高考数学专题-椭圆、双曲线、抛物线

1、高考数学专题-椭圆、双曲线、抛物线高考定位 1.圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，多以选择题、填空题或 解答题的一问的形式命题；2直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其是 有关弦长计算及存在性问题，运算量大，能力要求高，突出方程思想、转化化归 与分类讨论思想方法的考查.真题感悟八 一, , x2 y21.(全国II卷)双曲线b2=1(a>0, b>0)的离心率为43,则其渐近线万程为()A.y=W2xB.y=is/3x,23C. y=±xD.y=±2x解析 法一由题意知，e= a=血，所以c=«3a,所以b=c2-a2=42a,即。=业 所以该

2、双曲线的渐近线方程为 v=x= ±J2x.法二由=a=/nr=点得.也所以该双曲线的渐近线方程为y=< x= /2x.答案 A22.(全国I卷)设抛物线C: y2 = 4x的焦点为F,过点(一2, 0)且斜率为的直线与3C交于M, N两点，则fM FN=()A. 5B.6C. 7D.82, 一22y=a (x+2),解析 过点(一2,0)且斜率为3的直线的方程为y= 3(x+ 2),由 3得y2=4x,x25x + 4=0.设 M(xi, yi), N(x2, y2),则 yi>0, y2>0,根据根与系数的关系，得xi + x2 = 5, xix2 = 4.易知

3、F(1, 0),所以 FM = (xi 1, yi), FN=(x21, y2),所以FM FN = (xi 1)(x2 1) + yiy2 = xix2 (xi + x2) + 1 + 4Mx1x2= 45+1 + 8= 8.答案 D223.(全国II卷)已知Fi, F2是椭圆C： x2+七=1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的a b左顶点，点P在过A且斜率为呼的直线上， PF1F2为等腰三角形，/ FiF2P=120°,则C的离心率为()1BWiD.41C.3解析由题意可知椭圆的焦点在x轴上，如图所示，设|FiF2| = 2c, .PF1F2为等腰三角形，且 /Fi

4、F2P= 120°, . |PF2|= |FiF2|= 2c.|OF2|=c,过 P 作 PE 垂直 x 轴，则 / PF2E=60°,所以,一. 一. '3F2E=c, PE=gc,即点P(2c, 43c).二点P在过点A,且斜率为二的直线上,.拜:兴，解得c=/ ；e= 1. 2c+a 6 ' a 4'4答案 Dx224.(全国I卷)设椭圆C: x2 + y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C父于A, B 两点，点M的坐标为(2, 0).当l与x轴垂直时，求直线 AM的方程；(2)设O为坐标原点，证明：/ OMA=/OMB.解 由已知得F(1,

5、0), l的方程为x= 1.把x=1代入椭圆方程，+y2=1,可得点A的坐标为1,*或1,呼.又M(2, 0),所以AM的方程为y= -#x+ y/2或y=乎x-也.证明 当l与x轴重合时，/ OMA=/OMB = 0°.当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,所以/ OMA=/ OMB.当l与x轴不重合也不垂直时，设 l 的方程为 y=k(x1)(kw 0) A(xi, yi), B(x2, y2),y iy2则xi<42, x2<V2,直线 MA, MB的斜率之和为kMA+kMB = x2 + 亡 由 yi = k(xi1), y2=k(x21)得kMA+kMB =

6、2kxix2 3k (xi + x2)+ 4k(xi-2)(x2-2)2将 y= k(x 1)代入+ y2 = 1 得 (2k2 + 1)x2 4k2x+ 2k22=0.所以，xi + x24k22k2 2= 2k2+11 xix2=2k2+1.则 2kxix23k(xi +x2) + 4k=4k3-4k-12k3+8k3 + 4k2k2 + 1=0.从而kMA+kMB=0,故MA, MB的倾斜角互补.所以/ OMA=/OMB.综上，/OMA=/OMB.考点整合1 .圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MFi|十|MF2| = 2a(2a>|FiF2|);双曲线：|MFi | |MF2|=2a(

