二次函数的竞赛题型及其解题策略

1、学习好资料欢迎下载二次函数的竞赛题型及其解题策略二次函数是初中数学的重要内容，由于它题材丰富，又易成为多种数学思想 方法的载体，因此，深受各级各类竞赛命题者的亲睐，成为近几年各地竞赛的热 点问题之一本文拟对二次函数的竞赛题型及其解题策略作粗略概括，仅供大家一、二次函数的系数 a b、c 及相关代数式的取值问题抛物线 y=ax2+bx+c 中二次项系数 a 描述抛物线的开口，a0 向上，a0 时交点处 x 轴上方，c0.设抛物线与 x 轴的 两个交点的横坐标分别为 X1，X2，即卩 X1、X2为方程 ax2+bx+c=0 的两个根，由题设cbX1X2VO 知c0,所以 c0,故 b0.故选(A)

2、.a2a二、二次函数与整数问题二次函数与整数问题的联姻主要表现在系数a、b、c 为整数、整点以及某范围内的参数的整数值等.解题时往往要用到一些整数的分析方法.例 2 已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的系数 a、b、c 都是整数，并且f (19)= f (99)=1999，|c|1000，则 c=_.解：由已知 f (x)=ax +bx+c，且 f(19)=f (99)=1999，因此可设 f (x)=a(x 19)( x学习好资料欢迎下载99)+1999，所以 ax2+bx+c=a(x 19)( x 99)+19992=ax(19+99) x+19X99a+1999,故 c=1999

3、+1881a.因为|c|1000, a是整数， a0,经检验， 只有 a= 1 满足， 此时 c=1999 1881=118.例 3 已知 a, b, c 是正整数，且抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴有两个不同的交 点 A, B,若 A、B 到原点的距离都小于 1, 求 a+b+c 的最小值.解：设 A、B 的坐标分别为 A(X1, 0) , B(X2, 0)，且 X1x2，则 X1, X2是方程2ax +bx+c=0 的两个根.% +x2=-0,a. X10, X20,又由题设可知二 b2 4ac0,. b2、.ac.|OA|=| X1|1 , |OB|=| X2|1，即一 1X1,

4、 X20,c一 =X1X21,. c0,.a( 1)2+b( 1)+c0,即卩 a+cb.tb, a+c 都是整数，.a+cb+1iliJry由，得 a+c2/ac+1,.(a c) 1,又由知,a- c1,a八c+1, 即 a(Jc+1)1+1) =4/. a5,又 b2ac25 14,.b5取 a=5, b=5, c=1 时，抛物线 y=5x2+5x+1 满足题意.故 a+b+c 的最小值为 5+5+1=11三、二次函数的图象与面积问题求抛物线的顶点、两坐标轴的交点以及抛物线与其它图象的交点等点所构成学习好资料欢迎下载的面积，关键是用含系数 a、b、c 的代数式表示出点的坐标或线段长，使面

5、积问学习好资料欢迎下载题与系数 a、b、c 建立联系.例 4 如果 y=x2(k- 1)x k- 1 与 x 轴的交点为 A,B,顶点为 C,那么 ABC 的面积的最小值是()A 1 B、2 C 、3 D 、4解： 由于厶=(k1)2+4(k+1)=(k+1)2+40,所以对于任意实数 k,抛物线与 x 轴总有两个交点，设两交点的横坐标分别为Xi, X2，贝 U：|AB|=.(捲-x2)2二(xx2)2- 4x2 =. k22k 5k1k2+2k+5又抛物线的顶点 C 坐标是(一,-),24因为 k2+2k+5=(k+1)2+44, 当 k= 1 时等于成立，1 -所以，SABC屮 43=1，

6、故选 A.8四、二次函数的最值问题定义域是闭区间时，二次函数存在两个最值(最大值和最小值).如果顶点横坐标在区间内，则在顶点处与距顶点较远的端点处各取一个最值；如果顶点横坐 标不在区间内，则在区间两端点处各取一个最值.定义域是开区间时，二次函数 只有其顶点横坐标在区间内的才在顶点处取得一个最值，否则不存在最值.例 5 已知二次函数 y=x2 x 2 及实数 a 2 .求：y(1) 函数在一 2x a 的最小值；(2) 函数在 ax a+2 的最小值.解：函数 y=x2x 2 的图象如图 1 所示1(1)若一 2a ，当 x= 时，y最小值=224132(2)若一 2a 且 a+2丄，即一 2a

7、-，当 x=a+2 时，y最小值=(a+2) (a+2)222=a2+3a，若a- a+2,即一3 a ，当 x=a 时， y最小值=a a 2.2例 6 当| x+1|W6时，函数 y=x| x| 2x+1 的最大值是_ .解：由 |x+1| 6，得一 7 x5，当 OWx5时，y=x2 2x+1=(x 1)2，此时2y最大值=(5 1)2=16.22当一 7 xvO, y=x 2x+1=2- (x+1)，此时 y最大值=2.因此，当一 7x5时，y 的最大值是一 16.说明：对于含有绝对值的二次函数，通常是先分区间讨论，去掉绝对值符号，求出各区间的最值，然后通过比较得出整个区间函数的最值.

8、五、二次函数及其图像的应用.有些方程及不等式等有关问题，直接求解十分困难，若能构造二次函数关系，借助函数图像使之形象化，直观化，以形助数，会简化求解过程.例 7 当 a 取遍 0 到 5 的所有实数时，满足 3b=a(3 a 8)的整数 b 有几个？28 解：由 3b=a(3a 8)有 b=a a，即卩3b=(a4)2-6，因为，当 a=0 时，b=0 时；当 a=5 时，b=11?393162利用二次函数图象可知一 一 b 11293所以 b 可取到的整数值为1, 0，1，11,共有 13 个.图2学习好资料欢迎下载cb因为 XiX2= 0,不妨设 X1VX2,贝UXi0X2,对称轴 x=0

9、,且 x=-时 y0.答案：574)5、已知函数 y=(a+2)x2 2(a2 1)x+1,其中自变量 x 为正整数，a 也是正整 数，IXl|=-bb2-4ac2ab -、b2-4ac2a故壬丄 c=bb2-4acb2-4ac4a2a2a2ab2因此，b2 4ac 的最小值为 4.练习题：1、已知二次函数 y=ax2+bx+c 图像如图 3 所示，并设M=|a+b+q | a-b+c|+|2 a+b| 12 a b|，贝 U()AM0B、M=0C M0D、不能确定 M 为正、为负或为 02、已知二次函数 y=ax2+bx+c(其中 a 是正整数)的图象经过点 A( 1,4)与点(答案：C)B(2, 1)，且与 x 轴有两个不同的示点，则 b+c 的最大值为_57学习好资料欢迎下载求 x 为何值时，函数值最小.学习好资料欢迎下载1,当 a=1 时，（答案：xa-，当14W,（其中 a 为正整数），函数值最小. 2 或 3,当 a =4 时,a1,当 a a4