江西省南昌市高一下学期期末数学试题(解析版)

1、江西省南昌市高一下学期期末数学试题、单选题2 12,心一，1 .数列 2,1, -,-, L的一个通项公式为（）3 25n 1 2n nAan( 1) n& 4(1)心D. an(1)n 1c 2C. an ( 1)n- n【答案】C【解析】利用特殊值，将n 1代入四个选项即可排除错误选项【详解】， 一 ， 八 ，1，1将n 1代入四个选项，可得A中ai2,B中a1 ,D中a1-,33只有C中a12,所以排除ABD选项故选：C【点睛】本题考查了根据几个项选择数列的通项公式，特殊值法是解决此类问题的简单方法，属于 基础题.2 一 一一 .一. x2 一 一一2,已知集合 A x|x -2

2、x 3 0,集合 Bx| 0,则 AI B()x 3A. 1,3B, 2,3【答案】D【解析】解一元二次不等式与分式不等式即可得解.【详解】集合Ax|x2 -2x 3 0 ,集合B解不等式可得A x | T x 3 , B由交集运算可得AI B x| -1 x 3C. 2,3D, 2,3，可分别得集合A与集合B,由集合交集的运算,x 2x| 0x 3x|2 x 3I x|2 x 3x|2 x 3即 AI B 2,3故选：D【点睛】本题考查了一元二次不等式与分式不等式的解法，集合交集的简单运算，属于基础题.3.执行下图所示的程序框图，若输出的y 0,则输入的*为（）第29页共18页A. 0B.1

3、C. 0 或 1口.0或3【答案】C【解析】根据程序框图，分两种情况讨论，即可求得对应的x的值.【详解】当输出结果为y 0时.当x 0,则y xex 0,解得x 0ln x 一当x 0,则y 0，解得x= 1x综上可知，输入的x 0或x= 1故选:C【点睛】本题考查了程序框图的简单应用,指数方程与对数方程的解法，属于基础题4 .在VABC中，cosA J , BC J3 ,则VABC的外接圆半径为（）A. 1B . 2C. 73D . 2>/3【解析】由同角三角函数关系式，先求得sin A.再结合正弦定理即可求得ABC的外接圆半径.1 ABC 中，cosA 一sin A 1cos2 A2

4、由同角三角函数关系式可得 2R由正弦te理可得sin A . 3T所以R 1,即ABC的外接圆半径为故选:A【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的应用1，正弦定理求三角形外接圆半径，属于基础题.25 .若各项为正数的等差数列an的前n项和为Sn,且a2 a6 a40,则S ()A. 9B . 14C. 7D . 18【答案】B【解析】根据等差中项定义及条件式，先求得a4.再由等差数列的求和公式，即可求得S7的值.【详解】数列an为各项是正数的等差数列 则由等差中项可知 a2 a6 2a4所以原式可化为a4 2a40,所以a4 2由等差数列求和公式可得 s7 7 a1 a7Ja47227a4 1

5、4故选:B【点睛】本题考查了等差中项的性质，等差数列前n项和的性质及应用，属于基础题.6 .在锐角 VABC 中，若 sin A 2,b2,c3,则 a ()3A. V3B . 2V2C. 2屈D .而【答案】D【解析】由同角三角函数关系式，先求得cosA,再由余弦定理即可求得 a的值.【详解】 因为 ABC为锐角三角形，sinA 3由同角三角函数关系式可得c0SA J1 号又因为b 2,c 3由余弦定理可得a2b22bccosA代入可得a2 4 9 2所以a,5故选：D本题考查了同角三角函数关系式应用，余弦定理求三角形的边，属于基础题.“割之弥细，所失弥少，割7 .中国数学家刘微在九章算术注

6、中提出“割圆”之说:之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣.”意思是“圆内接正多边形的边.如图,A 3.343.3【解析】 设出圆的半径，表示出圆的面积和圆内接正六边形的面积，即可由几何概型概率计算公式得解.设圆的半径为r则圆的面积为时圆内接正六边形的面积为S六=6二3 r24由几何概型概率可知，在圆内任取一点，则此点取自其内接正六边形的边界及其内部的概率为pr2数无限增加的时候，它的周长的极限是圆的周长，它的面积的极限是圆的面积” 若在圆内任取一点，则此点取自其内接正六边形的边界及其内部的概率为（故选:C【点睛】本题考查了圆的面积及圆内接正六边形的面积求法，几何概型概率的计算公式，属