7、2a< |FiF2|)；(3)抛物线：|MF|=d(d为M点到准线的距离).温馨提醒 应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误2 .圆锥曲线的标准方程2222(1)椭圆：/1(a>b>0)(焦点在x轴上)或步+窜=1(a>b>0)(焦点在y轴上);2222(2)双曲线:拿一卜1(a>0, b>0)(焦点在x轴上)或>、1(a>0, b>0)(焦点在y轴上)； (3)抛物线：y2=2px, y2= -2px, x2=2py, x2= - 2py(p>0).3 .圆锥曲线的重要性质 (1)椭圆、双曲线中a, b, c之间

8、的关系在椭圆中：a2=b2 + c2；离心率为e= ：= 1 -3.在双曲线中：c2=a2+b2；离心率为e=1+e (2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标22b双曲线 Al Ma,0, b>0)的渐近线方程为y=5？；焦点坐标Fi(-c, 0), F2(c, 0).y=1x,焦点坐标 Fi(0, c),F2(0,y2 x2双曲线，产1A。，b>0)的渐近线方程为 c).(3)抛物线的焦点坐标与准线方程抛物线y2 = 2px(p>0)的焦点F p, 0 ,准线方程x= -p.抛物线x2 = 2py(p>0)的焦点F 0, 2 ,准线方程v= -p.4.弦长问题(1)直线与圆

9、锥曲线相交的弦长设而不求，利用根与系数的关系，进行整体代入.即当斜率为k,直线与圆锥曲线交于 A(x1, y1), B(x2, y2)时，|AB| = 41+ k2网一x2| =5 + k2J (x1 + x2)2 4x1x2.过抛物线焦点的弦长2抛物线 y2 = 2px(p>0)过焦点 F 的弦 AB,若 A(x1, y1), B(x2, y2),则 xx2=j y1y2 = - p2,弦长 |AB|=x1 + x2 + p.10 / 20热点一 圆锥曲线的定义及标准方程【例11 （1）（天津卷）已知双曲线a2 b2=1（a>0, b>0）的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴

10、的直线与双曲线交于 A,距离分别为di和d2,且di+d2 = 6,22A x y-= iA. 4 12 1Cx2_y2=1C.3 91B两点.设A, B到双曲线的同一条渐近线的则双曲线的方程为（）2BB.12 x2D.9一2=1（2018烟台二模）已知抛物线C:x2=4y的焦点为F, M是抛物线C上一点,若FM的延长线交x轴的正半轴于点N,交抛物线C的准线l于点且FM = MN, 则|NT尸.解析（1）由d1+d2 = 6,得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3,所以b=3.因为a2 + b2a2 + 9所以1 = 4,所以一歹22双曲线a2' $= 1（a>0, b>0）的

11、离心率为2,所以a=222=4,解得a2 = 3,所以双曲线的方程为* Jr(2)由 x2=4y,知 F(0, 1),准线 l: y= 1.设点 M(xo, yo),且 xo>0, yo>0.由FM = MN,知点M是线段FN的中点，N是FT中点,利用抛物线定义，|MF|=|MM'Myo+1,且 |FF2|NN '4 2.又 2(yo+1)=|FFT 113 |NNM3,知 yo = 2.； |MF|=2+1=2,从而 |NT| = |FN|= 2|MF| = 3.答案(1)C (2)3探究提高 1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离， 一般运用定义转化为到准线的距离处理

12、.如本例(2)中充分运用抛物线定义实施转化，使解答简捷、明快 .2.求解圆锥曲线的标准方程的方法是 先定型，后计算”.所谓谊型”，就是指确 定类型，所谓 计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的 a2, b2, p的值，最 后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程22【训练11 (1)(全国田卷)已知双曲线C: a2-b2= 1(a>0, b>0)的一条渐近线方程为y=*x,且与椭圆得+£=1有公共焦点，则C的方程为() 212 3222 2Ax_L=1Bx_£=1A. 8 10 1B.4 5 1D.xryr14:15 4Fi , F2分别为左、右焦点,x2(2

13、)(衡水中学调研)P为椭圆C:5+ y2=1上一动点, 延长F1P至点Q,使得|PQ|=|PF2|,记动点Q的轨迹为Q,设点B为椭圆C短 轴上一顶点，直线 BF2与。交于M, N两点，则|MN= 解析(1)由题设知5=15,22又由椭圆x+y- = 1与双曲线有公共焦点，12 3易知 a2+b2 = c2=9,22由解彳4 a=2, b = ® 则双曲线C的方程为11 = 1.(2) /|PF1|+ |PF2| = 2a= 2V2,且|PQ| = |PF2|, . |FQ尸 |FP|+ |PF2| = 2 2.。为以F1(1, 0)为圆心，2也为半径的圆.|BF1|=|BF2| =亚

