第1章信号及其描述

1、第第1 1章章 信号及其描述信号及其描述第第1 1节节 信号及其描述方法信号及其描述方法第第2 2节节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱第第3 3节节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱 第第1 1章章 信号及其描述信号及其描述本章重点：本章重点：1 1、信号的定义及分类。、信号的定义及分类。2 2、信号的时域描述和频域描述。、信号的时域描述和频域描述。3 3、周期信号的傅里叶级数展开。、周期信号的傅里叶级数展开。4 4、傅里叶变换及其性质。、傅里叶变换及其性质。5 5、典型信号的频谱。、典型信号的频谱。第第1 1节节 信号及其描述方法信号及其描述方法一、信号的定义一、信号的

2、定义 蕴含着信息，且能传输信息的物理量称之为信号。蕴含着信息，且能传输信息的物理量称之为信号。它是随时间变化的函数。它是随时间变化的函数。二、信号的数学模型二、信号的数学模型 在测试技术中，将信号抽象为某个变量的函数关系，在测试技术中，将信号抽象为某个变量的函数关系，如时间函数如时间函数x(t)、频率函数、频率函数X(f)等，从数学上加以分析等，从数学上加以分析研究。研究。 信号的数学描述通常称为信号的数学模型，决定了信号的数学描述通常称为信号的数学模型，决定了分析信号最适当的数学方法。分析信号最适当的数学方法。（以后讲述中，信号与函数是同等概念）（以后讲述中，信号与函数是同等概念）三三 信号

3、的分类信号的分类 1 1、确定性信号与非确定性信号（随机信号）、确定性信号与非确定性信号（随机信号） 可以用明确的数学关系式或图表描述的信号称为可以用明确的数学关系式或图表描述的信号称为确定性信号；反之，不能用数学关系式或图表描述，确定性信号；反之，不能用数学关系式或图表描述，所描述的物理现象是随机过程的信号称为随机信号。所描述的物理现象是随机过程的信号称为随机信号。 随机信号随机信号三三 信号的分类信号的分类 2 2、周期信号和非周期信号、周期信号和非周期信号 确定性信号按信号随时间的变化是否具有确定性信号按信号随时间的变化是否具有周期重复性，可被分为周期信号和非周期信号。周期重复性，可被分

4、为周期信号和非周期信号。 周期信号是按一定时间间隔周而复始重复周期信号是按一定时间间隔周而复始重复出现，无始无终的信号，可表达为：出现，无始无终的信号，可表达为： )()(0nTtxtx三三 信号的分类信号的分类 请判断下面的信号是否属于周期信号？请判断下面的信号是否属于周期信号？tttx2sinsin)(1tttx2sinsin)(2textxatsin)(03周期信周期信号号准周期准周期信号信号瞬变非周期信号准周期信号准周期信号：由两种以上的周期信号合成，：由两种以上的周期信号合成，其组成分量间无公共周期。其组成分量间无公共周期。瞬变非周期信号瞬变非周期信号：是非周期信号，但不属于：是非周

5、期信号，但不属于准周期信号。准周期信号。三三 信号的分类信号的分类衰减振动信号图瞬变非周期信号(a)榔头的敲击力(b)缆绳断裂时的应力变化(c)热电偶插入加热炉的温度的变化过程连续信号与离散信号连续信号与离散信号 若信号数学表达式中的独立变量取值是连续的，若信号数学表达式中的独立变量取值是连续的，则称为连续信号。反之，若独立变量取值离散，则称则称为连续信号。反之，若独立变量取值离散，则称为离散信号。如下图所示：为离散信号。如下图所示：模拟信号模拟信号：独立变量和幅值均取连续值的信号。：独立变量和幅值均取连续值的信号。数字信号数字信号：独立变量和幅值均取离散值的信号。：独立变量和幅值均取离散值的