7、于基础题.8 .已知等比数列 an的前n项和为Sn,若S3 A, S B,& 6则（）A. A+C = 2B B. AC B2C. A C B B22_2_D. A B A（B C）【答案】D【解析】根据等比数列前n项和的性质可知 A、B A、C B成等比数列，即可得关于A,B,C的等式，化简即可得解.【详解】等比数列an的前n项和为Sn,若S3 A , 0 B , S9 C根据等比数列前n项和性质可知，A、B A、C B满足：2B A A C B22化简可得A2 B2 A（B C）故选：D【点睛】本题考查了等比数列前 n项和的性质及简单应用，属于基础题.9 . 一实体店主对某种产品的

8、日销售量（单位：件）进行为期n天的数据统计，得到如下统计图，则下列说法错误的是（)B.A. n 30中位数为17C.众数为17D.日销售量不低于18的频率为0.5,算得销量不低于18件的天数，即可求【答案】B【解析】由统计图，可计算出总数、中位数、众数 得频率.【详解】 由统计图可知，总数n 3 4 8 7 4 4 30,所以A正确；从统计图可以看出，从小到大排列时，中间两天的销售量的平均值为17 18 17.5，所以2B错误；从统计图可以看出，销量最高的为17件，所以C正确；从统计图可知，销量不低于18的天数为7 4 4 15,所以频率为 " 1,所以D正确.30 2综上可知，错误

9、的为B故选：B【点睛】本题考查了统计中的总数、中位数、众数和频率的相关概念和性质，属于基础题.一.1 10 .已知b 1则（）aA. log a 2 logb2 B. 2a 2b 4 C. ab 1D. a b 2【答案】B【解析】根据条件式，判断出0 a 1,b 1,且ab 1.由不等式性质、基本不等式性质 或特殊值即可判断选项.【详解】,1 ,因为b 1 a所以可得0 a 1,b 1,且ab 1对于A,由对数函数的图像与性质可知，loga 2 0,log b 2 0，所以A错误；对于B,由基本不等式可知 2a 2b 242a 2b，即2a 2b 242T由于b 1 1,则2a 2b 2石7

10、& 2j2a! 2/224,所以B正确;对于C,由条件可得ab 1,所以C错误；1对于D,当a -,b 3时满足条件，但a b 2,所以D错误. 2综上可知,B为正确选项故选:B【点睛】本题考查了不等式性质的综合应用，根据基本不等式求最值，属于基础题.11 .张丘建算经中如下问题：“今有马行转迟，次日减半，疾五日，行四百六十五 里，问日行几何？”根据此问题写出如下程序框图，若输出 S 465,则输入m的值为5=0mC. 280求和公式根据程序框图，依次循环计算，可得输出的S表达式.结合S 465，由等比数列，即可求得m的值.由程序框图可知，S 0,i 0m,im,i4mm ./,i 4

11、8m .16J此时输出S.所以m 4651616465由等比数列前项和公式可得m1152 4651 12解得m 240故选:A本题考查了循环结构程序框图的应用，等比数列求和的应用，属于中档题.12 .若 a,b R , ab 2a b4,则a b的最小值为（A. 240A. 2B.娓1D. 2 娓 3【答案】D，一_, 广 4 2a_【解析】根据所给等量关系,用a表示出b可得b .代入a b中，构造基本不等a 1式即可求得a b的最小值.【详解】因为 a,b R , ab 2a b 4所以变形可得b4 2a所以a b4 2aa 1由基本不等式可得3 2. a 1613 2、.63当且仅当a 1

12、 6时取等号，解得aa 1、,6 1,b、6 2所以a b的最小值为2，6 3故选:D【点睛】本题考查了基本不等式求最值的应用，注意构造合适的基本不等式形式，属于中档题.二、填空题13 .已知一组数1 , 2, m, 6,7的平均数为4 ,则这组数的方差为5【解析】先根据平均数计算出 m的值，再根据方差的计算公式计算出这组数的方差 【详解】依题意1 2 m 6 74,m 4.所以方差为51.2-22-2_21_261 42 44 46 47 49 4 4 9.555故答案为：一5【点睛】本小题主要考查平均数和方差的有关计算，考查运算求解能力，属于基础题 .14 .如图，在 VABC中，AB 7

13、 , AC 5,点D为BC的中点，设 BADCAD. si 的值为.sin【答案】7【解析】在 ABD和在 ACD中,根据正弦定理，分别表示出BD,CD.由BD CD可得等式，代入已知条件化简即可得解ABD中，由正弦定理可得BDsinsin ADB，则BDAB sinsin ADBCD在 ACD中，由正弦定理可得 sinsin ADC，则CDAC sinsin ADC点D为BC的中点，则BD CD所以ABsinsin ADBAC sinsin ADC因为AB 7, AC5 ,由诱导公式可知sin ADBsin ADC代入上述两式可得 7sin 5sin所以sinsin.5故答案为：57【点睛】

