知识讲解_不等式全章复习与巩固_基础

1、不等式全章复习与巩固【学习目标】1 .能正确的记忆和灵活运用不等式的性质；2 .会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型和二元一次不等式组，提高数学建模能力；3 .掌握一元二次方程，二次函数，一元二次不等式，这三个“二次”的联系，会解一元二次不等式;些简单的4 .了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组，会从实际情境中抽象出一 二元线性规划问题，并能加以解决；5.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题，注意基本不等式适用的条件【知识网络】【要点梳理】要点一：不等式的主要性质对称性：a b b a(2)传递性：a b,b c a c(3)加法法则：a b a c b c；a

2、 b,c da c b d(4)乘法法则：a b,c 0 ac bc ；a b, c 0ac bc,a b 0,c d 0 ac bd乘方法则：a b 0 an bn (n N*且n 1)(6)开方法则：a b 0n/a Vb (n N*且n 1)要点诠释：不等式性质中要注意等价双向推出和单向推出关系的不同要点二：三个“二次”的关系一元二次不等式ax2 bx c 0或ax2 bx c 0 (a 0)的解集:设相应的一元二次方程 ax2 bx c 0 （a 0）的两根为x1、x2且x1x2, b2 4ac ,则不等式的解的各种情况如下表:000二次函数y ax2 bx c（a 0）的图象1 J

3、rnJ jL Xl=x> VI-o,兀一次方程ax2 bx c 0a 0的根后两相异实根xi,x2（xi x2）有两相等实根bxi x22a无实根ax2 bx c 0 (a 0)的解集x xx1 或 x x21bxx12aRax2 bx c 0(a 0)的解集xx1x x22A ax bx c (a 0)解一元二次不等式的步骤（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数:（2）计算判别式，分析不等式的解的情况： 0时，求根x,x2 （注意灵活运用因式分解和配方法）； 0时，求根x1 x2;2a 0时，方程无解（3）写出解集.要点诠释：若a 0,可以转化为a 0的情形解决.

4、要点三：线性规划用二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式 Ax+By+C >0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域 .（虚线表示区域不包括边界直线）二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线 Ax+By+C=0同一侧的所有点（x,y）,把它的坐标（x,y）代入Ax+By+C ,所得到实数的符号都相 同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（ x°,y0）,从Axo+Byo+C的正负即可判断 Ax+By+C >0表示直线哪一侧 的平面区域.（特殊地，当 CWO时，常把原点作为此特殊点）线性规划的有关概念:线性约束条件：如果两

5、个变量x、y满足一组一次不等式组，则称不等式组是变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件.线性目标函数：关于x、y的一次式z=ax+by(a , b C R)是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数.线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.可行解、可行域和最优解 ：在线性规划问题中，满足线性约束条件的解( x,y)叫可行解.由所有可行解组成的集合叫做可行域.使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解.要点诠释：求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤(1)设

6、变量，建立线性约束条件及线性目标函数；(2)由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；(3)求出线性目标函数在可行域内的最值(即最优解)；(4)作答.要点四：基本不等式两个重要不等式a,b R,那么a2 b2 2ab (当且仅当a b时取等号“=基本不等式：如果 a,b是正数，那么a上 Tab (当且仅当a b时取等号“=.2算术平均数和几何平均数算术平均数：ab称为a,b的算术平均数； 2几何平均数：Vab称为a,b的几何平均数.因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 基本不等式的应用x, y (0,)，且xy P (定值)，那么当 x y时，x y有最小值2JP

7、 ；1 _2x,y (0,)，且x y S (定值)，那么当 x y时，xy有最大值S .4要点诠释：在用基本不等式求函数的最值时，应具备的三个条件：一正：函数的解析式中，各项均为正数； 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值【典型例题】类型一：不等式的性质例1.若a b 0,则下列不等关系中不能成立的是()1111 2,2A. B. - C.|a|b| D.a ba b aba【思路点拨】利用不等式的性质，逐项进行判断【解析】: a0, a b 0.0,|a|b |, C项成立.0,、222.2(a) ( b) , a

8、 b , . D 项成立.0,(a b)0, a a b 0, a b a 0,故应选【总结升华】运用不等式的基本性质解答不等式问题，要注意不等式成立的条件，否则将会出现一些错误【变式】已知m,nR,-11则一一成立的一个充要条件是（m nA. m 0 nB. nC. mn(m n) 0D. m n 0例2.如果30 x42,16 y 24 ,则（1）x 2 y的取值范围是；（2）-的取值范围是 y【思路点拨】利用不等式性质运算时，注意不等式成立的条件.5 21【答案】（1） （ 18,10）;（二一）.4 8【解析】（1） Q16y 24,48 2y32,又 Q30利用不等式的性质ab,cd