6、信号。能量信号与功率信号能量信号与功率信号 n能量有限信号（能量信号）：当能量有限信号（能量信号）：当 满足满足 时，则认为信号的能量是有限的。例如矩形脉冲信时，则认为信号的能量是有限的。例如矩形脉冲信号、衰减指数函数等。号、衰减指数函数等。 n功率有限信号（功率信号）：信号在区间的能量是功率有限信号（功率信号）：信号在区间的能量是无限的，但在有限区间的平均功率是有限的，无限的，但在有限区间的平均功率是有限的，即即 t xdttx2dttttxtt212121四四 信号的描述方法信号的描述方法时域描述和频域描述时域描述和频域描述 1 1、时域描述、时域描述 直接观察或记录到的信号，一般是以时间

7、为独立直接观察或记录到的信号，一般是以时间为独立变量，反映的是信号幅值随时间的变化关系，因而称变量，反映的是信号幅值随时间的变化关系，因而称其为信号的时域描述。其为信号的时域描述。h h 2 2、频域描述、频域描述 在信号的研究过程中，有时要把信号变换成以频在信号的研究过程中，有时要把信号变换成以频率为独立变量，由此来反映信号的频率结构和各频率率为独立变量，由此来反映信号的频率结构和各频率成分与幅值、相位之间的关系，信号的这种描述方法成分与幅值、相位之间的关系，信号的这种描述方法称之为频域描述。称之为频域描述。 四四 信号的描述方法信号的描述方法 例：已知周期方波的时域描述如下所示：例：已知周

8、期方波的时域描述如下所示：时域描述时域描述四四 信号的描述方法信号的描述方法 例：若将周期方波用傅里叶级数展开，则：例：若将周期方波用傅里叶级数展开，则：频域频域描述描述四四 信号的描述方法信号的描述方法四四 信号的描述方法信号的描述方法周期信号是简谐信号的 叠加。snsfTtnntx22 )sin(14)(s1x(tx(t) )是以是以T T为周期的方波函数，则其付立叶级数表示为：为周期的方波函数，则其付立叶级数表示为：基波（1次谐波）3次谐波5次谐波7次谐波信号展开的意义以以T T为周期的方波的正弦谐波叠加图形演示：为周期的方波的正弦谐波叠加图形演示：1次谐波1、3次谐波1、3、5次谐波1

9、、3、5、19次谐波1、3、5、39次谐波1、3、5、199次谐波1、3、5、1999次谐波四四 信号的描述方法信号的描述方法幅频谱、相频谱幅频谱、相频谱须同时存在！须同时存在！幅频谱幅频谱相频谱相频谱侧重侧重点点时域描述和频域描述的区别与联系时域描述和频域描述的区别与联系时域描述与频域描述的区别区别：1.自变量不同；2.侧重点不同；3.数学表达式和图形表示方法不同；时域描述与频域描述的联系联系： 时域描述与频域描述是一一对应的，包时域描述与频域描述是一一对应的，包含相同的信息量，借助傅里叶级数含相同的信息量，借助傅里叶级数(或变换或变换)可以互相转换。可以互相转换。四四 信号的描述方法信号的

10、描述方法第第2 2节节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱一、周期信号及其时域描述一、周期信号及其时域描述二、周期信号的频域展开二、周期信号的频域展开三、周期信号频谱的特点三、周期信号频谱的特点 周期信号是指经过一定时间可以重复出现的信号，周期信号是指经过一定时间可以重复出现的信号，函数关系满足条件：函数关系满足条件：x ( t ) = x ( t + nT ) 式中：式中：T周期，周期，T=2/0； 0基频；基频； n=0,1, 。 例如，下面是一个例如，下面是一个50Hz50Hz正弦波信号正弦波信号10sin(250t)的的波形，信号周期为波形，信号周期为1/50=0.02秒。秒。 一一

11、 周期信号及其时域描述周期信号及其时域描述机械系统中，回转体不平衡引起的振动，往往也是一机械系统中，回转体不平衡引起的振动，往往也是一种周期性运动。例如，下图是某钢厂减速机上测得的种周期性运动。例如，下图是某钢厂减速机上测得的振动信号波形振动信号波形( (测点测点3)3)，也可以近似地看作为周期信号。，也可以近似地看作为周期信号。 一一 周期信号及其时域描述周期信号及其时域描述 周期信号在满足狄里赫利（周期信号在满足狄里赫利（DirichletDirichlet）条件的情）条件的情况下，可以展开成三角函数集（况下，可以展开成三角函数集（ ）或复指数函数集（或复指数函数集（ ）的傅里叶级数，由此