14、，|F1F2|=2, .BF1，BF2,故|MN|= 2立皿|2-|BF1|2:24(2柩 2-(血)2=2v6.答案(1)B (2)2 .6热点二圆锥曲线的几何性质b>0）的离心率为 卷，则【例2】（1）（全国田卷）已知双曲线C:步一看=11>0点（4, 0）到C的渐近线的距离为（）A. '2B. 2C.32-2D.2 22222（2）（北京卷改编）已知椭圆M: /+* 1（a>b>0）,双曲线N:m2/=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形 的顶点，则椭圆M的离心率为.c解析 （1）法一 由离心率e=g，得c= &g

15、t;/2a, 又b=ca, 得b = a,所以 a-双曲线C的渐近线方程为y=改由点到直线的距离公式，得点（4, 0）到C的渐近线的距离为4j= = 2l2.法二 离心率e=也的双曲线是等轴双曲线，具渐近线方程是y=虫，.点（4,4.0）到C的渐近线的距离为4j=2l2.（2）设椭圆的右焦点为F（c, 0）,双曲线N的渐近线与椭圆M在第一象限内的交点为A,由题意可知A 2, 13c ,由点A在椭圆M上得，于2+至2= 1,b2c2+3a2c2=4a 4b4a2b2, . b2=a2 c2,.（a2 c2）c2 + 3a2c2 = 4a2（a2c2）, 贝U 4a4 8a2c2 + c4=0,

16、e48e2+4 = 0, .e2=4+ 2J3（舍），e2 = 4 2/3.由 0<e<1, 得 e= 13 1.答案（1）D （2）731探究提高1.分析圆锥曲线中a, b, c, e各量之间的关系是求解圆锥曲线性质 问题的关键.2 .确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键就是确立一个关于a, b, c的方程（组）或不等式（组），再根据a, b, c的关系消掉b得到a, c的关系式.建立 关于a, b, c的方程（组）或不等式（组），要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.b a-3 .求双曲线渐近线方程关键在于求b或a的值，也可将双曲线等号右边的1”变为 a b

17、0”，然后因式分解得到.x2 y2【训练2】(1)(成者B质检)设椭圆C:孑+y2= 1(a>b>0)的左、右焦点分别为Fi, F2,点E(0, t)(0<t<b).已知动点P在椭圆上，且点P, E, F2不共线，若 PEF2 的周长的最小值为4b,则椭圆C的离心率为( )B.保c.222A小 r. 2 (2)在平面直角坐标系xOy中，双曲线%b2=1(a>0, b>0)的右支与焦点为F 的抛物线x2=2py(p>0)交于A, B两点，若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐 近线方程为.解析(1)由椭圆的定义及对称性，4PEF2的周长的最小值

18、为2a.，2a = 4b, a=2b,则c= ,a2 b2 =y3b,则椭圆C的离心率e='= ja 2(2)设 A(x1，y1), B(x2, y2), x 2联立方程：a b '消去 x 得 a2y2 2pb2y+ a2b2 = 0 x2=2py, 2b 由根与系数的关系得yi + y2="02p,又AF|+|BF|=4|OF|, yi + 2+y2 + p|= 4丐,即 yi + y2=p, 2b2口 口 b2 1 b 2孑"P，即#2 a=£双曲线渐近线方程为v=答案(1)A(2)y=热点三直线与圆锥曲线 考法1直线与圆锥曲线的位置关系【例

19、31】(全国I卷)在直角坐标系xOy中，直线l： y=t(tw或y轴于点M , 交抛物线C: y2=2px(p>0)于点P, M关于点P的对称点为N,连接ON并延长交C于点H.求IO出（"|ON除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由解（1）如图，由已知得M（0, t）, P；t-, t ,/p又N为M关于点P的对称点，故N t ,P故直线ON的方程为y=px 将其代入y2 = 2px整理得px22t2x=0,解得 xi = 0, x2 = 22,因此 H 22, 2t . p p所以N为OH的中点，即需=2.直线MH与C除H以外没有其它公共点，理由如下:直线MH的方程

