【精品】高中数学必修一函数的单调性讲义_知识讲解+巩固练习(含答案)基础

1、函数的单调性【学习目标】1. 理解函数的单调性定义；2. 会判断函数的单调区间、证明函数在给定区间上的单调性；3学会运用单调性的定义求函数的最大(小)值。【要点梳理】要点一、函数的单调性1 增函数、减函数的概念一般地，设函数f(x)的定义域为A,区间DA:如果对于D内的任意两个自变量的值xi、X2,当xiX2时，都有f(x i)f(x 2),那么就说f(x) 在区间D 上是增函数.如果对于D内的任意两个自变量的值xi、x2,当xif(x 2),那么就说f(x) 在区间D 上是减函数.要点诠释：(1)属于定义域A内某个区间上；(2)任意两个自变量x1, x2且x1x2 ;(3)都有 f(xi)f

2、(x2)(或f(xi)f(x2);(4) 图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的 .2单调性与单调区间1 1)单调区间的定义如果函数f(x) 在区间 D 上是增函数或减函数，那么就说函数f(x) 在区间 D 上具有单调性，D 称为函数f(x) 的单调区间.函数的单调性是函数在某个区间上的性质.要点诠释：单调区间与定义域的关系单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集；单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的；不能随意合并两个单调区间；有的函数不具有单调性.(2)已知解析式，如何判断一个函数在所给区间上的单调性？3 .证明函

3、数单调性的步骤(1)取值.设Xi, X2是f(x)定义域内一个区间上的任意两个量，且 Xi X2；(2)变形.作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形；(3)定号.判断差的正负或商与1的大小关系；(4)得出结论.4 .函数单调性的判断方法(1)定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值一变形一判断符号一下结论”进行 判断。(2)图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性。(3)直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写 出它们的单调区问。(4)记住几条常用的结论若f(x)是增函数，则 f(x)为减函数；若f(x)是减

4、函数，则 f(x)为增函数；若f (X)和g(x)均为增(或减)函数，则在f (x)和g(x)的公共定义域上f(x) g(x)为增(或减)函数；若f(x) 0且f(x)为增函数，则函数Jf (x)为增函数,为减函数；若f(x) 0且 f (X)f(x)为减函数，则函数，f (X).为减函数，,为增函数.f(x)5 .复合函数单调性的判断讨论复合函数y f g(x)的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性。一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下：(1)若u g(x), y f(u)在所讨论的

5、区间上都是增函数或都是减函数，则 y f g(x)为增函数；(2)若u g(x), y f(u)在所 讨论的 区间上一 个是增函数,另一个 是减函数，则y f g(x)为减函数。列表如下：u g(x)y f (u)y f g(x)增增增增减减减增减减减增复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单调性相同时递增；单调性相异时 递减。因此判断复合函数的单调性可按下列步骤操作：(1)将复合函数分解成基本初等函数：y f(u), u g(x)；(2)分别确定各个函数的定义域；(3)分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区问。若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则 y f g(

6、x)为增函数；若为一增一减或一减一增，则 y f g(x)为减函数。要点诠释：(1)单调区间必须在定义域内；(2)要确定内层函数u g(x)的值域，否则就无法确定f(u)的单调性。(3)若 f(x) 0 ,且在定义域上 f(x)是增函数，则 n/f(x；kf(x)(k 0), fn(x)(n 1且 n N ) 都是增函数。6 .利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值。常用到下面的结论：(1)如果函数y f(x)在区间a,b上是增函数，在区间 b,c上是减函数，则函数y f (x)(x a,c)在x b处有最大值f (b)。(2)如果函数y f(x)在区间a,b上是减函数，在区

7、间 b,c上是增函数，则函数y f (x)(x a,c)在x b处有最小值f (b)。若函数y f(x)在a,b上是严格单调函数，则函数y f(x)在a,b上一定有最大、最小 值。(3)若函数y f(x)在区间a,b上是单调递增函数，则y f(x)的最大值是f(b),最小 值是f(a)。(4)若函数y f(x)在区间a,b上是单调递减函数，则y f(x)的最大值是f(a),最小 值是f(b)。7 .利用函数单调性求参数的范围若已知函数的单调性，求参数a的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数a的不等式，利用下面的结论求解。(1) af(x)在 m,n上恒成立af(x)在 m,n上的最大

8、值。(2) af(x)在m,n上恒成立af(x)在 m,n上的最小值。实际上将含参数问题转化成为恒成立问题，进而转化为求函数在其定义域上的最大值和 最小值问题。要点二、基本初等函数的单调性1 .正比例函数y kx(k 0)当k0时，函数y kx在定义域R是增函数；当k0时，函数y kx b在定义域R是增函数；当k0,在区间(，2,函数是减函数；在区间包，+ ),函数是增函数；2a2a若a0,在区间(，2,函数是增函数；在区间+),函数是减函数.2a2a【典型例题】类型一、函数的单调性的证明【高清课堂：函数的单调性 356705例11例1.已知：函数f(x) x -x(1)讨论f (x)的单调性

