匕”知相乘，所得矩阵 G=（cj）的元素 a是怎样得来的？【知识 点】：矩阵的乘法。答：元素 a是矩阵A=（a）*的第i行的元素与矩阵 B=（bj）sxn的第j列的对应元素相乘后相加3 -2 1所得，即o =an bij+a2 b0+asbsj。例如：|_224x 的第1行第2列的元素。2=第1个矩阵的第1行的元素与第2个矩阵的第2列的相应元素的乘积的和 =3X （-2） + （-2） X4+7X3=7。21 . 矩阵的乘法运算有交换律吗？【知识点】：矩阵的乘法的运算规律。答：没有。22 .如果AB=0,能得出

19、A=0或B=0吗？【知识点】：矩阵的乘法的运算规律。2 6 1 k 31A=/ 乌 B 二 ,0,答：不能。例如： L 1 一312 1J但ABo。23 .如果ABAC A 0,能得出B=C吗？【知识点】：矩阵的乘法的运算规律。6 3八，-2 6 1 - F-1 5 -IA =#0$5=, C =,答:不能。例如：I2”|_ 1一3L-1 一1有ABAC A 0,但&C。24 . 矩阵的乘法有结合律吗？【知识点】 ：矩阵的乘法的运算规律。答：有，即（ABCABC。25 . 矩阵的乘法有分配律吗？【知识点】 ：矩阵的乘法的运算规律。答：有，即 A 9。=ABAC （A = BA+CA26 .如果

20、E是单位矩阵，人是9 n矩阵，EAA 则E是多少阶单位矩阵？【知识点】：矩阵的乘法的应用。答：m阶，根据矩阵乘法的条件，E的行数=A的列数=m 而E是方阵。64 7Mg27 . n阶方阵有哥运算，即A=H4A/，矩阵的哥运算与数的哥运算有什么不同？【知识点】矩阵的哥运算。答：对两个n阶方阵A B, 一般来说，（ABkwAB,这与数的哥运算不同。28 .方阵A的m次多项式是怎样表示的？【知识点】 ：方阵的多项式。答：aoE+aiA+ +amAm,其中E是单位矩阵。29 . 矩阵A的转置是怎样进行的？【知识点】：矩阵的转置。-1 2 -1答：依次将矩阵 A的行（列）变成列（行）。例如：的转置为？

21、4 3 一。30 . 矩阵4口转置后成为什么型矩阵？【知识点】：矩阵的转置。答：nxm型矩阵，因为转置后的矩阵的行数二原矩阵的列数，转置后的矩阵的列数=原矩阵的行数。31 .矩阵A转置两次后与A有什么关系？【知识点】：矩阵的转置的性质。答：相等，即（A）2A32 .（A+BT与A,BT的关系如何？【知识点】：矩阵的转置的性质。答：（A+B）2A+B。33 .（kAT与尺的关系如何？【知识点】：矩阵的转置的性质。答：（明,二状。34 .(ABT与A, BT的关系如何？【知识点】：矩阵的转置的性质。答：(ABT=BA。35 .矩阵A成为对称矩阵有什么条件？【知识点】 ：对称矩阵。答：矢I阵A应为方

22、阵且A=A36 . 对称矩阵的乘积矩阵是否为对称矩阵？【知识点】：对称矩阵。A 121F-13-4312J_1 3_ 5 3-答：不一定。例如：_24J13。_则有 24j_ 3 010 6不是对称矩阵。37 .反对称矩阵有什么特点？【知识点】：反对称矩阵。答：主对角线上的元素都为 0,且aij=-aji ,即满足 A=-A38 . 什么矩阵可以取行列式？【知识点】：矩阵与行列式的某种联系。答：因为行列式的行数与列数要相同，所以只有方阵可以取行列式。39 .数乘次I阵kA的行列式| kA等于什么？【知识点】：数乘矩阵的行列式。答：因为数乘矩阵的每个元素是原矩阵的相应元素的k倍，即数乘矩阵的每行

