五年级上册数学试题-第十四届中环杯五年级决赛全国通用PDF含答案

1、第十四届中环杯五年级决赛、填空题(每小题 5 分，共 50 分)1.计算:12 2仆沙73+1.09X29rX(3-1 )=【分析】原式 =11X1.09X73+1.09X11X27+4=11X1.09X100+4=1199+4=12032. 420X814X1616 除以 13 的余数为 _【分析】420X814X1616 三 4X8X4 三 128 三 11(mod13)3. 五年级有甲乙两班，甲班学生人数是乙班学生人数的5/7,如果从乙班调 3 人去甲班，甲班学生人数就是乙班学生人数的4/5,甲班原有学生_人【分析】原来人数比为甲：乙 =5: 7=15: 21，人数调整后人数比为甲：乙

2、=4 : 5=16 : 20 ,前后 两次总人数不变，因此将总人数变为(5+7),(4+5)=36 份，比例调整如上，发现人数调整为 1 份，因此 1 份为 3 人，所以甲班原有学生 15X3=45 人。4.已知 990X991X992X993=966428 A91B40，则AB=_【分析】由于 99 丨 990，所以 99 丨966428A91B40所以 99 丨 96+64+28+A9+1B+40 宀 99 丨AB+247 宀 AB=505.如图， ABC 面积为 60, E、F 分别为 AB 和 AC 上的点，满足 AB=3AE , AC=3AF，点D 是线段 BC 上的动点，设 FBD

3、 的面积为 S1, EDC 的面积为 S2，则 3XS?的最大值为、2所以SEBD= SFBD=S1TS1+S2=SEBC= SABC=403和一定时，差越小，积越大，所以当 0 =S2时，即 D 为中点时，S1XS2最大为 20X20=400AE AFAB AC二1，所以 EF / BC3【分析】由于B6如图，在每个方框中填入一个数字，使得乘法竖式成立，则这个算式乘积的最大值和最 小值的之差为_ . 汉2口Qo iQnnaan【分析】易得，乘数中下方数的十位为1，因为十位数字乘上面的数得到的积为三位数，为百位上的 2 乘上面的数得到的积为四位数。由于1 乘上面的数得到的积十位为 1，因此上面

4、数的十位也为 1。由于百位上的 2 乘以上面的数得到的个位为 4，所以上面的数个位为 2 或7。先考虑乘积的最大值，要使乘积大，则两个乘数要大。考虑上面的数百位为9，经枚举，无论个位是几，917、912 均无法乘出百位为 0 的乘积。所以考虑上面的数百位为 8，则下面为 5 符合要求。所以乘积最大为 817X215=175655。再考虑乘积的最小值，要使乘积小，则两个乘数要小，考虑上面的数百位最小为5,否则乘以 2 无法得到四位数，则下面为 2 符合要求，所以乘积最小为 512X212=108544所以乘积的最大值与最小值之差为 175655-108544=671117.有 15 位选手参加一

5、个围棋锦标赛，每两个人之间需要比赛一场，赢一场得2 分，平一场各得 1 分，输一场得 0 分，如果一位选手的得分不少于20 分，他就能获得一份奖品，那么，最多有_位选手获得奖品。【分析】比赛结束后，15 位选手总得分为 G：X2=210 分，210 - 20=1010所以理论上最多有 10 名选手得分能不低于 20 分若有 10 位选手获得奖品，则剩余 5 名选手得分不能大于 10 分而事实上，这 5 名选手之间共比赛 10 场，总共能产生 20 分所以这 5 名选手的得分不会少于 20 分，矛盾所以 10 位选手获得奖品的情况不存在考虑 9 名选手获得奖品，则剩余 6 名选手得分不能大于 3

6、0 分这是可行的，前 9 名选手两两之间都和棋，各得 8 分，这 9 名选手均战胜剩余 6 名选手，各 得 12 分，则这 9 名选手均得 20 分，而剩余 6 名选手每人已负 9 场，得分不能大于 10 分。 综上，最多有 9 位选手能获得奖品。8.在一场 1000 米的比赛中，一个沙漏以相同的速率在漏沙了，漏出来的沙子都掉入一个杯中（这个沙漏是在比赛进行了一段时间后才开始漏沙的），小明以匀速进行跑动，当他跑到200 米的时候，第 a 颗沙子正好掉入杯中，当他跑到300米的时候， 第be颗沙子正好掉入 杯中，当他跑到 400 米的时候，第de颗沙子正好掉入杯中，当他跑到 500 米的时候，第

7、fg颗 沙子正好掉入杯中（a、b、c、d、e、f、g 都是 0-9 的数字，并且它们的值可以相等），我们发 现：（1）a 是 2的倍数，（2）bc是一个质数；（3）di是 5 的倍数；（4）而是 3 的倍数，那么四位数debc=_（如果有多个解，需要将多个解都写在横线上）。【分析】由沙漏匀速漏沙子，可知fg-de=de-bc=bc-a所以，不妨设bc=a+k，de=a+2k ，fg=a+3k ,由 3 丨fg- 3 丨 a+3k3 丨 a,又 a 是 2 的倍数，所以 a 是 2、3 的公倍数所以 a=0 或 6若 a=0,则由 5 丨de 5 丨 a+2k 5 丨 k ,即卩 5 丨bc，与