9、.(2)试作出f (x)的图象.【思路点拨】本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径【解析】(1)设xi, x2是实数集R上的任意实数，且xix2,则0f(xi) f(x2)x1(x2(x1x1x2)x2x1(x x2)xx2(x1x2)(1) x1x2(x1x2)(x1x21)xx2x1x2 1x1x2当 x1 x21 时，x1-x20, 1x1x2x.xc一0,故(x1 x2) (-一)0,即 f(x 1)-f(x 2)0x1x2 x1x2时有 f(x 1)f(x 2)1 ,f(x) x 1在区间-,-1上是增函数.当-1Vx1x2V0x1-x 20, 0x1x21

10、: 0Vx1x20 X1X2 Xif(X 2)1 , f (x) x 在区间-1,0上是减函数.是增函数.同理：函数f(x) x 1在区间0,1是减函数，函数f(x) x 1在区间1,十(1)证明函数单调性要求使用定义；(2)如何比较两个量的大小？(作差)(3)如何判断一个式子的符号？(对差适当变形)举一反三：【变式11证明函数f(x) x24在1,上是增函数.X【解析】本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径 证明：设X1, X2是区间1, 上的任意实数，且X1X2,则f(x1)f (X2)2121X1X2X1X2(X2X2)(2X12X2(X12 X22)22X2X

11、122X1 X2221(X12 X22)(1丁)Xi X2= (Xi22X22 2X1X2X1 X=X1X2XX2X1X21 X1X2 1XPX21,X1X2X1X20, X1X20,X1X21 0,X1X21 0 .f(X1) f(X2) 0 ,即 f(X1) f(X2)f (x) X2，在1,上是增函数.X类型二、求函数的单调区间例2.判断下列函数的单调区间；(1)y=x2-3|x|+2;(2)y |x 1|(x-2)2【思路点拨】 对X进行讨论，把绝对值和根号去掉，画出函数图象上递增.【答案】(1)f(x)在-,-3上递减，在-3,0上递增，在03上递减，在-,+ 2222(2) f(x

12、)在-,1上递减，在 2,+ 上递增.【解析】(1)由图象对称性，画出草图f(x)在-,-3上递减，在-3,0上递增，在0-上递减，在3,+上递增.2222-2x 3 (X 1) y |x 1| |x-2|1(1 x 2)2x-3 (x 2)f(x)在-,1上递减，在 2,+ 上递增.举一反三:【变式11求下列函数的单调区间:(1)y=|x+1|；1/ 、2 一(3) y ； (4) y=|x -2x-3|. x【答案】(1)函数的减区间为，1 ,函数的增区间为(-1, +8)；(2)在112 ，2,1 、上为减函数；(3) y 4单调增区间为：(-8, 0),单调减区间为(0, +oo);单

13、调减区间是(-OO, x-1), (1, 3);单调增区间是(-1, 1), (3, +00).【解析】(1) y x 1(x1)画出函数图象,x 1(x1).函数的减区间为1 ,函数的增区间为(-1 , +00);(2)定义域为11 一1.，22，位u 2x 7 -其中11.u=2x-1为增函数，y ，在(-8, 0)与(0, +OO讷减函数，则y 在u2x 1上为减函数；1 、(3)止义域为(-0, 0)U (0, +oo), y 单调增区间为：(-OO, 0),单调减区间为(0, +OO); x【高清课堂：函数的单调性 356705例3】(4)先画出y=x2-2x-3,然后把x轴下方的部

14、分关于x轴对称上去，就得到了所求函数的 图象，如下图所以y二|x2-2x-3|的单调减区间是(。，-1),(1, 3);单调增区间是(-1, 1), (3, +8).【总结升华】(1)数形结合利用图象判断函数单调区问；(2)关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关.(3)复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化复合函数为增函数；内外层函数反向变化复合函数为减函数.类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值)例3.已知函数f(x)是定义域为R的单调增函数.(1)比较f(a

15、 y -x22x8; 2)与f(2a)的大小；(2)若f (a2) f (a 6),求实数a的取值范围.【思路点拨】抽象函数求字母取值范围的题目，最终一定要变形成f(x) f(y)的形式，再依据函数f(x)的单调性把f符号脱掉得到关于字母的不等式再求解。【答案】(1) f (a2 2) f (2a); (2) a 3或 a2 .【解析】(1)因为a2 2 2a (a 1)2 1 0 ,所以a2 2 2a,由已知，f (x)是单调增函数，所以 f(a2 2) f(2a).(2)因为f(x)是单调增函数，且f(a2) f(a 6),所以a2 a 6 ,解得a 3或a 2.例4.求下列函数的值域：