12、可得）的傅里叶级数，由此可得到对应的周期信号在频域的描述形式：到对应的周期信号在频域的描述形式： 1 1、傅里叶级数的三角函数展开式三角函数展开式 2 2、傅里叶级数的复指数函数展开式复指数函数展开式 tjne0tntn00cos,sin二二 周期信号的频域展开周期信号的频域展开函数在一个周期内连续或只函数在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点，并有有限个第一类间断点，并且至多只有有限个极值点。且至多只有有限个极值点。满足绝对可积条件。满足绝对可积条件。级数的定义：级数的定义： 若给定一个数列若给定一个数列 ，那么由此，那么由此数列构成的表达式数列构成的表达式 称称为级数。为级数。 二二 周

13、期信号的频域展开周期信号的频域展开,321nuuuunuuuu321复指数函数展开式复指数函数展开式 三角函数展开式三角函数展开式 tntn00cos,sintjne0220022002200000000sin)(2cos)(2)(1TTnTTnTTtdtntxTbtdtntxTadttxTa其中：)sincos()(0100tnbtnaatxnnn1 1 傅里叶级数的三角函数展开式傅里叶级数的三角函数展开式常值分量余弦分量的幅值正弦分量的幅值将一个周期运动分解成许多不同频率的简谐运动。nnnnnnnnnbabatnsatxtanAinA)(22100其中：）（1 1 傅里叶级数的三角函数展开

14、式傅里叶级数的三角函数展开式在上式中，不能直观地看到频率与幅值、频率与相位之间的关系。需要对上式变形。)arctan(cosA)(:100nnnnnnabtnatx）（或得：合并频率相同的项，可是第n次谐波的幅值， 是第n次谐波的相位nAn例例1 1：若：若 ，求此周期性三角波的傅里叶级数。求此周期性三角波的傅里叶级数。1 1 傅里叶级数的三角函数展开式傅里叶级数的三角函数展开式20,202,2)(0000TttTAAtTtTAAtx解：此周期信号满足狄里赫利条件，其傅里叶级数的三角函数展开式为：)sincos()(0100tnbtnaatxnnn其中，常值分量为：1 1 傅里叶级数的三角函数

15、展开式傅里叶级数的三角函数展开式220000)(1TTdttxTa2000020000)2(1)2(1TTdttTAATdttTAAT2A20020020200011TTTAtAtTTAtAtT1 1 傅里叶级数的三角函数展开式傅里叶级数的三角函数展开式 上述作法不是最简，可利用函数的奇偶性的规律简化求积分的过程。0)()()()(aadxxfxfxfxf，则为奇函数，即若aaadxxfdxxfxfxfxf0)(2)()()()(则，为偶函数，即若1 1 傅里叶级数的三角函数展开式傅里叶级数的三角函数展开式220000cos)(2TTntdtntxTa余弦分量的幅值：由于被积函数是偶函数，所以

16、：200000cos)2(4TntdtntTAATa200020000000)sin(2)sin(4TTntndtTAntndAT200002000020000000sin2sin2sin4TTTdtntnTAntntTAntnAT则：1 1 傅里叶级数的三角函数展开式傅里叶级数的三角函数展开式20200000)(cos2004TnntnTATa)2cos1 ()(18002020TnnTA)cos1 ()(22nnA, 6 , 4 , 2, 0, 5 , 3 , 1,422nnnA200T1 1 傅里叶级数的三角函数展开式傅里叶级数的三角函数展开式220000sin)(2TTntdtntxT

17、b正弦分量的幅值：由于被积函数是奇函数，所以：0nb因此，该周期函数的傅里叶级数展开式为：tttAAtx0202025cos513cos31cos42)(), 5 , 3 , 1(cos1421022ntnnAAn1 1 傅里叶级数的三角函数展开式傅里叶级数的三角函数展开式得三角波函数的幅值频谱图：得三角波函数的相位频谱图：24A 根据根据 的关系作出的图形分别的关系作出的图形分别称为幅频谱和相频谱，统称为频谱。例如：称为幅频谱和相频谱，统称为频谱。例如：1 1 傅里叶级数的三角函数展开式傅里叶级数的三角函数展开式nnA,1 1 傅里叶级数的三角函数展开式傅里叶级数的三角函数展开式三角波函数的