20、为yt=2tx,即x=（yt）.代入y2=2px得 y24ty+4t2=0, 解得 yi = y2 = 2t,即直线MH与C只有一个公共点, 所以除H以外，直线MH与C没有其它公共点.探究提高1.本题第（1）问求解的关键是求点N, H的坐标.而第（2）问的关键是将 直线MH的方程与曲线C联立，根据方程组的解的个数进行判断 2.判断直线与圆锥曲线的交点个数时， 可直接求解相应方程组得到交点坐标， 也 可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次 项系数不为0.并且解题时注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技 巧.求曲线C的方程;【训练3】（潍坊三模）已知M为圆O

21、: x2 + y2=1 过点M作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A, B, 长至点P,使得|PA|=2,记点P的轨迹为曲线C.直线l: y=kx+ m与圆O相切，且与曲线C交于D, E两点，直线11平行于l 且与曲线C相切于点Q（O, Q位于l两侧），SU=2,求k的值.解 (1)设 P(x, y), A(x0, 0), B(0, y0),则 M(x0, y0)且 x2+y0=1, 由题意知OAMB为矩形，|AB|=|OM|=1, .AP=2BA,即(x x。，y) = 2(x0, -y0),x0 = x, 丫0=三，则卷+1二122故曲线C的方程为得"+=1.9 4设1i： y=kx+

22、n, 丁 l与圆O相切, 圆心O到l的距离d1= 网一=1,得m2=k2+1,Vk2+1|m n|, li 与 l 距离 d2:2,1Saode ZDE d1 d1|m|2Sqde 1d2 |mn| 3'2|DE| d211一 2又O, Q包于l两侧，m=gn,x y2联立5+4 1，消去y整理得y= kx+ n, (9k2 + 4)x2+ 18knx+ 9n2- 36= 0由 A= 0,得 n2 = 9k2 + 4, 由得卜二明1考法2有关弦的中点、弦长问题22【例3 2】(全国田卷)已知斜率为k的直线l与椭圆C: 1 +5=1交于A, B 两点，线段AB的中点为M(1, m)(m&

23、gt;0).、1(1)证明：k< 5； (2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且FP + FA+FB=0.证明：|FA|, |FP|, |FB |成等差数列，并求该数列的公差.(1)证明 设 A(xi, yi), B(x2, y2),则好+城=i xl+且=14 3'43两式相减，并由 g=k得力+k" X1-X243由题设知xnl,土产=m,于是k=磊.X y2由于点M(1, m)(m>0)在椭圆了+=1内， 431m231t+ V<1，解得 0Vm<5,故 k<-. 4 322(2)解 由题意得 F(1, 0).设 P(X3, y3),则(X

24、3 1 , y3) + (X1 1 , y1)+ (X2 1 , y2) = (0, 0).由(1)及题设得X3= 3 (X1 + X2) = 1, y3= (y1 + y2) = 2m<0. 一 3又点P在C上，所以m=0从而 p 1, 3 , |FP|=3.于是 |FA|=/(X1 1) 2+y(X1-1) 2 + 3 1X2 =2 X1.同理 |FB|=2X2.所以 |FA|+|fB|=4 2(X1 + X2)= 3.故 2|FP| = |FA|+|FB|,即|FA|, |FP|, |FB|成等差数列.设该数列的公差为d,则121d|=|FB|一|FA|= #1X2|=2( X1

25、+ X2)2 4X1X2.3将m= 4代入得k=1.所以l的方程为v= -x+ j代入C的方程，并整理得7x214X+:=0.故 X1 + X2=2, X1X2 = ；1,代入解得 |d|=3|1.2o2o所以该数列的公差为 "驾或一驾". 2828探究提高1.在涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系与弦长公式AB| = WTR|X2 X1,设而不求计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解，以简化运算.2.对于弦的中点问题常用 根与系数的关系”或：戈差法”求解，在使用根与系数的 关系时，要注意使用条件 Q0,在用：戈差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相