14、 本题考查了正弦定理的简单应用，属于基础题15 .若不等式2ax 2ax 1x的解集为空集，则实数a的能为【解析】根据分式不等式，移项、通分并等价化简，可得一元二次不等式.结合二次函数恒 成立条件，即可求得a的值.将不等式ax一2 x化简可得ax2 x 0ax 1axx 2即二0的解集为空集ax 1一 x 2所以 0对于任意x都恒成立ax 1将不等式等价化为ax 1 x 20即ax2 2a 1 x 2 0恒成立a 0由二次函数性质可知22a 1 4a 2 0化简不等式可得 2a 1 2 0解得a 12,一,1故答案为:-2【点睛】本题考查了分式不等式的解法，将不等式等价化为一元二次不等式，结合

15、二次函数性质解 决恒成立问题，属于中档题.1, n 2k16 .已知数列 an的通项公式为ank k 1 k N ,则该数列的前10252, n 2k,2项的和 S1025 .【答案】2039【解析】根据所给分段函数，依次列举出当k0,10 ,k Z时an的值,即可求得S1025的值.【详解】当 k 0时，n 1 ,a11当 k 1 时，a21,a32,共 1 个 2.当 k 2时，a4 1,a5%a72,共 3 个 2.当 k 3时，出 1,a9a10a152,共 7 个 2.当 k 4 时，叫61,ai7 48a3i2,共 15 个 2.当 k 5 时，a321 , a33 a34%32,

16、共 31 个 2.当 k 6 时，a641 , a65a66ai272,共 63 个 2.当 k 7时，a128 1, a129 a130a255 2，共 127 个 2.当 k = 8 时，a2561 , a257a258a5112,共 255 个 2.当 k 9 时，a5121 ,a513a514a10232,共 511 个 2.当 k 10 时，a1024 1 , a1025 2 ,共 1 个 2.所以由以上可知 6025 1 11 2 1 3 7 15 31 63 127 255 511 111 2 1014 2039故答案为:2039【点睛】本题考查了分段函数的应用，由所给式子列举出

17、各个项，即可求和，属于中档题.三、解答题17 .已知VABC中，A一,AC 10,点 D 在 AB 上，CD 3AB,并且AD : DB 5:11 .(1)求BC的长度；(2)若点E为AB中点，求CE的长度.【答案】(1) 14；272T【解析】(1)根据所给条件，结合三角函数可先求得 AD .再由AD : DB 5:11即可求得DB ,进而得AB的值.在ABC中由余弦定理即可求得 BC的值.(2)由(1)可知AB 16,而AD : DB 5:11 ,且E为AB中点，可得BE 8, ED 3.在 ADC可由勾股定理求得|CD|2,再在 CDE由勾股定理求得|CE |即可.【详解】(1)由 CD

18、 AB, A , 3一八1可知 |AD| AC | cos-10-5,32又 AD : DB 5:11，可得 DB 11,所以|AB 16.222在 ABC中，由余弦定理可得 BC AB AC 2 AB AC cos A 196,所以BC 14；(2)由(1)可知 |AD 5, DB| 11,又点E为AB中点，可彳导|BE| 8, ED 3, 222在直角 ADC 中，|CD| | AC | | AD | 100 25 75,在直角 CDE 中，|CE|2 |CD |2 |DE|2 75 9 84,所以 |CE| 2.21.【点睛】本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，线段关系及勾股定理求线段

19、长的应用，属于基础题.18 . 2021年广东新高考将实行“3 12”模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共选六科参加高考.其中偏理方向是二选一时选物理，偏文方向是二选一时选历史，对后四科选择没有限定(1)小明随机选课，求他选择偏理方向及生物学科的概率；(2)小明、小吴同时随机选课，约定选择偏理方向及生物学科，求他们选课相同的概率.【答案】(1) 1； (2) 143【解析】(1)利用列举法，列举出偏理方向和偏文方向的所有情况，即可求得小明选择偏理方向且选择了生物学科的概率 .(2)利用列举法，列举出两个人选择偏理方向且带有生物学科的所有可能，即可求得

20、两 人选课相同的概率【详解】（1）由题意知，选六科参加高考有偏理方向：（物，政,地）、（物，政,化）、（物，政,生）、（物, 地,化）、（物，地,生）、（物,化，生）六种选择；偏文方向有：（史，政，地）、（史，政,化）、（史，政，生）、（史，地,化）、（史，地,生）、（史，化, 生）六种选择.由以上可知共有12种选课模式. 31小明选择偏理方向又选择生物的概率为P -.12 4（2）小明选择偏理且有生物学科的可能有：（物，政,生）、（物，地,生）、（物，化，生）三种选择，同样小吴也是三种选择；两人选课模式有：（物，政,生），（物，政，生）卜（物，政,生），（物，地，生卜（物，政，生），（物，化