23、都有相同的倍数k,所以lkA=knlA, n为矩阵A的阶数。40 .两个同阶方阵AB的乘积AB的行列式|AB与AB的行列式|A,| B|有什么关系？【知识 点】：矩阵与行列式的联系。答：|AB|=|A| 0o41 . 矩阵可逆的定义是怎样的？【知识点】：可逆矩阵。答：x于n阶方阵A 如果存在n阶方阵B,使得ABBAE,则方阵 A是一个可逆矩阵。42 . 矩阵的逆矩阵是否唯一？【知识点】：逆矩阵的性质。答：是唯一。43 . 可逆矩阵的逆矩阵是否可逆？逆矩阵的逆矩阵是什么？【知识点】：逆矩阵的性质。答：可逆矩阵的逆矩阵是可逆。逆矩阵A-1的逆矩阵是 A44 .同阶可逆矩阵的乘积是否可逆？【知识点】

24、：逆矩阵的性质。答：同阶可逆矩阵的乘积是可逆的。45 .同阶可逆矩阵AB的乘积AB的逆与A1, B1有什么关系？【知识点】：逆矩阵的性质。答：（AB 1= B1 A1。46 . 可逆矩阵的转置矩阵是否可逆？【知识点】：逆矩阵的性质。答：可逆矩阵的转置矩阵是可逆的。47 .可逆矩阵A的转置矩阵AT的逆与 A有什么关系？【知识点】：逆矩阵的性质。答：（AV= （A-1）T。48 .非零数k与可逆矩阵 A的乘积kA是否可逆？【知识点】：逆矩阵的性质。答：非零数k与可逆矩阵 A的乘积kA是可逆的，且（kA）一工k 1AC 1。49 . 任何一个方阵是否都有伴随矩阵？【知识点】：伴随矩阵。答：任何一个方

25、阵都有伴随矩阵。50 .方阵A=（aj）的伴随矩阵 6是怎样描述的？【知识点】：伴随矩阵。答：方阵 A=（aj）的伴随矩阵 6由方阵A=（aj）的行列式中元素 a的代数余子式 A构成的方阵，第i 行元素的代数余子式在伴随矩阵中排成第i 列，i=1,2,-,n.即Aj 41A Ai月* _ 4 4la一 M M Min a 4显 _ 。51 .方阵A与它的伴随矩阵A之间有什么关系？【知识点】：方阵与它的伴随矩阵的关系。答：A A*= A A=| A| E。52 .方阵A可逆的条件用它的行列式| A怎样描述？【知识点】：方阵可逆的判别条件。答：方阵A可逆的充要条件是| A W0。53 .可逆矩阵A

26、与它的伴随矩阵6有什么联系？【知识点】：可逆矩阵与它的伴随矩阵的关系。答：可逆矩阵 A的逆矩阵A 1=| A | 1A*O54 . 什么是分块矩阵？【知识点】：分块矩阵。答：在矩阵A的行、列之间加上一些横线或纵线，把A分成若干小块，以这些小块为元素构成的矩阵叫分块矩阵。55 .如果矩阵的加法要用分块来计算，那么矩阵该如何分？【知识点】 ：分块矩阵的运算。答：相加的矩阵的分法要相同。56 .如果矩阵的乘法要用分块来计算，那么矩阵该如何分？【知识点】 ：分块矩阵的运算。答：前一个矩阵的列的分法与后一个矩阵的行的分法要一致。57 . 分块矩阵的转置怎样进行？【知识点】：分块矩阵的运算。答：先将分块矩

27、阵的行（列）变成列（行），然后每个子块作转置。58 .矩阵的初等行（列）变换有哪几种？【知识点】：矩阵的初等变换。答：矩阵的初等行（列）变换有：（1）对换矩阵的任意两行（列）；（2）用一个非零数乘矩阵的某一行（列）；（3）用数k乘矩阵的某一行（列）后加到另一行（列）上。59 . 什么是初等矩阵？有几种？【知识点】：初等矩阵。答：初等矩阵是单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵。初等矩阵有三种。60 .在矩阵的左（右）边乘上一个初等矩阵相当于对矩阵作一次什么变换？【知识点】：初等变换与初等矩阵的关系。答：在矩阵的左（右）边乘上一个初等矩阵相当于对矩阵作一次相应的初等行（列）变换。61 . 两个矩阵

