第二章数据在计算机中的表示

1、第二章第二章 数据在计算机中的表示数据在计算机中的表示n概述概述n字符编码字符编码n中文编码中文编码n逻辑数据逻辑数据n数值数据数值数据n校验码校验码 概述概述q计算机中最重要的功能是处理信息，如：数值、文字、符号、语言和图象等。计算机内部，各种信息都必须采用数字化编码的形式被传送、存储、加工。因此掌握信息编码的概念与处理技术是至关重要的。q所谓编码，就是用少量简单的基本符号，选用一定的组合规则，以表示出大量复杂多样的信息。概述概述n常用的信息分为： 定点数(fixed-point) 数值信息 浮点数(floating-point) 字符(character) 非数值信息 汉字(Chinese

2、 character) 逻辑数据(logical data)2.1 字符编码字符编码n用一定位数的二进制数“0”和“1”进行编码给出。n常用的字符编码ASCII码。nASCII （American Standard Code for Information Interchange)2.1 字符编码字符编码码是美国信息交换标准代码。码是美国信息交换标准代码。( ( merican tandard ode for nformation nterchange) )包括包括0- -9十个数字，大小写英文字母十个数字，大小写英文字母及专用符号等及专用符号等95种可打印字符。另有种可打印字符。另有3333

3、不可不可打印字符，被用于控制码。打印字符，被用于控制码。1000011 1101111 11011011110000 1110101 11101001100101 11100107 6 5 4 3 2 12.2 中文编码中文编码n汉字输入码：为便于汉字进行输入时的编码，汉字输入码：为便于汉字进行输入时的编码，将汉字代码化。将汉字代码化。n汉字机内码：用于汉字信息的存储、交换、汉字机内码：用于汉字信息的存储、交换、检索等操作的机内代码。一般用两个字节表检索等操作的机内代码。一般用两个字节表示。示。n汉字字型码：汉字输出时的编码。用点阵表汉字字型码：汉字输出时的编码。用点阵表示。示。精密型精密型4

4、848 4848288288提高型提高型3232 3232128128普及型普及型2424 24247272简易型简易型1616 16163232汉字点阵类型汉字点阵类型点阵点阵占用字节数占用字节数显示输出显示输出打印输出打印输出机内码向字形码转换机内码向字形码转换机内码机内码输入码向机内码转换输入码向机内码转换2.2 中文编码中文编码字符代码化（输入）字符代码化（输入）数字码数字码拼音码拼音码字形码字形码2.3 逻辑数据逻辑数据逻辑型数据只有两个值：逻辑型数据只有两个值：真真 和和 假假，正好可以用二进制码的两个符号分别表示，正好可以用二进制码的两个符号分别表示，例如例如 1 表示表示 真真

5、 则则 0 表示表示 假假不必使用另外的编码规则。不必使用另外的编码规则。对逻辑型数据可以执行逻辑的对逻辑型数据可以执行逻辑的 与与 或或 非非等基本等基本逻辑运算。其规则如下逻辑运算。其规则如下逻辑数据逻辑数据 输入输入 输出输出 x y X与y X或yX的非000010101110010111102.4 数值数据数值数据 在选择计算机的数的表示方式时，需在选择计算机的数的表示方式时，需要考虑以下几个因素：要考虑以下几个因素： 1要表示的数的类型；要表示的数的类型；2数值的范围；数值的范围；3数值的精度；数值的精度；4数据存储和处理所需要的硬件代价。数据存储和处理所需要的硬件代价。2.4 数

6、值数据数值数据q 定点数定点数q 浮点数浮点数q 十进制数串十进制数串2.4.1 数值数据数值数据定点数的表示方法定点数的表示方法 定点表示定点表示：约定机器中所有数据的小数点位置是固定不变的。由于约定在固定的位置，小数点就不再使用记号“.”来表示。通常将数据表示成纯小数纯小数或纯整数纯整数。定点数xx0 x1x2xn 在定点机中表示如下(0为符号位，0代表正号，1代表负号):2.4.1 数值数据数值数据定点数的表示方法定点数的表示方法纯小数纯小数的表示范围为(x0 x1x2xn 各位均为0时最小；各位均为1时最大)0|12n 纯整数纯整数的表示范围为0|2n1 2.4.2 数值数据数的机器码