18、幅值频谱图：由三角波信号的幅值频谱图可以看出，此信号的谐波幅值随着谐波次数的升高衰减得很快，第七次就已经衰减为基波的1/49。若此信号作为干扰信号，需要经过滤波器滤除掉，则滤波器的通频带的宽度要求要相应窄一些。反之，若高次谐波幅值衰减较慢的信号就需要较宽的通频带。这样才能减弱漏掉高次频率成分带来的失真。24A1 1 傅里叶级数的三角函数展开式傅里叶级数的三角函数展开式用傅里叶级数三角函数展开式表示周期信号的意义：1.1.周期信号由若干个不同的频率成分叠加而成；周期信号由若干个不同的频率成分叠加而成；2.2.反映各频率成分与幅值相位的关系；反映各频率成分与幅值相位的关系；3.3.通过幅值反映频率

19、成分在信号中的比重。通过幅值反映频率成分在信号中的比重。1 1 傅里叶级数的三角函数展开式傅里叶级数的三角函数展开式 周期信号的频域分析不仅仅是为了研究信号本身，更重要的是作为选择测试系统时的一个依据。 测试系统的各种转换电路，如放大电路、滤波电路等，对可以通过的信号频率都是有限制的，如果信号中含有测试系统通频带以外的频率成分，那么信号在通过测试系统时，会由于这频率成分的丢失而引起失真。1.傅里叶级数的三角函数展开式2.傅里叶级数的复指数函数展开式二二 周期信号的频域展开周期信号的频域展开基于周期函数都是几个或多个简谐信号的叠加。基于周期函数都是几个或多个简谐信号的叠加。由于复指数函数的导数和

20、积分与其自身成比例，由于复指数函数的导数和积分与其自身成比例，而且线性定常系统对复指数函数输入量的响应仍而且线性定常系统对复指数函数输入量的响应仍是复指数函数，所以复指数函数在某些场合下的是复指数函数，所以复指数函数在某些场合下的运算分析非常方便。因此，研究周期信号的复指运算分析非常方便。因此，研究周期信号的复指数函数展开式是很有意义的。数函数展开式是很有意义的。 2 2 傅里叶级数的复指数函数展开式傅里叶级数的复指数函数展开式 复指数函数展开式是傅里叶级数的另一种数学表达式，它是根据欧拉公式，由三角函数展开式变换而来的。 )1(sincosjtjtetj欧拉公式)sincos()(0100t

21、nbtnaatxnnn傅里叶级数的三角函数展开式为 2 2 傅里叶级数的复指数函数展开式傅里叶级数的复指数函数展开式利用欧拉公式得：)(212sin2costjtjtjtjtjtjeejjeeteet将其代入三角函数展开式得：1000)(21)(21)(ntjnnntjnnnejbaejbaatx 2 2 傅里叶级数的复指数函数展开式傅里叶级数的复指数函数展开式令：00, )(21, )(21aCjbaCjbaCnnnnnn代入可得：dtetxTCneCtxeCeCCtxtjnTTnntjnnntjnntjnn00000022010)(1), 2, 1, 0()()(其中：即： 2 2 傅里叶

22、级数的复指数函数展开式傅里叶级数的复指数函数展开式一般情况下 是复数，可以写成：nCnjnnInRneCjCCCnRnInnInRnCCCCCarctan22，其中：则： 图是幅值频率谱图； 图是相位频率谱图nCn 例如，时域的某一周期方波信号展开到频域的复例如，时域的某一周期方波信号展开到频域的复指数函数数学表达式如下所示：指数函数数学表达式如下所示： 2 2 傅里叶级数的复指数函数展开式傅里叶级数的复指数函数展开式 由由 ，根据，根据 的关系做出的图形分别称为幅频谱和相频谱，统称为的关系做出的图形分别称为幅频谱和相频谱，统称为频谱。例如：频谱。例如： 2 2 傅里叶级数的复指数函数展开式傅