28、等价是什么含义？【知识点】：等价矩阵。答：两个矩阵等价是指这两个矩阵可以通过初等变换互变。62 .矩阵的等价有哪些性质？【知识点】：等价矩阵的性质。答：反身性，对称性，传递性。63 . 矩阵与它的标准形有什么关系？【知识点】：矩阵的标准形。答：矩阵与它的标准形等价。64 .如何利用矩阵的初等变换求矩阵的逆？【知识点】：求矩阵的逆的初等变换法。答：将矩阵A与同阶的单位矩阵 E按行排在一起构成一个新矩阵 （A E）,对新矩阵进行一系列的初等行 变换，将矩阵A所在的地方变成单位矩阵后 （E B）,那么单位矩阵所在的地方变化来的矩阵B就是矩阵A的逆。65 . 求矩阵的逆有什么方法？各有什么优点？【知识

29、点】：求矩阵的逆的方法。答：（1）利用伴随矩阵；（2）利用初等变换。当矩阵的阶为 2, 3时，用伴随矩阵较方便，当矩阵的 阶大于3时，用初等变换较方便。66 . 矩阵A=（a，j）的k阶子式是什么含义？【知识点】：矩阵的子式。答：在矩阵中任取 k行k歹u,位于这些行列交叉处的元素按原来相对位置所构成的k阶行列式叫做矩阵的一个k阶子式。67 . 矩阵A的秩是如何定义的？【知识点】：矩阵的秩的定义。答：矢I阵A中不为零的子式的最高阶数为矩阵的秩。68 . 矩阵A=（aj）第n的秩的范围是什么？【知识点】：矩阵的秩。答：大于等于0,小于等于 min(mn)。69 .矩阵A与转置矩阵AT的秩是否相等？

30、【知识点】：矩阵的秩的性质。答：相等。70 . n阶可逆矩阵A的秩等于多少？【知识点】：可逆矩阵的秩。答：等于n。71 . 秩为0的矩阵是什么矩阵？【知识点】：矩阵的秩的性质。答：秩为0的矩阵是零矩阵。72 .初等变换是否改变矩阵的秩？【知识点】 ：初等变换与矩阵的秩的关系。答：初等变换不改变矩阵的秩。73 .在矩阵A的左右乘上可逆矩阵 P,Q是否改变矩阵 A的秩？【知识点】：矩阵的秩的性质。答：在矩阵 A的左右乘上可逆矩阵 PQ不改变矩阵 A的秩。74 .利用矩阵的初等变换如何求矩阵的秩？【知识点】 ：求矩阵的秩的初等变换法。答：将矩阵化为阶梯形矩阵，阶梯形矩阵的非零行的行数就是矩阵的秩第三

31、章 向量空间1. 什么是n维向量？【知识点】：n维向量。答：由n个数组成的一个有序数组，比如(1, 2, 3, -2, 0)是一个5维向量。2. 分量相同的行向量和列向量是否表示同一个向量？【知识点】：n维向量。答：同一个。3. 两个向量相等是什么含义？【知识点】：向量相等。答：维数相同，对应的分量相等，即 =(a,a2,，己尸B =(b，b2,，b)的充要条件是对所有的i =1, 2, , n,有 a= b%4.一个向量的负向量的意义是什么？【知识点】 ：负向量。答：一个向量 =(a, a?,，an)的负向量是一 =( ai, a2,，一 an)。5. 两个向量是如何相加的？【知识点】：向量

32、的加法.答：对应的分量分别相加，即X =(ai, a?,，an), B =(b，b?，b)， + B =(a，a2,，&)+(b,b, ,b尸(ai+ bi,a?+ b?, ,a+ bn)。6. 一个数k与一个向量 x =(ai, a?,，a)是如何相乘的？【知识点】：向量的数乘.答：向量 =(ai,a?,，an)的每个分量都乘数 k, k%=(ka, ka,，kan)。7. 向量的线性运算是指哪两种运算？【知识点】：向量的线性运算.答：加法与数乘。8. 向量的线性运算满足哪些运算规律？【知识点】：向量的线性运算规律.答：共有8条：(1)交换律：+B=B + % ； (2)结合律( + 3 )