7、表示数的机器码表示 在计算机中对数据进行运算操作时，在计算机中对数据进行运算操作时，符号位如何表示呢？是否也同数值位一符号位如何表示呢？是否也同数值位一道参加运算操作呢？为了妥善的处理好道参加运算操作呢？为了妥善的处理好这些问题，就产生了把符号位和数字位这些问题，就产生了把符号位和数字位一起编码来表示相应的数的各种表示方一起编码来表示相应的数的各种表示方法，如原码、补码、反码、移码等。通法，如原码、补码、反码、移码等。通常将前者称为常将前者称为真值真值，后者称为，后者称为机器数机器数或或机器码机器码。 1.原码表示法原码表示法 定点小数定点小数X表示表示: Ns. N: Ns. N1 1 N

8、N2 2 Nn Nn 定义定义: X 原原 = 定点整数定点整数X表示表示：Ns N1 N2 Nn 定义定义: X 原原 =X, 0 X 11-X, -1 X 0X, 0 X 2n 2n-X, - 2n X 01.原码表示法原码表示法n实例实例：X1 = 0.10110 -0.10110 0.0000 X 原原= 0.10110 1.10110 0.0000 1.0000 n实例实例：X1 = 10110 -10110 0000 X 原原= 010110 110110 00000 10000 1.原码表示法原码表示法性质: 原码为符号位加上数的绝对值，0正1负 原码零有两个编码，+0和 -0编

9、码不同 原码难以用于加减运算，但乘除方便 N+1位二进制原码所表示的范围为：小数：MAX=1-2-n ，MIN=（ 1-2-n ）整数：MAX= 2n-1， MIN=（ 2n-1） 1.原码表示法原码表示法原码的优点是：简单易懂。原码的优点是：简单易懂。 缺点是：难以用于加减运算。原因是：缺点是：难以用于加减运算。原因是：如果是异号相加，则要进行减法运算。首先如果是异号相加，则要进行减法运算。首先要比较绝对值的大小，然后大数减小数，最要比较绝对值的大小，然后大数减小数，最后确定符号。后确定符号。为了便于加减运算，采用了补码表示。为了便于加减运算，采用了补码表示。2. 补码表示法补码表示法 补码

10、是在“模”和“同余”的概念下导出的。 “模”是指一个计量系统的计量范围，即产生“溢出”的量。 在计算机中，机器能表示的数据位数是一定的，其运算都是有模运算。如果是n位整数，其模为2n。如果是n位小数，其模为2。 若运算结果超出了计算机所能表示的数值范围，则只保留它的小于模的低n位的数值，超过n位的高位部分就自动舍弃了。2. 补码表示法补码表示法定义： 任意一个X的补码为X补，可以用该数加上其模M来表示。 X补=X+M2. 补码表示法补码表示法定点小数表示: X0. X1 X2 Xn 定义: X 补 = （MOD 2） 定点整数表示：X0 X1 X2 Xn 定义: X 补 = （MOD 2n+1

11、） X 2+ X0 X 1 -1 X 0 X 2n+1 + X；0 X 2n - 2n X 02. 补码表示法补码表示法n由于正数的补码就是正数本身，故着重讲解负数求补码负数求补码的方法。2. 补码表示法补码表示法（1）由定义求由定义求例：例：X补=2+X=10+(-0.1101001)=1.00101112. 补码表示法补码表示法n例例: X=- 1101001 解解: X补补=27+1+X=100000000+(-1101001)=10010111反过来，由补码求真值，只要将公式进行交换反过来，由补码求真值，只要将公式进行交换即可即可。2. 补码表示法补码表示法性质: 0的补码是唯一的 补

12、码便于加减运算 n+1位补码所能表示的数：小数：MAX=1-2-n ，MIN=1整数：MAX= 2n-1， MIN= 2n 2. 补码表示法补码表示法n补码便于加减运算，因为不论正、负数它只补码便于加减运算，因为不论正、负数它只需要做加运算。但负数的求补需要做一次减需要做加运算。但负数的求补需要做一次减运算，显然有不方便，为此又引入了反码。运算，显然有不方便，为此又引入了反码。3.反码表示法反码表示法定点小数表示: Ns. N1 N2 Nn 定义: X 反 =定点整数表示：Ns N1 N2 Nn 定义: X 反 = X； （2-2-n ）+ X；0 X 1 -1 X 0X； 0 X 2n（ 2