9、可得:18 x 2y 10. Q16 y 24,1241-,Q3016利用不等式的性质a0,cd 0 acbd可得:5 x 214 y8【总结升华】注意同向（异向）不等式的两边可以相加（相减）,这种转化的正确应用【变式】如果30 x 42,16 y 24,则(1) x y的取值范围是；(2) xy的取值范围是【答案】(1) (46, 66); (2) (480, 1008)例3.已知函数f(x) ax2 c,满足 4 f (1)1,1f(2) 5,那么f (3)的取值范围是【思路点拨】将f (3)用f (1)及f (2)表示出来，再利用不等式性质求得正确的范围解法一:方程思想(换元):4ac

10、f(1)c f(2)1 ,a - f(2)f(1)4 .1.c - f(1)f(2)33f (3) 9a c585 f(1) 8 f335 -f(1)35 -f(1)320 8万，33 f20,f (3) 20.解法二:待定系数法设 f(3)=9a-c=mf(1)+nf(2)=m(a-c)+n(4a-c)m 4n-m - n9 m-1 n5-83(下略)3解法三:数形Z合(线性规划)-4Q -1f (1) -1-4 a-c -1f (2) 5-1 4a-c 5设z 9a-c,将边界点(0,1)(3,7)代入即求出.【总结升华】利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围是一类常见的综合问题，对于

11、这类问题要注意:“同向(异向)不等式的两边可以相加 (相减)”，这种转化不是等价变形， 在一个解题过程中多次使用这种转化时, 就有可能扩大真实的取值范围，解题时务必小心谨慎，先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性不等关系的运算，求得待求的范围”,是避免犯错误的一条途径举一反三:【变式】已知 1 a b 5,1 a b 3,求3a 2b的取值范围.【答案】卜3, 10类型二：不等式的求解例 4 .设 A x|x2 4x 3 0, B x|x2 2x a 8 0,且 A B,求 a 的取值范围.【解析】令f(x) x2 2x a 8由A B ,及二次函数图象的性质可得9

12、a 5.f°,即1 2f (3) 09 6因此a的取值范围是 9 a 5.【总结升华】正确求解不等式，弄清楚两个集合对应二次函数图象之间的关系是解决本题的关键举一反三:【变式1】若不等式(x a)(x 1) 0的解集为(-8-1 u2,+，求实数a的值【答案】由题设知 x=2为方程f(x)=0的根，f(2)=0a=-2，所求实数a=-2【变式2】不等式ax2+bx+12>0的解集为x|-1<x<2,则a=, b=.【答案】由不等式的解集为x|-1<x<2知a<0,且方程ax2+bx+12=0的两根为-1, 2.b 1 2 1由根与系数关系得a12(

13、1) 22a解得 a=-6, b=6.【变式3】已知关于x的方程(k-1)x，(k+1)x+k+1=0有两个相异实根，求实数 k的取值范围5【答案】k ( 1,1)U(1,5). 3例5.若关于x的不等式(m 1)x2 (2m 1)x m 2 0的解集为一切实数 R,求m的取值范围【解析】当m 1时，原不等式为：3x 1 0,不符合题意.当m 1时，原不等式为一元二次不等式，显然不符合题意当m 1时，只需 0 ,(2m 1)2 4(m 1)(m 2) m 10,解得m综上，m的取值范围为m【总结升华】在含参不等式问题中，二次不等式恒成立的充要条件的理论依据ax2+bx+c>0 对任何ax

14、2+bx+c<0 对任何x R恒成立x R恒成立a>0 且 A =b-4ac<0;a<0 且 A =b-4ac<0.与不等式恒成立相互依存，相互支撑与相互转化的最值命题:f(x)恒成立四V f(x)的最小值f(x)恒成立 f(x)的最大值举一反三：【变式】右对于任思 X R恒有3x2+2x+2>m (x2+x+1) (m N )，求m的值【答案】对任意x R有3x2+2x+2>m (x2+x+1 )恒成立对任意 x R 恒(3-m) x2+(2-m)x+(2-m)>0 成立3 m 02(2 m)2 4(3 m)(2 m) 0m 310 m 2m