33、 +丫 = % + (3+丫)；(3) a +0= a :(4)%+(-%)=0；(5)(k+l) %=k %+l% ;(6) k ( a + (3 ) =ka+k(3; (7) (kl ) % =k (l % ) =| (k% );(8) 1 , % = %。9 .n维向量空间的含义是什么？【知识点】 ：向量空间.答：在n维向量组成的集合中定义了加法和数乘运算，这些运算满足上面的8条运算规律，这样的集合就是n维向量空间。10 . 一个向量B是向量组 1, % ?，a s的一个线性组合或可由向量组a i, % ?， s线性表示是什么意思？【知识点】：向量组的线性组合.答：指存在数ki,k 2,

34、 ,，k s使得B = k i % 1+ k 2 a 2+ks % s成立。ii. n维向量空间中的单位向量组指的是什么？【知识点】：单位向量组答：n维向量空间中的单位向量组指的是：(1,0,0), (0,1,0),(0,0,，1)12.向量组a 1, % 2, ,，a s线性相关是什么意思？【知识点】:向量组的线性相关.答：向量组 1, % 2, ， s线性相关是指：存在不全为零的数k1,k2,，k s使得k1 1+ k 2 % 2+ks a s=0成立。13.向量组 1, % 2, ，qs线性无关是什么意思？【知识点】:向量组的线性无关.答：向量组 1, % 2，5 s线性无关是指：如果k

35、1 1 +k 2 a 2+ks a s=0 ,则必有k1=k2=-=ks=0o14. 一个向量组是否要么线性相关要么线性无关，二者必居其一？【知识点】 ：向量组的线性相关 性.答：一个向量组是要么线性相关要么线性无关，二者必居其一。15. 如何讨论向量组 a 1, % 2, ， s的线性相关性？【知识点】：向量组的线性相关性.答：从 匕1+ k2% 2+-+ks% s=0出发，根据条件如果得到有不全为零的数 k1,k2,，k s使 得k1 a 1+ k2 a 2+, * - +ks a s=0成立，则判断 a 1, % 2,， s线性相关，如果得到 k1,k2,，ks只能都为0,则判断a 1,

36、 % 2，a s线性无关。16. n维向量空间中的单位向量组是否线性无关？【知识点】：单位向量组的线性相关性答：n维向量空间中的单位向量组是线性无关的。17 .当向量组只含有一个向量时，何时线性相关，何时线性无关？【知识点】：向量组的线性相关性.答：当向量组只含有一个向量时，则向量非零时为线性无关，向量为零向量时线性相关。18 .若一个向量组的某一部分组线性相关，那么该向量组是否一定线性相关？【知识点】：向量组的部分组与整组的关系.答：一定线性相关，设 % 1, % 2, s的某个部分组a i, % 2，a r线性相关，则a 1, 3 2, ，a s线性相关。19 .若一个向量组线性相关，那么

37、它的任何一个部分组是否一定线性相关？【知识点】：向量组的部分组与整组的关系.答：不一定线性相关。例如 1=(1,0,0),% 2=(0,1,0),% 3=(0,0,1),% 4=(1,1,1)线性相关,但部分组 1=(1,0,0),% 2=(0,1,0),% 3=(0,0,1)线性无关。20 .若一个向量组线性无关，那么它的任何一个部分组是否一定线性无关？【知识点】：向量组的部分组与整组的关系.答：一定线性无关，设 % 1, % 2, , % s线性无关，则它的任何一个部分组一定线性无关。21 .若一个向量组的某一部分组线性无关，那么该向量组是否一定线性无关？【知识点】：向量组的部分组与整组的

38、关系.答：不一定线性无关，例如 1 = (1,0,0),%2=(0,1,0),% 3=(0,0,1),%4=(1,1,1)的部分组a 1=(1,0,0), a 2=(0,1,0),a 3=(0,0,1)线性无关，但 a 1=(1,0,0),a 2=(0,1,0),% 3=(0,0,1),%4=(1,1,1)线性相关。22 .含有零向量的向量组是线性相关还是线性无关？【知识点】：含有零向量的向量组的线性相关性.答：线性相关。设% 1=0, % 2,， s,由于存在不全为。的数k1=1,k2=0,，k s=0吏彳# k 1+k2 % 2 +，, ,+ks % s = 0,所以 x 1=0, % 2