13、n+1 1）+ X； - 2n X 03.反码表示法反码表示法n由原码求反码，如果由原码求反码，如果X为正数，则为正数，则X反反=X原原；如果如果X为负数，为负数，则将则将X原原除符号位以外，每位都除符号位以外，每位都变反，可得到变反，可得到X反反。n实例实例：X1 = 0.10110 -0.10110 0.0000 X 原原 = 0.10110 1.10110 0.0000 1.0000 X 反反 = 0.01001 1.01001 0.0000 1.1111 3.反码表示法反码表示法 X 反反 =2+ X -2-n X 补补 = 2+ X 所以所以当当x的真值为负数时：的真值为负数时：有有

14、 X 补补 = X 反反 + 2-n 负数求补：变反加一负数求补：变反加一由由-X补补求求X补补，此规则同此规则同样适用样适用。 由X补求-X补:连符号位一起各位求反，末位加1。例：X补=1.1010101解:X补= 1 1 0 1 0 1 0 1 -X补=0 000111 0+1 0 0 1 0 1 0 1 14.移码表示法移码表示法 对于n+1位数x0 x1 x2 xn 定义: X 移 =2n+x; 由于移码是在原值X上加一个2n，所以也称为增码，因此，符号为1时，表示正数，符号为0时，表示负数。例如例如：X=1101010， 则：则：X补补= 01101010 X移移=27+X =111

15、01010 -2n X 2n4.移码表示法移码表示法例如例如：X=-1101010， 则：则：X补补=28+X = 10010110 X移移=27+X =00010110 结论：结论：由X补求X移：只要将X补的符号位变反，就可得到X移4.移码表示法移码表示法 零的移码是唯一的，即：+0移= -0移= 10000性质： 若X1移X2移，则有 X1X2 浮点数的阶码常用移码来表示的原因，就浮点数的阶码常用移码来表示的原因，就是用到了该性质。是用到了该性质。用用+4+4和和-3-3两个数的补码和移码来举例说明两个数的补码和移码来举例说明计算机比较数据的大小计算机比较数据的大小. . 四种码制的比较四

16、种码制的比较1）移码最高位为“0”表示负数，最高位为“1”表示正数。这与原码、补码、反码的符号位正好相反。2）原码、补码、反码对于正数，它们都等于真值本身，而对于负数各有不同的表示。3）最高位都表示符号位。补码、反码和移码的符号位可作为数值位的一部分看待，和数值位一起参加四种码制的比较四种码制的比较 运算，但原码的符号位不允许和数值位同等看待，必须分开进行处理。 4）对于真值0，原码和反码各有两种不同的表示形式，而补码、移码是唯一的。 教材教材P22 例题例题6、7、8例1 以n+1定点整数为例,用数轴形式说明原码、反码、补码表示范围和可能的数码组合情况。例2 将十进制真值(127,1,0,1

17、,127)列表表示成二进制数及原码、反码、补码、移码值。 解解:二进制真值及其诸码值列于下表,其中0在原反中有两种表示。由表中数据可知,补码值与移码值差别仅在于符号位不同。 例3设机器字长16位,定点表示,尾数15位,数符1位,问： (1)定点原码整数表示时,最大正数是多少?最小负数是多少? (2)定点原码小数表示时,最大正数是多少?最小负数是多少?; 解解:例题例题3(1)定点原码整数表示 最大正数值(2151)10(32767)10 0111 1111 1111 1111 最小负数值(2151)10(32767)10 1111 1111 1111 1111(2)定点原码小数表示 最大正数值

18、(1215)10(0.111.11)2 最小负数值(1215)10(0.111.11)2 2.4.3 数值数据浮点数表示法浮点数表示法定义：任意一个R进制都可以通过移动小数点的位置写成N=RE*M式中：R是基数，可以取2，8，16，一旦定义则不能改变，是隐含的。M是尾数，为纯小数 ，表示数N的有效数字位数。决定了浮点数的精度。E是阶码，为纯整数，指出小数点在该数中的位置。决定了浮点数的大小。由于阶码可以取不同的数值，所以，小数点的位置是不确定的，因而称之为浮点数。2.4.3 数值数据浮点数表示法浮点数表示法 由于基数在系统中是隐含约定的，不需要用代码表示，所以浮点数只需用一对定点数（阶码和尾数