15、2或 m一3又因 m N*, 1- m=1【解析】利用三角形的三边关系得：类型三：二元一次方程(组)与平面区域例6.设集合A=(x,y)|x,y,1 -x- y是三角形白三边长，则A所表示的平面区域(不含边界的阴影部分) 是( )xy1xyxy1xy ,即yx1xy1x y 2,1x ,表布的平面区域为 A选项.21 y ,【总结升华】注意本例中三角形本身的性质举一反三：x 2y 4【变式1】不等式组y所表示的平面区域为()2x 3y 6ABCD【答案】选Bxy0【变式2】不等式组 xy0在xy平面上的解的集合为（）0x10y1A.四边形内部B.三角形内部 C.一点D.空集，交集为三角形内部，

16、选B.类型四：求线性目标函数在线性约束条件下的最优解例7. （2015 陕西）某企业生产甲、乙两种产品均需用 A, B两种原料.已知生产 1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为 3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）A . 12万元B. 16万元C. 17万元D. 18万元甲乙原料限额A（吨）3212B（吨）128 n【思路点拨】设每天生产甲乙两种产品分别为x,y吨，禾I润为z元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z的最大值。【答案】D【解析】设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x、y

17、吨，则利润z=3x+4y3x 2y 12由题意可列 x 2y 8,其表示如图阴影部分区域：x 0y 0当直线3x+4y z=0过点A (2, 3)时，z取得最大值，所以 Zmax=3X 2+4 X 3=18.故选：D.【总结升华】 本题主要考察线性规划的应用，建立约束条件和目标函数，利用数形结合是解决本题的关键。举一反三：【变式1】(2015新课标n )设x, y满足约束条件B. 8C. 3x y 7 0x 3y 1 0 ,则z=2xy的最大值为（3x y 5 0D. 2【答案】作出不等式组对应的平面区域如图：(阴影部分ABC).由 z= 2x y 得 y = 2x z,平移直线y=2x-z,

18、由图象可知当直线 y=2x z经过点C时，直线y=2x z的截距最小, 此时z最大.,x y 7 0 i/口 x 5 .由 ,，解得 ，即C (5, 2)x 3y 1 0 y 2代入目标函数z=2xy,得 z= 2X5- 2=8.故选：B.2x y 1 0, 【变式2】(2016 新课标出文)若x,y满足约束条件 x 2y 1 0,则z x 1,作出不等式组满足的平面区域，如图所示，由图知当目标函数z 2x 3y2x 3y 5的最大值为5经过点A( 1, 1)时取得最小类型五：均值不等式求最值及应用例8.求函数y 3x21622 x的最小值.【思路点拨】3x21622 x是二项“和”的形式，但

19、其积”的形式不为定值12 x2可与x2 2相约，即其积为定积1,因此可以先添、减项216y 3x2 6 2 66,即2 x ,再用均值不等式y 3x23x2 616x2 216x2 2值，即2 ( 1) 3 ( 1) 510.3(x2 2) -216 x23(x22) x216 268.3 6当且仅当3(x2 2) 6-,即x2 43 2时，等号成立.所以y的最小值是8P 6.x2 23【总结升华】为了创造条件利用均值不等式，添项是常用的一种变形技巧；为了保证式子的值不变，添项后 定要再减去同一项.举一反三：【变式1】求y 2x(3 x)(0<x<3)的最大值.【答案】Q 0<

20、; x< 3, 3 x> 0且为常数y 2x(3 x) 2 (24)293 一(当且仅当x 3 x,即x 时取等号)22当 x一时，ymax2【变式2已知x 0, y 0,且满足3x 2y12 ,求lg x 1g y的最大值.3x 2y 1 3x 2y 21 12 2Q x 0, y 0,1g x lg y 1g(xy)1g丁 ig6(丁) ig6(a) lg6当且仅当3x 2y ,即x 2, y3时等号成立。所以lg x lg y的最大值为lg 6.例9 .某厂有一面长14米的旧墙，现在准备用这面墙的一段为一边，建造平面图形为矢I形且面积为126平方米的厂房(不考虑墙高)，修1米

21、旧墙的费用是造l米新墙费用的25%用拆去旧墙所得的材料建 1米墙的费用是建1 米新墙费用的50% (拆旧墙的材料损失忽略不计 ).问：如何利用旧墙才能使建墙费用最少?(建门窗的费用与建新墙的费用相同，可以不考虑).【思路点拨】设出保留旧墙的长度，表示出新建墙的长度，然后根据题意表示出费用函数，并根据函数解析式的 特征拼凑常数，正确应用均值不等式求最值.【解析】设保留的旧墙长为x米，则拆去的旧墙为 (14-x)米，用这部分旧墙的材料建墙，另外还应建新墙126, 一，*2 x (14 x)米.设每米新墙造价为 1个单位，则建墙的总造价 xy 至 x 约(14 x) 100100252x2x 147252