39、，a s 线性相关。23 .向量组 1, % 2, ， s中至少有一个向量可由其余s-1个向量线性表示是不是向量组a i, % 2, ，a s线性相关的充要条件？【知识点】：向量组的线性相关的条件 .答：是。24 . 如果向量组 1, % 2，a s线性无关，而向量组 1, %2,，s, B线性相关，那 么向量B是否可由向量组 1, % 2, ， s唯一地表示？【知识点】：一个向量由向量组的线性 表本.答：是。由于向量组 1, % 2, s, B线性相关，所以存在不全为 0的数ki,k 2,，k s, k,使得 ki a 1+ k2 a 2+,* , +ks % s+ k B =0。如果 k=

40、，贝u ki % 1+ k2 a 2+,* +ks a s=0, 由于向量组 a 1, % 2,，a s线性无关，则必有 kI=k2=,=ks=0,因而a 1, % 2,，a s线1性相关，这与 a 1, % 2,，a s线性无关矛 盾。所以kw0,故b =- k ( k 1+ k2 a 2+ks %s),即B 可由向量组 1, % 2, ,%$表示，唯一性可由向量组 % 1, % 2，a s线性无关得到。25 . 一个p维的向量组线性无关，每个向量增加r个分量后，该向量组是否仍然线性无关？【知识点】：向量的维数，向量组的线性相关性。答：该向量组仍然线性无关。26 .两个向量组等价是什么意思？

41、【知识点】：向量组等价的概念.答：它们可以互相线性表示。27 .等价的向量组所含的向量个数是否相同？【知识点】：向量组等价的性质。答：如果等价的两个向量组价的都是线性无关，则它们所含的向量个数相同。如果等价的两个向量组中有线性相关的向量组，则它们所含的向量个数不一定相同。28 .向量组的极大无关组有什么含义？【知识点】 ：向量组的极大无关组。答：向量组的极大无关组是向量组的一个线性无关的部分组，且向量组的任何一个向量都可以由该 部分组线性表示。29 .向量组 1, % 2, ， s的秩指的是什么？【知识点】：向量组的秩。30 .答：向量组 1, % 2, 一， s的秩指的是它的极大无关组所含的

42、向量的个数。31 .如果向量组 a i, % 2,a s线性相关，那么以 1, % 2, a s为行构成的矩阵的秩与S的关系如何？【知识点】：向量组与其对应矩阵的关系 .32 . 答：由于向量组 a i, % 2， s的秩与以 1, % 2， s为行构成的矩阵的秩相等，而向量组1,% 2,，s线性相关，那么向量组 1,% 2,， s的秩小于s,所以以a 1, % 2, ， s为行构成的矩阵的秩小于 s。33 .如果一个向量组所含向量的个数大于向量的维数，那么该向量组是否一定线性相关？【知识 点】：向量的维数，向量组的向量的个数，向量组的线性相关性。答：设向量组是由 m个n维（nm的向量组成，由

43、于由该向量组组成的m X n矩阵的秩不会超过n, m的最小值n,所以该向量组的秩不会超过 n,因而小于 m 故该向量组一定线性相关。34 . 一个向量组 1, % 2,， s可由另一个向量组 3 1, 3 2, , , , 3 t线性表示，那么它们的秩有什么关系？【知识点】：向量组的秩。答：r % 1, % 2， s w r B 1, B 2,，BJ。35 .向量组与它的极大无关组是否等价？【知识点】：极大无关组，向量组等价。答：向量组与它的极大无关组等价。36 .向量组的极大无关组是否唯一？【知识点】 ：极大无关组。答：一般不唯一。37 .同一个向量组的任意两个极大无关组是否等价？【知识点】

44、：极大无关组，向量组等价。答：同一个向量组的任意两个极大无关组等价，因为它们可以互相线性表示。38 .向量组的极大无关组所含向量的个数否唯一？【知识点】：极大无关组。答：向量组的极大无关组所含向量的个数是唯一的。向量组的秩，向量组39 .等价的向量组有相同的秩，那么秩相同的向量组是否等价？【知识点】等价。答：秩相同的向量组不一定等价。因为秩相同的向量组的向量的维数可以不同，而向量的维数不同 的向量组是不可能等价的。40 . 矩阵的行秩和列秩是什么意思？【知识点】 ：矩阵的行秩和列秩。答：由矩阵的行（列）向量组成的向量组的秩为矩阵的行（列）秩。41 . 矩阵的行秩、列秩和秩是否相等？【知识点】