8、bc是个质数矛盾故 a=6由bc=6+k k4,由fg=6+3k k 31由 5 丨矗5 丨 6+ 2k k 的个位为 2 或 7而bc=6+k 是个质数，所以 k 为奇数，且不能是 3 的倍数于是 k 的个位为 7,且在 431 之间，且不能是 3 的倍数所以，k 的取值可能有 7、17当 k=7 时，a=6,bc=13,de=20,fg=27，符合要求，此时debc=2013当 k=17 时，a=6,bc=23 ,de=40 ,fg=57，符合要求，此时debc=4023综上，debc=2013 或 40239.如图 a,7 个汉字写在图中的 7 个圆圈中，要求从某一个圆圈开始， 沿着线段

9、一笔画这个图形（所有圆圈都要走到，而且只能走一次），将这个一笔画路径上的字连成字串（如图 b,从“中”开始一笔画，得到的字串为“中环难杯真的好”）。那么能够组成的不同字串有 _个。【分析】从中出发，组成的字串有：从中到难后，有 2 条：中难环杯真的好，中难好的真杯环从中到环，有 8 条：中环难杯真的好，中环难好的真杯，中环杯难真的好，中环杯难好的真， 中环杯真难好的，中环杯真难的好，中环杯真的难好，中环杯真的好难所以，从中到好，也有 8 条因此从中开始的路线有 18 条因此，从环、杯、真、的、好、难开始的路线也有18 条从难开始，第一步有 6 种选择，以后有顺时针、逆时针2 种选择，所以，从南

10、开始的字串有12 条综上，共有 18X6+12=120 条不同的字串DF 110.如图两个正方形 ABEG,GECD，点 H 是 GE 中点，连结 DH、CH、AF、BF ,DC 3正方形 ABEG 的面积为 m 平方厘米，阴影部分的面积为n 平方厘米，已知 m、n 都是正整数，且 m 有 9 个约数，则正方形 ABEG 的边长为_ 厘米。【分析】如下图，连结 HF不妨设两个正方形的边长为 a112由已知，GH=HE= a, DF= a, FC= a,JB233因为 GM / DF，所以如=朋=丄=GM =-aDF AD 26所以 MH=GH-GM=1a3二、动手动脑题（每小题 10 分，共

11、50 分，除第 15 题外请给出详细解题步骤）11.两人同时从 AB 两地出发，相向而行，甲每小时行 12.5 千米，乙每小时行 10 千米，甲 行 30 分钟，到达恒生银行门口，想起来自己的信用卡没有带， 所以他原速返回 A 地去拿卡， 找到卡后，甲又用元素返往 B 地，结果当乙达到 A 地时，甲还需要 15 分钟到达 B 地，那 么 A、B 间的距离是多少厘米？【分析】甲花了半小时到达恒生银行门口，又原速返回，所以回到A 地时，又用了半个小时，再加上找卡的半小时，当甲再次出发时，乙已经走了1.5 小时假设乙从 B 地到 A 地共用时 t+1.5 小时1则甲从 A 地到 B 地需用 t 小时

12、加 15 分钟，即 t+ 小时4可列得方程:HI MH由沙漏，1=HI = IDID DF1SHIFSHDF2所以1 1sSHDC2 3SGECD21m12因为所以由沙EN BEEN / CF,所以CF BC1NH=EH-EN= a6HJ HNJC CFHJ=1JC4所以SHJF所以n二SHCF51 1 m m二12151 212SHDC5 33m201 21cSGECD5321m15因为 m,n 均为正整数，所以 m 为 20 的倍数，即 m 含有质因子数，所以 m=22x52=100所以正方形 ABEG 的边长为 10 厘米。2、5，又 m 有 9 个约B10(t+ 1.5)=12.5X(

13、t+)419解得 t=194191所以 A、B 间的距离为 12.5X(+ _ ) =62.5 千米。12.如果一个数的奇约数个数有442m个（m 为自然数），则我们称这样的数为“中环数”，比如3 的奇约数有 1,3, 一共 2=21,所以 3 是一个“中环数”。再比如 21 的奇约数有 1,3,7,21,4=22, 所以21 也是一个中环数。我们希望能找到n 个连续的中环数。求n 的最大值。【分析】将一个数分解质因数，得到N np；1p；2 p：n，则这个数约数的个数为 1心2仃ian- 1而事实上，一个数的奇约数个数也可以用类似的求法由于乘法中遇偶得偶，所以将一个奇数分解质因数，那么得到的