23、里叶级数的复指数函数展开式njnneccnnc,1.1.相同之处相同之处不论用那种方法展开，都可以看到周期信号是由一个不论用那种方法展开，都可以看到周期信号是由一个或几个、乃至无数多个不同频率的谐波叠加而成的。或几个、乃至无数多个不同频率的谐波叠加而成的。2.2.不同之处不同之处(1)(1)频率范围频率范围三角函数展开式为：三角函数展开式为： 称为单边谱；称为单边谱；复指数函数展开式为：复指数函数展开式为： 称为双边谱。称为双边谱。(2)(2)幅值大小幅值大小: :三角函数展开式的幅值是复指数函数展三角函数展开式的幅值是复指数函数展开式幅值的开式幅值的2 2倍。即倍。即三角函数展开式和复指数函

24、数展开式的区别三角函数展开式和复指数函数展开式的区别00,21aCACnn但，0，三角函数展开式和复指数函数展开式的区别三角函数展开式和复指数函数展开式的区别三角函数展开式三角函数展开式复指数函数展开式复指数函数展开式n的取值范围的取值范围不同不同单边谱双边谱同频率谐波幅同频率谐波幅值在量值上有值在量值上有确定的关系确定的关系幅频谱图幅频谱图0aAn0021aCACnn, 3, 2, 1, 0n, 3 , 2 , 1n 3 3 频域图形表示方法频域图形表示方法1.三角频谱2.复指数频谱 和 称为幅相频谱图nCn 和 称为实虚频谱图nRCnIC 和 称为幅相频谱图nAn 2 2 傅里叶级数的复指

25、数函数展开式傅里叶级数的复指数函数展开式例3：试画出一余弦函数及同频率的正弦函数的幅相频谱图及实虚频谱图。解：根据欧拉公式得：)(21sin)(21cos000000tjtjtjtjeejteet 2 2 傅里叶级数的复指数函数展开式傅里叶级数的复指数函数展开式t0cost0sin00nRCnRCnRCnRCnICnICnICnIC2121212100000022由此可得：(a)余弦函数(b)正弦函数 1 1、离散性、离散性信号中的频率取值是不连续的；信号中的频率取值是不连续的； 2 2、谐波性、谐波性频率取值都是基频的整倍数；频率取值都是基频的整倍数； 3 3、收敛性、收敛性随着频率取值的增

26、大而幅值逐渐随着频率取值的增大而幅值逐渐 减小（幅频谱）。减小（幅频谱）。三三 周期信号频谱的特点周期信号频谱的特点注意注意：由于周期信号具有收敛：由于周期信号具有收敛性，因此在实际测量中可以不性，因此在实际测量中可以不考虑次数过高的谐波分量。考虑次数过高的谐波分量。四四 周期信号的强度表述周期信号的强度表述px maxtxxpppx dttxTTx0001 dttxTxTrms00201 dttxTpTav00201 1）峰值峰值 峰值峰值 是信号可能出现的最大瞬时值，即是信号可能出现的最大瞬时值，即 峰峰-峰值峰值 是一个周期中最大瞬时值和最小瞬时值之差是一个周期中最大瞬时值和最小瞬时值之

27、差 2）绝对均值绝对均值 3）有效值有效值 4）平均功率平均功率第第3 3节节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱一、非周期信号的傅里叶变换一、非周期信号的傅里叶变换二、傅里叶变换的性质二、傅里叶变换的性质三、典型函数的频谱三、典型函数的频谱1.对称性；对称性；2.时间尺度改变特性；时间尺度改变特性；3.时移频移特性；时移频移特性；4.卷积特性；卷积特性；1.矩形窗函数；矩形窗函数；2.单位脉冲函数；单位脉冲函数；一一 非周期信号的傅里叶变换非周期信号的傅里叶变换随机信号随机信号瞬变非周期信号瞬变非周期信号非周期信号的分类信号的分类信号的分类 请判断下面的信号是否属于周期信号？请