19、）表示，其中，符号表示数的正负，阶码表示小数点的位置，而尾数表示有效数字。2.4.3 数值数据浮点数表示法浮点数表示法数的表示范围： 设m和n分别表示阶码和尾数的位数（均不包含符号位）用原码表示，则浮点数的表示范围是： - 2 2m-1 （1-2-n）N2 2m-1（1-2-n）请问:最小正数和最大负数是多少?2.4.3 数值数据浮点数表示法浮点数表示法最大正数为：最小负数为：最小正数为：最大负数为：122)21 (mn12221mn) 12(22mn)12(22mn2.4.3 数值数据浮点数表示法浮点数表示法规格化定义： 所谓规格化数，就是非0的尾数，其绝对值 应大于或等于05。判别方法：

20、原码规格化后，正数为0.1的形式 负数为1.1的形式 补码规格化后，正数为0.1的形式 负数为1.0的形式2.4.3 数值数据浮点数表示法浮点数表示法规格化： 存储在计算机中的浮点数以及运算结果的浮点数都应为规格化数,如果尾数不是规格化数,要用移位方法把他变为规格化数,这种处理过程,称为规格化。 例题例题: 设浮点数字长设浮点数字长16位，其中阶码位，其中阶码5位（含位（含1位阶位阶符），尾数符），尾数11位（含位（含1位数符），将十进制数位数符），将十进制数13/128写成二进制定点数和浮点数，并分别写出写成二进制定点数和浮点数，并分别写出定点和浮点的机器码形式。定点和浮点的机器码形式。解：

21、令解：令x=13/128 则其二进制形式为则其二进制形式为: x=0.0001101000 定点数表示为定点数表示为: x=0.0001101000 浮点数规格化表示为浮点数规格化表示为: x=0.1101000000*2-11 定点机中:x原=x补=x反=0.0001101000浮点机中浮点机中x原=1， 0011；0. 1101000000 x补= 1，1101；0. 1101000000 x反= 1，1100；0. 11010000002.4.3 数值数据浮点数表示法浮点数表示法 IEEE754标准(伯克利Willian Kahan教授1987年获得图灵奖) IEEE754标准定义了四种

22、浮点数的基本格式：单精度格式、扩展单精度格式、双精度格式、扩展双精度格式。 对于规格化的浮点数，IEEE754规定在小数点的左边有一隐含位（作为二进制整数的个位）。由于该位为1，不需要存储，在运算时，自动加上该位参加运算。IEEE754标准标准 32浮点数 一个规格化的32位浮点数的真值 E是阶码，用移码表示 M是尾数，其所表示的值为1.M，且1为隐含值。1272). 1 (1EMsxIEEE754标准标准 IEEE754单精度浮点格式的几点说明:1.阶码的偏移值是127而不是128(27),是因为尾数是1.M ，且1为隐含值。2.随着E和M取不同的值，IEEE754浮点数表示不同的意义：E=

23、0,M=0:表示机器零。1E254：X=（-1）s *2E-127 *1.M，表示一个规格化的浮点数。 E=255,M=0: 表示一个无穷大的数。 E=255,M0: 表示一个非数值。IEEE754标准标准一个规格化的64位浮点数真值10232). 1 (1EMsx例4（2012年研究生入学试题）问:IEEE754单精度浮点数所能表示的最大正整数是多少?答:X=(-1)0(1.111) 2254-127 =(1+1-2-23) 2127 =2128-2104例5 若浮点数的IEEE754标准存储格式为(41360000)16，求其32位浮点数的十进制值。 解解: 将十六进制数展开后，可得二进制

24、数格式为 指数e阶码1271000001001111111 00000011=(3)10包括隐藏位1的尾数1.M 1.011 0110 0000 0000 0000 0000 1.011011于是有(1)s1.M2e (1.011011)23 1011.011 (11.375)10 例6 将十进制数20.59375转换成IEEE754标准的32位浮点数的二进制格式。 解解: 首先分别将整数和分数部分转换成二进制数：20.5937510100.10011 然后移动小数点，使其在第1，2位之间 10100.100111.01001001124 e4于是得到：S0，E4127131，M0100100

25、11最后得到32位浮点数的二进制存储格式为：0100 0001 1010 0100 1100 0000 0000 0000(41A4C000)16 例例8 若为定点整数，采用一位符号位，如果寄存器中的内容为10000001，当它分别表示原码、补码、反码、移码和无符号数时，问对应的真值为多少？ 解： 原码的真值为： 补码的真值为： 反码的真值为： 移码的真值为：无符号数的真值为：-1-127-12611292.4.4 十进制数的二进制编码十进制数的二进制编码1.有权BCD码2.无权BCD码十进制数十进制数8421码余3码00000001110001010020010010130011011040

