高中数学教学论文从函数视角研究数列

1、从函数视角研究数列沪教版高二年级第一学期课本中第 6页写道：“从函数的观点看，数列可以看成是以正整数 集（或其子集）为定义域的函数。”数列是一个定义在正整数集（或其子集）上的特殊函数。从这个意义上看，它丰富了学生所接触的函数概念的范围，引导学生利用函数去研究数列问题，能使解数列的问题更有新意和综合性，更能有效地培养学生的思维品质和创新意识。因此我们在解决数列问题时， 应充分利用函数的有关知识，以函数的概念、图像、性质为纽带，架起函数与数列之间的桥梁，揭示它们之间的内在联系，从而有效地解决数列问题。一、数列通项公式、求和公式与函数关系通过对数列中的通项公式以及前n项和公式等这些特殊的函数关系的概

2、念理解与分析，引导学生充分认识Qr ,4和n的对应关系，从而利用概念，鼓励学生主动探究，挖掘出数列通项公式、求和公式与函数的内在联系，使学生知识系统化，培养学生数学整体意识，用联系 发展的眼光学习数学。在教学实践过程中，通过学生的自主学习，发挥他们的主体作用，归纳出数列通项公式、求和公式与函数对应关系如下：数列前n项和公式对应函数等差数列国d 、 , 瞋M=月丐+2&=个+财- 2”2y-ax+5工（"甲o时为二次函数）等比数列加L _/十 为科！一g 十r1 -1-7/二以学工+5 （指数型函数）数列通项公式对应函数等差数列厘曜=白+ (用- 1)4=物+ (a1-d)丁一

3、山;+ 8（E二0时为一次函数）等比数列n-l /71白？1 =010 ?gA二收,（指数型函数）线斜率相等，即 凝一整（成十一掰，得/ =0 （图像如下），这里利用等差数列通项公式与一次函数的对应关系，并结合图像，直观、简洁。9 13 ir例2:等差数列值）中，町=25 ,前n项和为小，若叫二笆口，n为何值时,最大？分析：等差数列前n项和为可以看成关于n的次函数X'（凡知）是抛物线/O =2上的离散点，根据题意,=则因为欲求 国最大值，故其对应二次函数图像开口向下，并且对称轴为工二2二七.2，即当打二1弓时，%最大。例3：等差数列和等比数列（43首项均为1,且公差不等于1,公比中且q

4、/i,则集合（n,an）|% = 1 一定含有元素分析：等差数列"J 由于首项为1,即4=1 ,所以它的图像是必过（1, 1）的一条直线，而等比数列 值首项为1,公比为q，-叫故'=V 1它表示指数函数,例）二0”图像向右平移一个单位得到，必过（1,1）,所以此集合中必定含有元素（1,1）。二、构建函数，揭示数列本质新课程倡导学生积极主动、勇于探索的学习方法。而学会构建函数，一方面体现了学生在学习过程中的体验、思考与参与，另一方面也培养了学生的思维品质和创新意识。在构建函数之后，我们需要利用函数的概念和性质来解决问题。函数基本性质包括了奇偶性、单调性、周期性，最值性等等。在数

5、列学习中渗透函数思想，不仅可以进一步巩固函数知识，而且可 以拓宽学生解决数列问题的视野。1、构造具体函数，成功“转化”例4:递增数列"J对任意正整数n, %=兄库恒成立，求龙分析：构造一次函数，由数列品递增得到： X 一餐口对于一切总己犷恒成立, 即2/十+兄）0恒成立，所以只 一（？川+ L对一切用已V*恒成立，设了（幻=一（2月+ b ,则只需求出了的最大值即可，显然 了 有最大值，二,所以足的取值范围是:乐二1 +而看成函数/=/ +就域是尸）,因为是递增数列，即函数三- + Nk为递增函数，单调增区支一0间为L+8）,抛物线对称轴2 ,因为函数f（x）为离散函数，要函数单调递

6、增，就看动X =轴与已知区间的位置。从对应图像上看，对称轴2在外=1.5的左侧也可以（如图），a 3U 因为此时B点比A点高。于是， 2 上,得鼻；一咬望J9 .鼻灵例5:数列通项 制一 J98 ,前30项中最大项和最小项分别是 （C）画屈立廊分析：构造特殊函数，将数列通项整理,“脱去外衣”（如图）。根据函该函数图象是经过坐标轴平移后的反比例函数图像 数图像特点，判断出答案应选（C）.2、构造抽象函数，成功“突围”例6:已知数列0%满足%M=%十2 一%,砒=1 ,则建005 =分析：因为不清楚数列的具体类型，所以仅仅利用数列的知识不容易解决，而此时我们从函数视角去考虑，就容易联想到函数的周期

7、性。令/=口口，则/+4） 7（" 2）7那么函数满足/京+4）= /5 + 2）一（工），则G + =+ +，得八则以"塔=T0 + 6)7 ,即函数二丁周期为12加+ + .+*) + +八12) )+丁 + .-/(D g =0所以演5二砌+町+ +与。能 =j+ J+-、"=3、数列应用题中构造函数，成功“解决”数列知识本身就是来源于实际问题，又被广泛应用于实际问题，带有情境的数列问题，不仅可以考察学生的综合能力，而且可以考察学生解决实际问题的能力。例6:在一次人才招聘会上， A B两家公司分别开出它们的工资标准：A公司允诺第一年月工资为1500元，以后每

8、年月工资比上一年月工资增加 230元；B公司允诺第一年月工资为 2000元，以后每年月工资在上一年的基础上递增 5%设某人年初被 A, B两家公司同时录用， 试问：1人在 A公司工作比在 B公司工作的月工资最多时可高出多少元（精确到 1元）？ 分析：由题意可知，此人在 A、B两公司工作的第n年月工资数分别为= 1500 + 230 （n - 1） = 230 m十 1270 上.=2000 x 1.05 网可其中一_问题是该人在 A公司比在B公司工资每月高出部分的最大值故需要比较“和九F八 /（«）三口H 一2 三 230m- 2000 X 1.05%1 +1270可设一，：所以问题

9、转化为研究函数,（再）最大值因为当理之2时/(«)-/(»-1)=230融-2000 x 1.05"-1-230(« - 1) - 2000 x 10叶= 230-100x105初特)-/5-1)>0,得: 105-3 <2 3界 <空巨十2±191即 4 1所以当1三制三19时，/(声)单调递增，而当题2 20时，/(题)单调递减，因而当总二19时,/有最大值 川9)= 4g -与=827 (计算器算出)。故此人在A公司工作比在 B公司工作的月工资最多时可高出827元。通过对以上实例的研究和分析，笔者发现，数列作为离散函数的典型代表之一，不仅在高中数学中具有重要位置， 而且，在现实生活中有着非常广泛的作用。因此，在教学实践过程中，教师应创设恰当的情境， 让学生在这个情境中自觉领会和