第3课时 等腰三角形的判定与反证法

1、北师大版八年级北师大版八年级(下下)等腰三角形等腰三角形第一章第一章 三角形的证明三角形的证明第第3 3课时课时 等腰三角形的判定与反证法等腰三角形的判定与反证法复习旧知复习旧知等边三角形的性质定理：等边三角形的性质定理： 等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于等于60。情景引入情景引入 前面我们已经证明了等腰三角形的两底角相前面我们已经证明了等腰三角形的两底角相等，反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角等，反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？形吗？CAB？新知探究新知探究、求证：有两个角相等的三角形是等腰三角形。、求证：有两个角相等的三角形是

2、等腰三角形。CAB已知：如图，已知：如图，ABC中，中，B=C。求证：求证：AB=AC。证明：证明：ADB=ADC过点过点A作作ADBC于点于点D。D在在ABD和和ACD中中ADB=ADCAD=ADB=CABD ACD(AAS)AB=AC新知归纳新知归纳等腰三角形的判定定理：等腰三角形的判定定理： 有两个角相等的三角形是等腰三角形。有两个角相等的三角形是等腰三角形。 (等角等角对等边对等边)例例1、已知：如图，、已知：如图，AB=DC，BD=CA。求证：求证：AED是等腰三角形。是等腰三角形。范例讲解范例讲解证明：证明：AB=DC，BD=CA， AD=DAABD=DCAAED的等腰三角形的等腰

3、三角形 (等角对等边等角对等边)(SSS)ABD= DCAAE=DE(全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等)ABCDE、已知：如图，等腰三角形的一个内角为锐角、已知：如图，等腰三角形的一个内角为锐角，腰为，腰为a，求作这个等腰三角形。，求作这个等腰三角形。合作交流合作交流a新知探究新知探究、小明说，在一个三角形中，如果两个角不相、小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等。你认为这等，那么这两个角所对的边也不相等。你认为这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？BAC新知探究新知探究、小明说，在一个三角形中，如果两个角不相

4、、小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等。你认为这等，那么这两个角所对的边也不相等。你认为这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？BAC如图，在如图，在ABC中，中，BC，此时，此时，AB与与AC要么相等，要么不相等。要么相等，要么不相等。假设假设AB=AC B=C 这与已知条件是这与已知条件是BC相矛盾相矛盾ABAC 新知归纳新知归纳反证法的定义：反证法的定义： 先假设命题的结论不成立，然后推导出与定先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果

5、，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法。法称为反证法。例例2、用反证法证明：一个三角形中不能有两个角、用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角。是直角。范例讲解范例讲解证明：证明：假设假设A、B、C中有两个直角，不妨设中有两个直角，不妨设A和和B是直角，即是直角，即A=90、B=90。 A+B+ C=90+90+ C180这与三角形内角和定理相矛盾，因此这与三角形内角和定理相矛盾，因此“A和和B是直角是直角”的假设不成立。的假设不成立。一个三角形中不能有两个角是直角。一个三角形中不能有两个角是直角。已知：已知：ABC。求证：求证：A、

6、B、C中不能有两个直角。中不能有两个直角。1.1. （宁波（宁波中考）如图，在中考）如图，在ABCABC中，中，ABAB= =ACAC，A A=36=36，BDBD，CECE分别是分别是ABCABC，BCDBCD的角平分线，则图中的的角平分线，则图中的等腰三角形有等腰三角形有( )( )A A5 5个个 B B4 4个个 C C3 3个个 D D2 2个个EDCBA【解析解析】选选A. ABA. ABAC,AC,ABCABC是等腰三角形是等腰三角形. .又又AA3636,ABC,ABCACBACB(180(1803636) )2 27272. .BDBD、CECE分别是分别是ABCABC、BC

7、DBCD的角平分线的角平分线, ,ABDABDCBDCBD ABC ABC3636, ,BCEBCEDCEDCE ACB ACB3636. .AAABD,CBDABD,CBDBCE,BCE,ABDABD、BCEBCE是等腰三角形是等腰三角形. .CDECDEAAABDABD7272,DEC,DECCBDCBDBCEBCE7272, ,CDECDEDECDECACB.ACB.CDECDE、BCDBCD是等腰三角形是等腰三角形. .一共有一共有5 5个等腰三角形个等腰三角形. .12122. 2. （通化（通化中考）用反证法证明命题中考）用反证法证明命题“三角形中必有三角形中必有一个内角小于或等于

8、一个内角小于或等于6060”时，首先应假设这个三角形时，首先应假设这个三角形中（中（ ） A A有一个内角大于有一个内角大于6060 B B有一个内角小于有一个内角小于6060C C每一个内角都大于每一个内角都大于6060 D D每一个内角都小于每一个内角都小于6060【解析解析】选选C.因为因为“必有一个内角小于或等于必有一个内角小于或等于60”的反面的反面是是“没有一个内角小于或等于没有一个内角小于或等于60”，即，即“每一个内角都大每一个内角都大于于60”.3.3.（日照（日照中考）一次函数中考）一次函数y=x+4y=x+4分别交分别交x x轴、轴、y y轴于轴于A A、B B两点，在两

9、点，在x x轴上取一点轴上取一点C C，使，使ABCABC为等为等腰三角形，则这样的点腰三角形，则这样的点C C最多有最多有 个个 【解析解析】当当C C点的坐标为（点的坐标为（ ，0 0）或（）或（ ，0 0）时，时，AB=AC,AB=AC,当当C C点的坐标为（点的坐标为（4,0)4,0)时，时，AB=BCAB=BC；当；当C C点的坐点的坐标为（标为（0 0，0 0）时，）时，AC=BC.AC=BC.所以所以C C点共有点共有4 4个个. .答案：答案：4 4 4 244 244.4.（衡阳（衡阳中考）已知：如图，在等边三中考）已知：如图，在等边三角形角形ABCABC的的ACAC边上取中

10、点边上取中点D D，BCBC的延长线上的延长线上取一点取一点E E，使，使 CECECDCD求证：求证：BDBDDEDE【解析解析】 ABCABC是等边三角形，是等边三角形， ABC ABCACBACB6060， D D为为ACAC的中点，的中点， DBC DBC ABC ABC3030, , CE CECD,CD, E ECDE,CDE, 又又ACBACBEECDE,CDE, E E ACB ACB3030, , DBC DBCE,E, BD BDDE.DE.1212课堂小结课堂小结1、等腰三角形的判定定理：、等腰三角形的判定定理： 有两个角相等的三角形是等腰三角形。有两个角相等的三角形是等腰三角形。 (等角等角对等边