14、质因子均为奇数所以将一个数分解质因数，得到N=2：P；2 p：n（a1可以为 0）则 N 的奇约数个数为a21a3 1产：an-1现在我们要写出连续的 n 个数，使得每个数均有a2- 1a1 an1=2m首先证明 nW17观察如下三个数：32k,32k 1,32k 2易知，k , k+1 , k+2 中有且仅有 1 个是 3 的倍数所以32k,32k 1,32k 2这三个数中，有两个数分解质因数的形式为：N =2；32p；1 p：n（a。可以为 0）形如这样的数，奇约数个数为3 a1:；an 1不可能是 2 的幕，即不符合要求22工2J因此3 k,3 k 1,3 k 2这三个数中至少有 2 个

15、不符合要求 即连续 3 个 9 的倍数中，至少有 2 个数不是“中环数”若 n18，易知，其中必有 2 个 9 的倍数，其中必有 1 个不是中环数因此，nW17而 127、128、129、130、131、132、133、134、135、136、137、13 8、139、140、141、142、143 这 17 个数的奇约数个数分别有：2、1、4、4、2、4、4、2、&2、2、4、2、4、4、2、4,均为“中环数”因此 n 的最大值为 1713.下左图是一个奇怪的黑箱子，这个额黑箱子有一个输入口，一个输出口，我们在输入口输入一个数字，那么在输出口就会产生一个数字结果，其遵循的规则是： 数 k输出

16、的是，4k+1(2)如果输入的是偶数 k,输出的是，k- 2比如输入的是数字 8,那么输出的就是 8-2=2，输入的是数字 3，那么输出的就是 3x4+1=13. 现在将 3个这样的黑箱子串联起来，如下右图，这样第一个黑箱子的输出成为第二个黑箱子 的输入，依次类推，比如输入的数字16,经过第一个黑箱子，得到的结果是8，这个 8 就作为第二个黑箱子的输入，经过第二个黑箱子，得到结果4，这个 4 就作为第三个黑箱子的输入，经过第三个黑箱子， 得到结果 2,这个 2 结果就是最后的输出了。我们可以用168T4T2 来表示这样的过程。现在，美羊羊，喜羊羊，懒羊羊，羊爸爸在这个串联的黑箱子输入串输入不同

17、的正整数，其 中羊爸爸输入的数字最大，得到的 4 个最终输出结果竟然是相同的，当这个输出结果最小时, 求：羊爸爸的输入值是多少？【分析】不妨设输入的四个数字为avbvcvd由于最后输出的结果相同，不妨设这个结果为m个偶数 数，奇工偶，所以最后输入的结果也一定是个偶数，为依次类推，四个人输入的数就都为8m,与输入的正整数均不同矛盾所以 m 是一个奇数 那么前一步有 2 种选择：2m, 匹14若前一步为 2m，则由 2m 是一个偶数，可知这串过程一定为:8mT4mT2mTmm -1接下来考察的奇偶性4同理，若11为偶数，则这串过程只能为4m -1m -1m-1T TTm24这样就只有 2 种输入值

18、，所以也为奇数4接下来考察归5的奇偶性16同理，归5为奇数16因此，四串过程分别为：8mT4m 2m 宀 m(1)如果输入的是奇右 m 是因为 4k+1 是奇2m与输入的正整数均不同矛盾那么前一步有 2 种选择:m -1m T “14m5416匚口Z Zm-1T TTm24m 5m 5 m -1TTTm8164m-21m-5 m1TTTm64164由于这些数均为正整数，所以64 丨 m-21，且归21为奇数64要使 m 最小，则比：2! =1= m =8564此时，输入的四个数字分别为：680、84、10、1因此，羊爸爸输入的值为 68014.如图，如果我们将很多边长为 1 的正方形放入等腰

19、ABC 中，BC 边上的高为 AH，AB 和 BC 的长度都是正整数，要求所有小正方形都有两条边与BC 平行（如图所示），先放最下面一层，从两边往中间放（最靠边的小正方形的一个顶点正好在三角形的边上），直到中间的空隙放不下一个小正方形为止， 然后放倒数第二层， 同样从两边往中间放， 直到中间的 空隙放不下一个小正方形为止， 依次类推，不断地往上面叠放小正方形， 点到无法往上叠为BC止，我们发现，每层的中间都没产生空隙，而且 8,最后整个厶 ABC 内一共放了 330AH个小正方形，求 BC 长度的最大值。BC【分析】不妨设 BC 的长度为 a,设 =2k （k 4）AH则BH=kAH BEBH如下图，由于 DE / AH，所以k= BE二kDE AH则最下面小正方形能使用的长度为a-2k，最下面一层小正方形的个数为a-2k这意味着第二层下底总长度为a-2k，同理可得第二层小正方形能使用的长度为a-4k，小正方形的个数为a-4k依次类推，以后每层小正方形的个数依次为a-6k , a-8k，m-1 m-1要使 BC 最长，那么最低下一层放的小正方形的个数一定最多所以，此时层数一定最少 而要使层数少，则 AH 要短BC而 330所以，应有 9 层由于有 9 层，所以 AH AH=