26、10001115010110006011010017011110108100010119100111002.4.5 多字节数据的排列顺序多字节数据的排列顺序 现代计算机中都采用字节编址方式，每个地址编号中存放一个字节数据。由多个字节组成的数据，在程序中每个数据只给定一个地址，那么数据如何存放？ 有两种方式：大端方式和小端方式。 假定int 型变量i的地址为08 00H，i的机器数为12 34 56 78H，则这两种方式的排列如下：0800H0801H0802H 0803H大端大端12345678小端小端785634122.4.5 多字节数据的排列顺序多字节数据的排列顺序 IBM360/370、

27、Motorola 68k、MIPS、HP PA等机器都采用大端方式。 Intel 80 x86、DEC VAX等机器都采用小端方式。 有些机器如Alpha和Power PC能够运行在任何一种方式，但要在加电启动时选择。 在排列顺序不同的计算机之间进行数据通信时，需要进行顺序转换。 2.5 校验码 为了提高计算机的为了提高计算机的可靠性可靠性，除了采取选用，除了采取选用更高可靠性的器件，更好的生产工艺等措施之更高可靠性的器件，更好的生产工艺等措施之外，还可以从数据编码上想一些办法，即采用外，还可以从数据编码上想一些办法，即采用一点冗余的线路，在原有数据位之外再一点冗余的线路，在原有数据位之外再增

28、加一增加一到几位校验位到几位校验位，使新得到的码字带上某种特性使新得到的码字带上某种特性，之后则通过之后则通过检查该码字是否仍保持有这一特性检查该码字是否仍保持有这一特性，来来发现发现是否出现了错误，甚至于定位错误后，是否出现了错误，甚至于定位错误后，自动改正自动改正这一错误，这就是我们这里说的这一错误，这就是我们这里说的检错检错纠错编码技术纠错编码技术。2.5 校验码三种常用的检错纠错码：三种常用的检错纠错码：1.奇偶检错码奇偶检错码2.海明检错与纠错码海明检错与纠错码3.循环冗余码循环冗余码(CRC)编码过程编码过程译码过程译码过程传送传送原始数据原始数据码码 字字结果数据结果数据形成校验

29、位的值，形成校验位的值，加进特征加进特征检查接送的码字，检查接送的码字，发现发现 / 改正错误改正错误2.5.1 校验码奇偶校验码1.简单的奇偶校验码简单的奇偶校验码原理：在原理：在 数据码之外增加数据码之外增加 1 位校验位。位校验位。奇校验:使整个校验码中1的个数为奇数。设被校验的信息为x=x1x2xn-1，校验位为C.C的逻辑表达式为1321nxxxxc2.5.1 校验码奇偶校验码1.简单的奇偶校验码简单的奇偶校验码原理：在原理：在 数据码之外增加数据码之外增加 1 位校验位。位校验位。偶校验:使整个校验码中1的个数为偶数。设被校验的信息为x=x1x2xn-1，校验位为C.C的逻辑表达式

30、为1321nxxxxc2.5.1 校验码奇偶校验码n奇偶校验码：用于并行码奇偶校验码：用于并行码检错检错原理：在原理：在 k 位数据码之外增加位数据码之外增加 1 位校验位，位校验位，使使 K+1 位码字中取值为位码字中取值为 1 的位数的位数总保持总保持为为 偶数偶数（偶校验偶校验）或）或 奇数奇数（奇校验奇校验）。）。例如：例如： 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 原有数字位原有数字位 两个新的码字两个新的码字 偶校验偶校验奇校验奇校验校验位校验位2.5.1 校验码奇偶校验码+n奇偶校验码的实现电路n奇校验奇校验