28、判断下面的信号是否属于周期信号？tttx2sinsin)(1tttx2sinsin)(2textxatsin)(03周期信周期信号号准周期准周期信号信号瞬变非周期信号准周期信号准周期信号：由两种以上的周期信号合成，：由两种以上的周期信号合成，其组成分量间无公共周期。其组成分量间无公共周期。瞬变非周期信号瞬变非周期信号：在非周期信号中，除了准：在非周期信号中，除了准周期信号之外的信号。周期信号之外的信号。信号的分类信号的分类衰减振动信号图瞬变非周期信号(a)榔头的敲击力(b)缆绳断裂时的应力变化(c)热电偶插入加热炉的温度的变化过程瞬变非周期信号的特点是：过程突然发生，持续时间有限。几种典型的瞬

29、变非周期信号几种典型的瞬变非周期信号(a)矩形脉冲信号矩形脉冲信号(b)指数衰减信号指数衰减信号(c) 衰减的自由振动信号衰减的自由振动信号(d)单一脉冲信号单一脉冲信号一一 非周期信号的傅里叶变换非周期信号的傅里叶变换 周期信号用傅里叶级数展开可进行频谱结构分析，而瞬变非周期信号可视为周期信号的周瞬变非周期信号可视为周期信号的周期期T T趋于无穷大时的特殊情况趋于无穷大时的特殊情况。首先要以周期信号的傅里叶级数为基础；其次要考虑由周期趋于无穷大时所带来的一些变化。ntjntjnTTedtetxTtx0000)(1()(220一一 非周期信号的傅里叶变换非周期信号的傅里叶变换当周期趋于无穷大时

30、，即：ntjntjnTTedtetxTtx0000)(1()(2200Td2000可记为极小值，T则：积分求和线；即离散谱线变成连续谱，002ndT一一 非周期信号的傅里叶变换非周期信号的傅里叶变换tjtjedtetxdtx)(2)(ntjntjnTTedtetxTtx0000)(1()(220dedtetxtjtj )(21dtetxXtj)()(令：deXtxtj)(21)(则：)(X)(tx和互称为傅里叶变换对一一 非周期信号的傅里叶变换非周期信号的傅里叶变换可记为： 称得到的 为 的傅里叶变换， 为 的傅里叶逆变换。)()(Xtx)()(XtxIFTFT)(X)(tx)(X)(tx 傅

31、里叶变换建立了时间域与频率域之间的互换关系。一一 非周期信号的傅里叶变换非周期信号的傅里叶变换为简化关系式，将 代入得：f2dtetxXtj)()(deXtxtj)(21)(dtetxfXftj2)()(傅里叶变换dfefXtxftj2)()(傅里叶逆变换dtetxfXftj2)()(傅里叶变换dfefXtxftj2)()(傅里叶逆变换dtetxfXftj2)()(傅里叶变换dfefXtxftj2)()(傅里叶逆变换一一 非周期信号的傅里叶变换非周期信号的傅里叶变换)()(txFfX也可记作：)()(1fXFtx也可记作：一一 非周期信号的傅里叶变换非周期信号的傅里叶变换由于 是实变量f的复函

32、数，故可写成)()()(fjefXfX)(fX的连续相位谱；为信号的连续幅值谱；为信号式中：)()()()(txftxfX一一 非周期信号的傅里叶变换非周期信号的傅里叶变换例4：求矩形窗函数 的频谱。2, 02, 1)(tttw解：该信号为瞬变非周期函数，应用傅里叶变换。dtetwfWftj2)()(010222dteftj)(21ftjftjeefj一一 非周期信号的傅里叶变换非周期信号的傅里叶变换fffWsin)(:则)(21)sin(fjfjeejf据欧拉公式得：)(21)(ftjftjeefjfW上式中：sin)(sinc采样函数的定义：一一 非周期信号的傅里叶变换非周期信号的傅里叶变