45、：矩阵的行秩、列秩和秩。答：矩阵的行秩、列秩和秩相等。42 .向量空间的基指的是什么？【知识点】：向量空间的基。答：向量空间中的所有向量组成的向量组的一个有序的极大线性无关组。43 .向量空间的维数指的是什么？【知识点】：向量空间的维数。答：向量空间的基所含向量的个数。44 .向量空间中的向量的坐标与基有什么关系？【知识点】 ：向量空间的基，向量的坐标。答：向量的坐标是向量表示为基的线性组合时的基向量前的系数。45 .同一个向量在不同基下的坐标是否相同？【知识点】：向量空间的基，向量的坐标。答：同一个向量在不同基下的坐标是不同的。例如：向量（1,1）在基（1, 0）, （0, 1）下的坐标为（

46、1, 1）而在基（1, 0）, （0, 2）下的坐标是（1, 1/2）。46 . 两个向量之间的内积是怎样定义的？【知识点】：向量的内积。答：两个向量之间的内积是对应坐标的乘积之和，即设 =（a, a2,，an）, 3 =（5也，bo。则, B 的内积为 a1 b 1+a2 b2+an bn。47 . 什么是欧氏空间？【知识点】：欧氏空间的概念。答：定义了向量的内积的向量空间。48 . 两个向量正交的含义是什么？【知识点】：向量正交的概念。答：两个向量正交是指内积为零的两个向量。49 . 什么是正交向量组？【知识点】：正交向量组。答：向量两两正交的向量组。50 . 什么是单位向量？【知识点】：

47、向量的长度。答：长度为1的向量。51 . 什么是标准正交向量组？【知识点】 ：标准正交向量组。答：标准正交向量组是每个向量为单位向量的正交向量组。52 .正交向量组是否线性无关？【知识点】：正交向量组，线性无关。答：正交向量组线性无关。53 . 一个线性无关的向量组如何变成与它等价的正交向量组？【知识点】：正交向量组，线性无关。答：用施密特正交化方法可以把一个线性无关的向量组变成与它等价的正交向量组。54 . 能否从一个线性相关的向量组进行施密特正交化？【知识点】 ：施密特正交化。答：不能从一个线性相关的向量组进行施密特正交化。55 . 一个矩阵成为正交矩阵有什么条件？【知识点】：正交矩阵。答

48、：矩阵的行（或列）向量组是标准正交向量组。56 .正交矩阵的行列式等于多少？【知识点】：正交矩阵。答：正交矩阵的彳T列式等于土 1。57 .正交矩阵的乘积是否仍为正交矩阵？【知识点】：正交矩阵的性质。答：正交矩阵的乘积是正交矩阵。58 .正交矩阵是否可逆？它的逆是否仍为正交矩阵？【知识点】：正交矩阵的性质。答：正交矩阵是可逆。它的逆是正交矩阵。第四章线性方程组1 .线性方程组AXb的增广矩阵指的是什么？【知识点】：线性方程组的增广矩阵。答：线性方程组的增广矩阵由系数矩阵和常数项组成的矩阵，即B=（A b）。2 .什么是齐次线性方程组？【知识点】：齐次线性方程组。答：常数项b都为零的线性方程组，

49、即 b=0o3.什么是非齐次线性方程组？【知识点】：非齐次线性方程组。答：常数项b不都为零的线性方程组，即 bw。4. 非齐次线性方程组 AXb有解的充要条件是什么？【知识点】：非齐次线性方程组有解的充要条件。答：系数矢I阵的秩=增广矩阵的秩，即 r（ A） =r（ B）。5. 方程组的初等变换有哪几种？【知识点】 ：方程组的初等变换。答：有3种：（1）互换方程组中某两个方程的位置；（2）用一个非零数乘以某个方程；（3）将某一个方程的k倍加到另一个方程上。6. 非齐次线性方程组 AXb有唯一解的条件是什么？【知识点】：非齐次线性方程组有唯一解的条件。答：系数矢I阵的秩r（ A） =增广矩阵的秩