26、 交.【训练4】（天津卷）设椭圆X2+$=1（a>b>0）的左焦点为F,上顶点为B,已知椭圆的离心率为坐，点A的坐标为（b, 0）,且|FB| AB|=6/2. 3（1）求椭圆的方程； （2）设直线l: y= kx（k>0）与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线AB交于点Q.若fAQ|= 52sin / AOQ（O为原点），求k的值.|PQ| 4一、，八 1，c25解（1）设椭圆的焦距为2c,由已知有（ = 9， 又由 a2=b2 + c2,可得 2a = 3b.由已知可得，|FB|=a, AB| = 42b, 由 |FB| AB|=6也, 可得 ab=6,从而 a= 3,

27、b=2.22所以，椭圆的方程为:+上1.设点P的坐标为（xi, yi）,点Q的坐标为（X2, y2）.由已知有yi>y2>0,故 |PQ|sin/ AOQ=yiy2.又因为AQ尸/洲AB，而/ 0AB=；， 故AQ尸2y2.t |AQ| 5 工 , 一 由鬲=4 sin/AOQ,可得 5yi = 9y2.23 / 20由方程组y=kx,x2 y2 消去x,可得yi = 二1，6k易知直线AB的方程为x+y 2 = 0,由方程组y=kx,2k消去x,可得y2=/k;.x + y-2 = 0,k+1代入5yi = 9y2,可得5(k+1)=3颁彳，将等式两边平方，整理得 56k250k

28、+11 = 0,-1,11解得k=彳或k=228一111所以，k的值为2或18.1 .椭圆、双曲线的方程形式上可统一为 Ax2+By2=1,其中A, B是不等的常数, A>B>0时，表示焦点在y轴上的椭圆；B>A>0时，表示焦点在x轴上的椭圆; AB<0时表示双曲线.2 .对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦问题，恰当选用定义解题，会效果明 显，定义中的定值是标准方程的基础.c .3 .求双曲线、椭圆的离心率的方法：法一：直接求出a, c,计算e=法二：根据已知条件确定a, b, c的等量关系，然后把b用a, c代换，求:4 .弦长公式对于直线与椭圆的相交、 直线

29、与双曲线的相交、直线与抛物线的相交 都是通用的，此公式可以记忆，也可以在解题的过程中，利用两点间的距离公式推导.5.求中点弦的直线方程的常用方法（1）点差法，设弦的两端点坐标分别为（xi, yi）, （x2, y2）,分别代入圆锥曲线方程,两式作差，式中含有X1 + X2, yi + y2,匕*三个量，则建立了圆锥曲线的弦的中 xi X2点坐标与弦所在直线的斜率之间的关系，借助弦的中点坐标即可求得斜率；（2）根与系数的关系，联立直线与圆锥曲线的方程，化为一元二次方程，用根与系数 的关系求解.一、选择题221.（合肥调研）已知双曲线C：，X2= 1（a>0, b>0）的一条渐近线与直

30、线2x-y+1 =0垂直，则双曲线C的离心率为（）A. 2B. .2C. 3D. , 52解析依题意，2 -b = - 1, ； b= 2a.则 e2 = 1 + 3=5,. e= J5.答案 D2.（南昌质检）已知抛物线C: x2=4y,过抛物线C上两点A, B分别作抛物线的 两条切线PA, PB, P为两切线的交点，O为坐标原点，若PA PB = 0,则直线OA 与OB的斜率之积为（）1- c八 1rA. 4B. 3C. 8D. 4解析=0,22xaxb设 A xa, -4 ,B xb, 4 ,/日 ,xa xb得 PALPB.万万=1,由 x2= 4y,得 y '=x.所以 kA

31、P = x, kBP=x,由PA PBwxA xBxaxb1则 xA xb= 4,又 k0Ak0B=4xA 而=76 = 4.3.（全国I卷）已知F是双曲线与x轴垂直，点A的坐标是（1,A.33解析由c2 =B.2C: x2y=1的右焦点， 33）,则AAPF的面积为（C.33P是C上一点，且PF)D.2a2+b2 = 4得c= 2,所以 F(2, 0),将 x=2代入 x2 g=1,得 y=,所以 |PF|=3. 3又A的坐标是(1, 3),13故AAPF的面积为2M><21) = 2.答案 D4.已知椭圆C:七=1（a>b>0）的左、右焦点分别为Fi a bF2,