16、2x-1(1) y 2；1)x C5, 10;2)x (-3 , -2) U (-2 , 1);x 2(3) y 4x V3x1-2 ；(4) y x 1-2x.【思路点拨】(1)可应用函数的单调性；(2)中函数为二次函数开方，可先求出二次函数值域；(3)由单调性求值域，此题也可换元解决;(4)单调性无法确定，经换元后将之转化为熟悉二次函数情形，问题得到解决，需注意此时t的范围.【解析】,八99 19 i 1 D 9不，2)(- ,3) (72);(2) 0,3 ; (3)-3,好7V2可看作是由y-5左移2个单位，再上移 x2个单位得到，如Qy1)f(x)在5, 10上单增，y f(5),f

17、(10删 9,覆 y.-(x-1)229 ,Q (x-1)220, -(x-1)20, 02-(x-1)2 9 9,0,3;(3) Q3x-1 0,；经观察知, 3y在3,上单增,12y f (-)-3323,令，1- 2x t1-t2 y v112 -2(t-1)2 1, y,1 .举一反三:【变式1】已知f (x)3x2 12x5,当f(x)的定义域为下列区间时，求函数的最大值和最小值.(1) 0, 3; (2) -1,1; (3) 3, +2 .【答案】(1)在区间0, 3上，当X 2时，f(X)min 7；当X 0时，f(X)max 5.(2)在区间-1 , 1上，当 X 1 时，f

18、(X)min 4；当 X 1 时，f(X)max 20.(3)在区间3, +OO)上，当X 3时，f(X)min4；在这个区间上无最大值.【总结升华】由本例可知，作出二次函数的图象后，利用图象的形象直观很容易确定二次函数在闭区间上的单调性，由单调性不难求出二次函数在闭区间上的最值.因此，确定二次函数在所给的闭区间上的单调性是求二次函数在闭区间上的最大(小)值的关键 类型四：利用函数的单调性求参数的取值范围例5.已知函数f(X)4x2 mX 5在区间 2, 是增函数，求m及f(1)的取值范围.【答案】m 16; f(1) 25 .【解析】:对称轴x m是决定f(x)单调性的关键，联系图象可知只需

19、m 2 m 16. 8又 f (1) 4 m 5 9 m , m 16 , m 16,即 9 m 25.举一反三：【变式1】函数f(x) x2 4ax 2在 ,6内单调递减，则a的取值范围是(A. a 3 B. a 3 C. a 3 D. a 3【答案】D【变式2函数f (x) x2 2ax 3在区间1 , 2上单调，则().A. a ,1 B. a 2, C. a 1,2 D. a ,1 U 2,【答案】D【巩固练习】1,定义域R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a,b,总有f(a) f(b) 0,则必有 a b()A.函数f(x)先增后减B.函数f(x)先减后增C.函数f(x)是R上的

20、增函数D.函数f(x)是R上的减函数2.在区间(，0)上为增函数的是() x _A.y1B.y21 xC.yx2 2x 1D.y1 x23 .函数f (x) x(x 2)的一个单调递减区间可以是()A.-2 , 0 B.0, 2 C.1 , 3 D. 0, +oo)4 .若函数f(x) x2 2(a 1)x 2在区间 ,4上是减函数，则实数a的取值范围是()A. a 3 B. a 3 C. a 3 D. a 35 .函数y Jx 1 Jx 1的值域为()A.，也 B . 0, &C. 2, D . 0,6.设a 0,函数f(x) ax2 bx c的图象关于直线x 1对称，则f (1), f (

21、行)，f (百)之间 的大小关系是()A.f (1) f(、.2)f ( . 3)B.f ( . 3)f ( . 2)f(1)C.f (1) f ( . 3) f( .2)D.f ( . 2)f ( . 3)f(1)7 .函数y 的单调区间是. x 18 .函数y 2x &_1的值域是.9 .若函数f(x) 2x2 px 3在 ,1上是减函数，1, 是增函数，则p 10 .已知一次函数y (k 1)x k在R上是增函数，且其图象与x轴的正半轴相交，则k的 取值范围是.11 .已知函数f(x) ax2 bx c(a 0)是(，0)上的减函数，且f (x)的最小值为正数，则 f(x)的解析式可以为

22、. (只要写出一个符合题意的解析式即可，不必考 虑所有可能情形)12 .设a R,判断函数f(x) (a 2)x 3(x R)的单调性，并写出单调区间.13 .已知函数f(x)的定义域为1,1 ,且同时满足下列条件：(1) f(x)是奇函数；(2) f(x) 在定义域上单调递减；(3) f (1 a) f (1 a2) 0,求a的取值范围.14 .已知函数 f(x) x2 2ax 2,x5,5 .当a 1时，求函数的最大值和最小值; 求实数a的取值范围，使y f(x)在区间 5,5上是单调函数.【答案与解析】|1 .【答案】C.【解析】由f(a) f(b) 0知，当a b时，f(a) f(b),当a b时，f (a) f(b),所以 a bf(x)在R上单调递增，故选C.2 .【答案】B.【解析】y - 2 2-, 1，故选B.