50、r（均=方程的自变量的个数。7. 非齐次线性方程组 AXb有无穷多解的条件是什么？【知识点】：非齐次线性方程组有无穷多解的条件。答：系数矢I阵的秩r（ A） =增广矩阵的秩r（ B）方程的自变量的个数。8. 对方程组 AX=b进行初等变换相当于对增广矩阵B=（Ab）作什么变换？【知识点】：方程组的初等变换，矩阵的初等变换。答：对方程组进行初等变换相当于对增广矩阵B=（A b）作初等行变换。9. 如何判断方程组 AX=b有解的条件？【知识点】：方程组有解的条件。答：对增广矩阵 B=（Ab）作初等行变换，将增广矩阵化为阶梯形矩阵，判断系数矩阵A的秩是否等于增广矩阵B的秩。10. 齐次线性方程组 A

51、X。是否一定有解？【知识点】：齐次线性方程组的解。答：因为X=0是一个解，所以 AX。一定有解。11. 齐次线性方程组AX。主要关心的是什么样的解？【知识点】 ：齐次线性方程组的解。答：非零解。12. 齐次线性方程组 AX。的任何两个解 X, K的和X+X是否仍为该齐次线性方程组的解？【知识点】：齐次线性方程组的解的性质。答：因为X, X2是齐次线性方程组 AX0的两个解，于是AX=0, AX=0,由于A(X+X) =AX+AX=0+0=0,故 X+%是 AX=0的解。13. 齐次线性方程组 AX。的任何一个解 X与任何一个数k的乘积kX是否仍是该齐次线性方程 组的解？【知识点】：齐次线性方程

52、组的解的性质。答：因为X是齐次线性方程组 AX。的解，而A (kX) = kAXko=0,所以kX是齐次线性方程组AM。的解。14. 齐次线性方程组 AX。的基础解系T 1,刀2,，T r要满足什么条件？【知识点】：齐次线 性方程组的基础解系。答：齐次线性方程组的基础解系T 1 , T 2,，刀r是解空间的一组基，即(1) T 1,42,，T r都是齐次线性方程组 AX=0的解向量；(2) Y 1,刀2,，T r是所有解向量构成的向量组的一 个极大线性无关组。15 .齐次线性方程组 AX。什么时候没有基础解系？【知识点】：齐次线性方程组的基础解系。答：当系数矩阵的秩=方程组的自变量的个数时，齐

53、次线性方程组AX。没有基础解系。16 .齐次线性方程组 AX。的基础解系是否唯一？【知识点】：齐次线性方程组的基础解系。答：因为与一个基础解系等价的线性无关的向量组都是同一个齐次线性方程组的基础解系，所以基础解系不唯一。17 .齐次线性方程组AX。的基础解系所含向量的个数是否唯一？等于多少？【知识点】 ：齐次线性方程组的基础解系。答：齐次线方程组 AX。的基础解系所含向量的个数是唯一的，它等于方程的自变量的个数n减系数矩阵的秩r,即n-r o18 .如何确定齐次线性方程组 AX。的基础解系？【知识点】：齐次线性方程组的基础解系的确定。答：将系数矩阵 A进行初等行变换，化为阶梯形矩阵，得到与原方

54、程组等价的方程组，确定自由未知量，依次取一个自由未知量为1,其它取为0,代入等价的方程组解方程组，就得n-r个解向量，它们就是齐次线性方程组的基础解系。19 .齐次线性方程组AX。的通解怎么表示？【知识点】：齐次线性方程组的通解。答：齐次线，f方程组 AX=0的通解由齐次线性方程组 AX0的基础解系 Y 1,刀2,，刀的线性组合表示。20 .非齐次线性方程组 AX=b的任意两个解 X,K的和X+X2是否仍为该方程组的解？【知识点】： 非齐次线性方程组的解的性质。答：不是，因为 AX=, AX=b,所以 A（X+X） = AX+AX= b+b=2 b中b,所以 X+X不是AX= b的解。21 .非齐次线性方程组 AXb的导出组指的是什么？【知识点】：非齐次线性方程组的导出组。答：非齐次线性方程组 AXb的导出组指的是：将常数项 b令为0,系数不变而得的方程组 AX0。22 .非