32、O为坐标原点，A一，一一. 一 .Tt .、. 一为椭圆上一点，/ FiAF2=2,连接AF2父y轴于M点，若3|OM|=|OF2|,则该椭圆的离心率为（）13A.3B.y解析 设|AF1|=m, |AF2|=n.如图所示，由题意可得5C.8彳0D7RDF1AF2s RtAMOF2.耨=10M| = 31, 则 n = 3m.又|AF“+AF2|=m+n = 2a, . . m = 2, n 2a.10 o o在 RtzF1AF2 中，m2+n2=4c2,即1a2=4c2,-e2=a2=谓，e=乎.答案 D225.（石家庄调研）已知Fl, F2分别为双曲线a2y2=1（a>0, b>

33、;0）的左、右焦点，P为双曲线上一点,PF2与x轴垂直，/ PFiF2 = 30°,且虚轴长为 2/2,则双曲线的标准方程为(22A.4-2=1x2 y2_叼-2二1x2 y2 , c.4-8=12 y2D. x2-2 = 1解析 如图，不妨设点P(x0, y0)在第一象限，则 在 RtzPF1F2 中，/PF1F2=30°, |F1F2| = 2c, 则 |PF2|=2c, |PF1|=，3c,又因为 |PF1| |PF2| = 23c=2a,即 c=q3a.3又 2b= 2v2,知 b二也, 且 c2a2=2,从而得 a2= 1, c2=3.2故双曲线的标准方程为x22

34、=1.答案 D 二、填空题6 .(北京卷)已知直线l过点(1, 0)且垂直于x轴.若l被抛物线y2 = 4ax截得的线 段长为4,则抛物线的焦点坐标为.解析 由题意知，a>0,对于y2=4ax,当x= 1时，y=支e，由于l被抛物线 y2=4ax截得的线段长为4,所以4g=4,所以a=1,所以抛物线的焦点坐标为(1, 0).答案(1, 0)227 .(江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线至一>1(a>0, b>0)的右焦点3F(c, 0)到一条渐近线的距离为 5c,则其离心率的值是 .解析 不妨设双曲线的一条渐近线方程为 y=：x,所以bcp = b = 13c,

35、所以 b2 = c2 a2=4c2,得 c=2a,所以双曲线的离心率e= ：=2.a答案28 .设抛物线x2=4y的焦点为F, A为抛物线上第一象限内一点，满足AF|=2;已 知P为抛物线准线上任一点，当|PA|+|PF|取得最小值时， PAF的外接圆半径 为.解析 由 x2 = 4y,知 p = 2, .焦点 F(0, 1),准线 y= 1.依题意,设 A(xo, yo)(xo>0),由定义，得 |AF|=y0 + p,则 y0= 2-1 = 1,AF，y 轴.易知当 P(1, 1)时，|PA|十|PF|最小，.肝| = 12+ ( 1 1)2=V5.由正弦定理,2R=PF|_ ,5_

36、5sin A- 2 2， 5因此4PAF的外接圆半径R=5.5答案4三、解答题9 .(全国II卷)设抛物线C: y2 = 4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A, B两点，AB| = 8.求l的方程；求过点A, B且与C的准线相切的圆的方程.解 (1)由题意得F(1, 0), l的方程为y= k(x 1)(k>0).设 A(x1，y1), B(x2, y2).y= k (x 1) ,° c cc由 2得 k2x2 (2k2+4)x+ k2 = 0.y2= 4xA= 16k2+16>0,故 x1 + x2=2kJ4.4k2+4所以 |AB|=|AF

37、|+ |BF|=(xi + 1)+(X2+1) = k. 2.4k +4由题设知一；2=8,解得k= 1(舍去)，k=1. k因此l的方程为y= x-1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3, 2),所以AB的垂直平分线方程为y2= (x3),即 y= x+ 5.设所求圆的圆心坐标为(X0, yo),则y0= X0+5,(X0+ 1)2(y0-x0+1)2-+16.x0= 3 解得y0 = 2x0=11, 或y0= - 6.因此所求圆的方程为(x-3)2+(y- 2)2= 16 或(x 11)2+ (y+ 6)2= 144.10 .(北京卷)已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2, 0), B(2, 0),焦点在x轴上， 离心