21、，生）、（物，地，生），（物，政，生）、（物，地,生）, （物，地，生）（物，地，生），（物,化，生）卜（物,化，生），（物，政，生）卜（物，化,生）, （物，地，生）（物，化,生）,（物,化，生）由以上可知共有 9种选课法，两人选课相同有三种，一3 1所以两人选课相同的概率 P.9 3【点睛】本题考查了古典概型概率的求法，利用列举法写出所有可能即可求解，属于基础题.uuir uur19 .在 VABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a,b,c,若 SVABC 3,3 , AB AC 6. （1）求角A的大小；（2）若a J13,求VABC的周长.【答案】(1) 60 ; (2) 7

22、M【解析】（1）根据三角形面积公式，结合平面向量数量积定义，分别表示出bc,联立即可求得tan A,进而得A的值.（2）由a 而，结合余弦定理即可表示出c2 b2,由（1）可得bc.即可联立表示出b c,进而求彳#周长.【详解】（1）因为 Sabc35/3,6、. 3sin A一一 .1 .所以一bcsinA 3J3,则 bc26cos Auur uur而 AB AC 6,可得 bccosA 6,所以 bc6sin A cos Asin A 一化简可得tan A 3cosA所以A 60 ;(2)因为a 。13,所以由余弦定理可得a2 b2 c2 2bccosA 13,即 c2 b2 25,由(

23、1)知 bc 12,则(b c)2 b2 c2 2bc 49,所以 b c 7,所以 ABC的周长为7 斤.【点睛】本题考查了三角形面积公式的应用，余弦定理解三角形，平面向量数量积的定义及应用属于中档题.20 .某专卖店为了对新产品进行合理定价，将该产品按不同的单价试销，调查统计如卜表:售价x （元）45678周销量y （件）9085837973（1）求周销量y （件）关于售价x （元）的线性回归方程 ？ bx a ；（2）按（1）中的线性关系，已知该产品的成本为2元/件，为了确保周利润大于 598元，则该店应该将产品的售价x（ xN）定为多少?参考公式：bnxixyiyi 1n_ 2xixi

24、 1bx参考数据：y82,i 1xi xV40,Xi_ 2x 10106 ； (2) 14 元b .再代入方程即可求得线性回归【解析】（1）由表中数据求得 x, y,结合参考数据可得方程？ bx a.(2)设售价为x元，代入(1)中的回归方程，求得销量.即可求得利润的表达式.由于周利润大于598元，得不等式后，解不等式即可求解.(1)由表可得6,因为y90 85 83 79 7382,由参考数据i 1XiVn40,i 1xi x10,所以代入公式可得贝U a y bx 82 (所以线性回归方程 ?xi xyi yi 1n _ 2xixi 14) 6 106,4x 106；(2)设售价为x元，由

25、(1)知周销量为y40104x4,106,所以利润 W (x 2) ( 4x 106) 598,27解得一 x 15,因为x N ,则x 14 .2所以为了确保周利润大于598元，则该店应该将产品的售价定为14元.本题考查了线性回归方程的求法和简单应用，一元二次不等式的解法，属于基础题.21 .已知数列an的首项百 万，其前n项和为Sn满足Sn 1Snn 2(1)数列 an的通项公式;(2)设 bn2n an,求数列bn的前n项和Tn表达式.an n -； (2) Tn2(2n 3)2n 3【解析】(1)根据等差数列性质，由,n 1Sn为等差数列，结合首项与公差即可求得Sn的表达式，由anSn

26、Sn1即可求得数列的通项公式；（2）代入数列斗的通项公式可得数列0的通项公式.结合错位相减法，即可求得数列bn的前n项和Tn .一，可知2Sn公,是等差数列，其公差d n又a1 万,得-p首项为一,2得Sn n1)2n万，即Sn2时，有anSnSn1(n 1)21 , ai一也满足此通项2，故an(2)由（1）可知，bn2nan(n万）2(2 n 21) 2n所以Tn-12 322223 L(2n3)2n 1(2n 1) 2n可得2Tn21 223 23(2n3) 2n(2n1) 2n 1由两式相减得Tn22 223 L2 2n (2n 1)2n 1整理得Tn(2n3)2n本题考查了等差数列通项公式的求法,anSn Sn 1的应用，错位相减法求数列的前n项和，属于中档题.22 .已知等差数列an的首项为ai,公差为d ,前n项和为Sn ,且满足mSnn ,nSmm,( m n).(1)证明Sm n 4 ;(2)222222sin an3cos an3cos ancos an 3sin an sinan 3sin an 1an 20 ,p3p3pp 3pp 3p 1PM2d 0,1 ,当且仅当n 9时，Sn取得最小值，求首项 a的取值范围.34【答案】(1)证明见解析；(2),23S【解析】(1)根据等差数列的前 n项和公式，变形可证明 : 为等差数列.结合条件SnSm11，