33、换上式中定义了一个新的函数，即：采样函数sin)(sinc它是一个以 为周期的并随 的增加而作衰减振荡的偶函数，其值在 处为零，其相位在取正值时为零，在取负值时为 。其图形如下所示：2), 2, 1(nn一一 非周期信号的傅里叶变换非周期信号的傅里叶变换)(sin)(fcfW可表示为：一一 非周期信号的傅里叶变换非周期信号的傅里叶变换 通过矩形窗函数的频谱，可以看到一个在时域有限区间内有值的信号，其频率成分却延伸至无限。 实际测试时，往往是在时域中截取信号的一段长度记录。它就相当于原信号与矩形窗函数的乘积，则其频谱将是原信号频谱与矩形窗函数频谱的卷积，其结果是连续的、频率无限延伸的频谱。二二

34、傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 傅里叶变换是信号在时间域和频率域之间进行转换的一种基本数学工具。 了解傅里叶变换的性质可以简化计算。 1.线性叠加性；线性叠加性； 2.对称性；对称性； 3.时间尺度改变特性；时间尺度改变特性； 4.时移和频移特性；时移和频移特性； 5.卷积特性。卷积特性。1 1 线性叠加性线性叠加性是常数，若212211,),()(),()(aafXtxfXtx)()()()(22112211fXafXatxatxa：则(1)齐次性：若信号x(t)乘以常数a，则频谱函数X(f)也乘以常数a。(2)可加性：几个信号之和的频谱函数等于各个信号的频谱函数之和。2 2 对称性对称性

35、利用已知的傅里叶变换对，可得出相应函数的图形。dfefXtxftj2)()(：证：由傅里叶逆变换知)()()()(fxtXfXtx则，若dfefXtxttftj2)()(得：替换用2 2 对称性对称性dtetXfxftftj2)()(互换得：与将)()(fxtX应用这个性质，利用已知的傅里叶变换对即可得出相应的变换对。2 2 对称性对称性2 2 对称性对称性3 3 时间尺度改变特性时间尺度改变特性kdudtkutktu，则令:)0()(1)()()(kkfXkktxfXtx则，若dtektxktxFftj2)()(证：)(1)(1)()(2kfXkudeuxkktxFukfj3 3 时间尺度改

36、变特性时间尺度改变特性1k1k1字字/1秒秒2字字/1秒秒1字字/2秒秒3 3 时间尺度改变特性时间尺度改变特性时间尺度压缩：时间尺度扩展：1k1k相当于磁带的快放，这时信号的频带加宽，幅值压低，虽然提高了处理信号的效率，但对仪器设备的要求较高；相当于磁带的慢放，这时信号的频带变窄，幅值增高，对仪器设备的要求可以降低，但处理信号的效率也随之降低。4 4 时移频移特性时移频移特性 即把时域函数沿时间轴平移一个常数即把时域函数沿时间轴平移一个常数值值 ，则使其在频域内相应地引起相角改，则使其在频域内相应地引起相角改变量为变量为020)()()()(ftjefXttxfXtx则，若时移特性：0t02

37、 ft4 4 时移频移特性时移频移特性 即把频域函数沿频率轴平移一个常数即把频域函数沿频率轴平移一个常数值值 ，则使其在时域内时域信号为原信号，则使其在时域内时域信号为原信号乘以相应的因子乘以相应的因子tfjetxffXfXtx020)()()()(则，若频移特性：0ftfje024 4 时移频移特性时移频移特性020)()()()(ftjefXttxfXtx则，若时移特性：tfjetxffXfXtx020)()()()(则，若频移特性：5 5 卷积特性卷积特性(1)(1)卷积的定义卷积的定义(2)(2)卷积的物理意义及作用卷积的物理意义及作用(3)(3)卷积特性卷积特性(1)(1)卷积的定义

38、卷积的定义)(1tx对于任意两个函数 和 ，定义)(2txdtxx )()(21为函数 和 的卷积。记作：)(2tx)(1tx)(1tx)(2tx5 5 卷积特性卷积特性(2)(2)卷积的物理意义及作用卷积的物理意义及作用5 5 卷积特性卷积特性已知一个线性系统，初始条件为零 若已知系统的单位脉冲响应为 ，当输入为任意 时，则其输出响应为：)(tx)0)(, 0(tyt)(th)(*)()()()(0thtxdthxtyt)()()(1fHfXFty可记为：)(tg)(t)(tx)(th)(ty(a)可利用卷积定义，在传递函数未知的情况下，求解系统的输出。(b)可求解系统的传递函数。)(tg)