31、 偶校验偶校验 出错指示出错指示+同左侧电路同左侧电路P (校验位校验位)八位数据位八位数据位D7 D6 D5 D4 D3 D2 D1 D0p译码电路编码电路2.5.1 校验码奇偶校验码2.交叉奇偶校验交叉奇偶校验 简单的奇偶校验只能检测简单的奇偶校验只能检测一位一位的错误，的错误，人们就又提出了交叉奇偶校验方法，又称人们就又提出了交叉奇偶校验方法，又称为水平为水平/垂直校验码垂直校验码. 原理：是对多个数据块同时进行横向原理：是对多个数据块同时进行横向和纵向的奇偶校验和纵向的奇偶校验.2.5.1 校验码奇偶校验码交叉奇校验举例交叉奇校验举例D3 D2 D1 D0 CrW3 10101W2 1

32、1100W1 00100W0 11001Cl010112.5.2 校验码海明校验码 海明校验码：是由Richard Hamming于1950年提出的。这种编码能纠正一位出错，并能自动恢复出错位的校验码。 1.校验码的位数： 设要发送的数据为k位，则校验码的位数r,应满足： kr2log2.5.2 校验码海明校验码2 2.海明码的编码规则：(1) 校验位与数据位之和为m,每个校验位Pi在海明码中被分在位号为 的位置，其余各位为数据位,并按 从低位向高位逐位依次排列的关系分配各数据位.(2) 海明码的每一位码Hi由多个校验位校验，其关系是被校验的每一个位位号要等于校验它的各校验位的位号之和.(3)

33、在增大合法码的码距时，使所有码的码距尽量均匀的增大,以保证对所有码的验错能力平衡提高.12i2.5.2 校验码海明校验码n举例：k=4, r=3，求相应的海明校验码海明校验码解：（1）根据规则1，Pi应放在1，2，4的位置上。即： 位 号： 1 2 3 4 5 6 7Pi占位 ： P1 P2 D1 P3 D2 D3 D4（2）根据规则）根据规则2： P1 P2 D1 P3 D2 D3 D4海明码占位海明码占位 占用的校验位号占用的校验位号 备注备注 1 1 1=1 2 2 2=2 3 1、2 3=1+2 4 4 4=4 5 1、4 5=1+4 6 2、4 6=2+4 7 1、2、4 7=1+2

34、+4 2.5.2 校验码海明校验码 校验位只与本身有关，数据位则与多个校验位有关。例如：D1由P1和P2校验，D3由P2和P4校验等。 P1校验第1、3、5、7位 P2校验第2、3、6、7位 P3校验第4、5、6、7位 当某一位数据发生变化时，必将引起一些Pi的变化。2.5.2 校验码海明校验码4211DDDP4312DDDP4323DDDP按偶校验写出求p1、 p2、 p3的公式：如果设D1 D2 D3 D4=1011，则： p1=0， p2 =1， p3 =02.5.2 校验码海明校验码3.查错原理： 42111DDDPG43122DDDPG43233DDDPG由G3G2G1就组成了一个指

35、误字。当G3G2G1 = 000时，说明没有出错；当G3G2G1 = i 时， i就是错误的位号。2.5.2 校验码海明校验码 P1 P2 D1 P3 D2 D3 D4例：若发送的信息为 0 1 1 0 0 1 1 若接收的信息为 0 1 1 0 1 1 1 111101G011112G111103GG3G2G1 =101， 故第5位有错误2.5.2 校验码海明校验码n4。海明校验码的逻辑电路实现和查错纠错的。海明校验码的逻辑电路实现和查错纠错的逻辑电路的实现。逻辑电路的实现。 (请同学们自己画出请同学们自己画出k=4、r=3时的海时的海明电路编码和查错纠错电路明电路编码和查错纠错电路)2.5

36、.3 校验码循环冗余码 循环冗余校验码（循环冗余校验码（CRC）是一种基于模）是一种基于模2运算建立编码规则的校验码。主要用在磁存运算建立编码规则的校验码。主要用在磁存储器和计算机通信方面。储器和计算机通信方面。2.5.3 校验码循环冗余码n模2四则运算是以2为模，按位相加的运算，在运算中不考虑借位和进位。 加减法：00=0，01=1，10=1，11=0 乘法：按模2加求部分积之和 除法：按模2 减求部分余数 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 01 0 0 0 01 0 111 0 10 1 000 0 01 0 011 0 10 1商余数2.5.3 循环循环冗余码循环码的编制原理 设待编码的有效信息以多项式M(x)表示，用约定的一个多项式G(X)去除，一般情况下能得到一个商Q(X)和余数R(X) M(x)=Q(x)G(x)+R(x) M(x) -R(x)=Q(x)G(x) 显然，将M(x)减去余数R(x)就必定