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文档简介
1、极限与连续01sinlim0 xxx00(一)(一)函数极限函数极限数列极限数列极限nxxx,21,nx)(nfxn nx数列极限定义:数列极限定义:一数列一数列 ,若当,若当n n无限增大时,无限增大时, 无限趋近某个固定常数无限趋近某个固定常数A A,则称当,则称当n n趋趋于无穷时,数列于无穷时,数列 以以A A为极限。为极限。 记为记为nxnxnxAxnn lim函数极限函数极限记为记为注意:注意:1 1、以上是一个符号系统,构成极限定义,、以上是一个符号系统,构成极限定义, 缺一不可;缺一不可; 2 2、极限过程、极限过程xx是指是指 xxxx0 0, xx, xx0 0 , xx,
2、 xx0 0 , x, , x, x x, x, x中的一种。中的一种。)(xfy x)(xfAxfox )(limx)(xfy 3 3、极限存在的充要条件极限存在的充要条件 010)(xxxxf0lim)(lim00 xxfxx11lim)(lim00 xxxf )(10lim0)(0)(0limxfxxxfxfxx xxxsin12)。,(0limlimlim BBAvuvunnnAuu lim 两个重要极限推广形式两个重要极限推广形式”型)”型)属“属“()()()()()()001sinlim0( ”型)”型)属“属“()()()()()() 1)11(lim( ee ()()()()
3、()()10)1(lim(二)连续与间断(二)连续与间断)()(0lim0 xfxfxx 2 2、间断点、间断点 函数的不连续点称为间断点函数的不连续点称为间断点11)(2 xxxxf 00013)(2xxxxxf 0001sin)(xxxxf例:求下列函数的间断点例:求下列函数的间断点1、2、3、解:解:1 1、x=1 x=1 (无定义)(无定义) 2 2、x=0 x=0(极限不存在)(极限不存在) 3 3、x=0 x=0(极限值不等于函数值)(极限值不等于函数值)0lim0 xxxx )()()(limlim000 xfxfxfxxxx 1ln)1(limln)1(lnlim)1ln(1l
4、im10100 exxxxxxxxx具体计算时要注意上述法则或方法成立的条件,具体计算时要注意上述法则或方法成立的条件,否则会在运算中出现错误。否则会在运算中出现错误。15510)13()21()13(lim xxxx解:解:当当 时分式的分子、分母的极限都时分式的分子、分母的极限都不存在,不能用极限的除法法则不存在,不能用极限的除法法则 x551551032)13()21()13(lim xxxxxxx2sin11lim0 解:解: 当当 时分式的分子、分母的极限都时分式的分子、分母的极限都为为0 0,且分子中含有无理根式。遇到此情形需,且分子中含有无理根式。遇到此情形需先将根式有理化先将根
5、式有理化 0 x1245lim224 xxxxx3 3、解:当时分式的分子、分母的极限都为解:当时分式的分子、分母的极限都为0 0,且,且分式的分子、分母均为的二次多项式,遇到分式的分子、分母均为的二次多项式,遇到此情形需先分解因式,消去极限为零的因式此情形需先分解因式,消去极限为零的因式再用除法法则再用除法法则 733414)3() 1(lim)4)(3()4)(1(lim1245lim44224 xxxxxxxxxxxxxxxxx)11(lim 4 4、解:先进行恒等变形,在利用第解:先进行恒等变形,在利用第2 2个重要极限个重要极限 21)11 ()11 (lim)1111(lim)11(limeeexxxxxxxxxxxxx xxxtanlim05 5、解:利用第一个重要极限解:利用第一个重要极限 111cos1sinlimtanlim00 xxxxxxx对照练习对照练习1 1、求下列极限、求下列极限 1082)13()12()1(lim xxxxxxxx
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