2017-2018版高中数学第一章三角函数7正切函数学案北师大版必修4

1、7正切函数n【学习目标】1.理解任意角的正切函数的定义2能画出y=tanx(xR,x丰迈+kn,kZ)n n的图像3理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性，及其在区间(一，2)内的单调性4正切函数诱导公式的推导及应用.IT问题导学-知识点一正切函数的定义思考1设角a的终边与单位圆交于点P(a,b)，那么b何时有意义？a思考2正切函数与正弦、余弦函数有怎样的关系?梳理(1)任意角的正切函数,_n如果角a满足：aR,ay+kn(kZ)，那么，角a的终边与单位圆交于点P(a,b),唯一确定比值 _，我们把它叫作角a的正切函数，记作y=_ ，其中aR,na丰+kn ,kZ.(2)正切函数与正弦、余

2、弦函数的关系n根据定义知tana=_(aR,a工 +kn,kZ).(3)正切值在各象限的符号根据定义知，当角在第 _和第_象限时，其正切函数值为正；当角在第 _ 和第_象限时，其值为负.知识点二 正切线2思考 正切线是过单位圆上哪一点作出的?梳理 如图所示，线段 _为角a的正切线.知识点三正切函数的图像与性质思考1正切函数的定义域是什么?思考2能否说正切函数在整个定义域内是增函数?梳理解析式y=tanx图像1JI1i丿煜定义域nX|XRXHkn+2,kZ值域R周期最小正周期是n奇偶性函数对称中心3在开区间j2+kn,2+kn(kZ)上是增加的知识点四 正切函数的诱导公式n思考 前面我们学习过n

3、a,a,a,2n a等的正弦、余弦的诱导公式，并总结出“奇变偶不变，符号看象限”的记忆口诀对正切函数能适用吗？梳理函数角y=tanx记忆口诀kn + atana2n + atanaatana函数名不变，符号看象限natanan + atanan丄+ a2COta函数名改变，符号看象限n三aCOta题型探究类型一正切函数的概念43例1若角0的终边经过点A5,m)，且tan0=4则mi=_.反思与感悟(1)解决本题的关键是熟记正切函数的定义，即tana=ba(2)已知角终边上的一点Ma,b)(a*0)，求该角的正切函数值，或者已知角a的正切值，求角a终边上一点的坐标，都应紧扣正切函数的定义求解，在

4、解题过程中，应注意分子、分母的位置.跟踪训练1已知点P2a,3a)(a*0)是角0终边上的一点，求tan0的值.单调性4类型二 正切函数的图像及性质例2画出函数y=|tanx|的图像，并根据图像判断其单调区间、奇偶性、周期性.反思与感悟(1)作出函数y=|f(x)|的图像一般利用图像变换方法，具体步骤是：1保留函数y=f(x)图像在x轴上方的部分；2将函数y=f(x)图像在x轴下方的部分沿x轴向上翻折.(2)若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图像，再利用周期性，延拓到定义域上即可.跟踪训练2将本例中的函数y=|tanx|改为y=tan|x|，回答同样的问题，结果怎样？类型三正切函数诱导公

5、式的应用例3求下列各式的值.(1)7cos 270 +3sin 270 +tan 765(2tan 225 +tan 7503E.反思与感悟(1)熟记诱导公式和特殊角的三角函数值是解决此类问题的基础和关键.(2)无条件求值，又称给角求值，关键是利用诱导公式将任意的三角函数值转化为锐角的三角 函数值.跟踪训练3化简：、丨I n + %*n * 2atan7t2+ a-cos5当堂训练n1.函数y=tan(2x+ )的最小正周期是()A. nB.2nC. D. _2 62.函数f(x)=tan(x+-4)的递增区间为()nnA.(kn ,kn+2),kzB.(kn ,(k+1)n),kZ3nnC.

6、(kn ,kn + ) ,kZn3nD.(kn 一,kn T-),kZ445.比较大小：tan 1_ tan 4.7 规律与方迭-1.正切函数的图像n正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为x=kn+三,kZ,相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且是增加的.2.正切函数的性质n(1)正切函数y=tanx的定义域是x|x丰kn+三,kZ，值域是R(2)正切函数y=tanx的最小正周期是n，函数y=Atan(wx+)(A,w丰0)的周期为T=nrwr.A.y=tanxxC.y=tan A. COtaC. tanaB.y=cosxD.y= tanxB. cotaD.tana3.在下列函数中同时满足：在

7、2n为周期；是奇函数的是6I nn(3)正切函数在2+kn,2+kn(kZ)上是增加的，不能写成闭区间，正切函数无递减 区间7问题导学知识点一思考1当a0时，？有意义.a思考2 tansina _-a(aa nR,a z2+kn ,kZ)丄亠bsina梳理：tanaacosa(3)一 三二四知识点二思考 过单位圆与x轴的非负半轴的交点A(1,0).梳理AT知识点三n思考1x|xR,X2+kn,kZ.思考2不能.nn ikn三,kn+2(kZ)上是增函数，但不能说正切函数在 其整个定义域内是增函数.梳理奇 今，0,kZ知识点四所以口诀对正切函数依然适用.题型探究跟踪训练1解由于az0,3a3 tan0_ _2a2例2解由y_阳nx|，得(合案精析思考因为tanasinaCOSa. n、丰kn +2),8-ntanx,kn wxkn+三kZ,y=tanx,其图像如图所示.肿LA3TT：-：卫 EIT：W X!； 2HI12211 11递增区间为0,2），（kn专,kn+nn）（k为正整数），nnn递减区间为(kn，kn+2)(k为负整数)和(一亍，0)，不是周期函数.例3解原式=7cos(180 +90)+3sin(180 +90)+tan(2x360+45)=7cos 90 3sin 90 +ta