39、(t)(tx)(th)(ty)(*)()()()(0thtxdthxtyt5 5 卷积特性卷积特性时域卷积特性可解释为：时间域两信号卷积等于各自频谱函数乘积的傅里叶逆变换。(3)(3)卷积特性卷积特性)()()()()()()()()()(),()(212121212211txtxfXfXfXfXtxtxfXtxfXtx则：若频域卷积特性频域卷积特性时域卷积特性时域卷积特性)()()()(2121fXfXtxtxF可写为：5 5 卷积特性卷积特性卷积满足下面定律：)()()()()(1221txtxtxtxa交换律：5 5 卷积特性卷积特性)()()()()()()(321321txtxtxt

40、xtxtxb结合律：)()()()()()()()(3121321txtxtxtxtxtxtxc分配律： 一般情况下，卷积积分利用直接积分的方法计算是有困难的，但可利用卷积特性，将时间域中两时间函数的卷积运算转换成频率域中相应两频率函数的乘积运算。 因此，也可以说卷积是联系时域因此，也可以说卷积是联系时域和频域分析的桥梁。和频域分析的桥梁。5 5 卷积特性卷积特性三三 典型信号的频域描述典型信号的频域描述1.矩形窗函数的频谱2.单位脉冲函数的频谱3.正余弦函数的频谱密度函数三三 典型信号的频域描述典型信号的频域描述1.矩形窗函数的频谱三三 典型信号的频域描述典型信号的频域描述1.矩形窗函数的频

41、谱 对于延续时间是无限长的信号，不可能对整个信号进行记录和处理，所以需要截断，即只记录其中有限时间长的一段。截断就是将无限长的信号乘以有限宽的窗函数。)(*)()()(fWfXtwtx所得频谱是原信号频谱函数和采样函所得频谱是原信号频谱函数和采样函数的卷积。数的卷积。三三 典型信号的频域描述典型信号的频域描述2.单位脉冲函数的频谱(1) 函数的定义(2) 函数的采样性质(3) 函数与其他函数的卷积(4) 函数的频谱2 2 单位脉冲函数的频谱单位脉冲函数的频谱(1) 函数的定义 函数用来描述瞬间取得最大值的物理量，工程定义为：1)(0, 00,)(dttttt且式中积分为1，表示 函数所包围的面

42、积为1，也是单位脉冲函数中“单位”的含义。2 2 单位脉冲函数的频谱单位脉冲函数的频谱 单位脉冲函数也可以理解为：在单位脉冲函数也可以理解为：在 时间内激发一个矩形脉冲时间内激发一个矩形脉冲 ，其面，其面积为积为1 1，当，当 时，时， 的极限称为的极限称为 函数，记为函数，记为 。)(tS)(t)(tS01)(lim)()(02, 02,1)(0dttSttStttS，且时，当2 2 单位脉冲函数的频谱单位脉冲函数的频谱(2) 函数的采样性质dtttf)()(dttttf)()(0dttf)()0()0(fdttttf)()(00)(0tf2 2 单位脉冲函数的频谱单位脉冲函数的频谱(3)

43、函数与其他函数的卷积)(*)(ttx)(txdtx)()(dtx)()( 在卷积运算的两个函数中，有一个函数为 函数，则它们的卷积是一种最简单的卷积积分。2 2 单位脉冲函数的频谱单位脉冲函数的频谱)(0ttxdttx)()(0)(*)(0tttxdttx)()(02 2 单位脉冲函数的频谱单位脉冲函数的频谱(4) 函数的频谱对 函数进行傅里叶变换得：dtetfftj2)()(10 e即：1)()(ft 函数具有频域内无限宽广的频谱，而且在所有频段上都是等强度的，这种频谱称为均匀谱。2 2 单位脉冲函数的频谱单位脉冲函数的频谱 函数具有频域内无限宽广的频谱，而且在所有频段上都是等强度的，这种频谱称为均匀谱。2 2 单位脉冲函数的频谱单位脉冲函数的频谱 单位脉冲函数的频谱等幅性