条件概率和全概率公式ppt课件

1、概率论概率论 四、概率的公理化定义四、概率的公理化定义 概率的公理化定义概率的公理化定义 S , 是是它它的的是是随随机机试试验验设设 E , AP , 赋赋予予一一个个实实数数的的每每一一个个事事件件对对于于样样本本空空间间AE : , A件件如果它满足下列三个条如果它满足下列三个条的概率的概率称之为事件称之为事件 ; 0 1 AP 非非负负性性 ; 1 2 SP 规范性规范性 , 321有有对对于于两两两两互互斥斥事事件件AA 2121 APAPAAP 可列可加性可列可加性概率论概率论 2性性质质 , , 21则则两两两两互互斥斥设设有有限限个个事事件件nAAA 1212 . nnP AA

2、AP AP AP A 证证 因因为为1212nnAAAAAA , 1 有有质质所以由可列可加性及性所以由可列可加性及性 1212nnP AAAP AAA 12nP AP AP APP 12 00 nP AP AP A 12 . nP AP AP A 概率论概率论 3 性质性质 , 有有对于任何事件对于任何事件 A . 1APAP 证证 因因为为 , . AAAA 且且 所以所以 PAAP . 1 并并且且 APAPAAP , 由以上两式可得由以上两式可得 1 APAP 即即 . 1APAP 概率论概率论 4 性质性质 , , 则则且且为为两两事事件件、设设BABA BPAPBAP 证证 , ,

3、 所所以以因因为为如如图图BA ABBA B AB 并并且且 BABA , 2 可得可得于是由性质于是由性质 BAPBPAP 也也即即 , BPAPBAP 并并且且 . BPAP , 有有又由概率的非负性又由概率的非负性 0 BPAPBAP 即即 . BPAP 概率论概率论 5 性质性质 , 都有都有对于任一事件对于任一事件 A . 1 AP 证证 , 都有都有因为对于任一事件因为对于任一事件 A A , 4 可可得得故故由由性性质质 . 1 PAP 6 性质性质 , , 则则为任意两个事件为任意两个事件设设BA ABPBPAPBAP 概率论概率论 证证 , 如图所示如图所示 BAABBA A

4、BBA 而而且且 A BAB 所以所以 BAP ABBPAP . ABPBPAP 由此性质还可推得由此性质还可推得 BAP . BPAP : 还可以推广还可以推广而且此结果而且此结果概率论概率论 CBAP ABPCPBPAP ABCPBCPACP DCBAP DPCPBPAP CDPBDPBCPADPACPABP ABCDPACDPBCDPABDPABCP 1 iniAP niiAP1 njijiAAP,1 nkjikjiAAAP,1 nnAAAP 2111概率论概率论 , 41 , 1 APBA且且已已知知为为两两个个随随机机事事件件、设设例例 . , 21ABPBP就下列三种情况求概率就下

5、列三种情况求概率 . 91 3 ; 2 ; 1 ABPBABA互互斥斥与与 解解 , 1所所以以互互斥斥、由由于于BA互互斥斥、 BAAB AB BPABP . 21 BAB 于于是是 所以所以概率论概率论 BABA , 2所所以以因因为为BA ABPABP APBP . 414121 ABP 3 BAABBA ABBP ABPBP . 1879121 概率论概率论 , 41 , 2 CPBPAPCBA且且是是三三事事件件、设设例例 至至少少有有、求求 . 81, 0CBAACPBCPABP . 一个发生的概率一个发生的概率 解解 CBAP ACPABPCPBPAP 08141213 . 85

6、 ABCPBCP 概率论概率论 例3 某城市共发行A、B、C三种报纸.调查阐明,居民家庭中订购C报的占30%,同时订购A、B两报，A、C两报，B、C两报的分别各占10%，8%，5%，三种报纸都订的占3%.今在该城市中任找一户,问(1)该户只订A和B两种报纸的概率是多少?(2)该户只订C报的概率是多少?概率论概率论 第三节第三节 条件概率与全概率公式条件概率与全概率公式条件概率与乘法公式条件概率与乘法公式全概率公式与贝叶斯全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式公式小结小结概率论概率论 在处理许多概率问题时，往往需求在有某在处理许多概率问题时，往往需求在有某些附加信息些附加信息(条件条件)下求事件的

7、概率下求事件的概率.如在事件如在事件B发生的条件下求事件发生的条件下求事件A发生的概率，发生的概率，将此概率记作将此概率记作P(A|B). 普通地普通地 P(A|B) P(A) 概率论概率论 P(A )=1/6，例如，掷一颗均匀骰子，例如，掷一颗均匀骰子，A=掷出掷出2点点， B=掷出偶数点掷出偶数点，P(A|B)=？掷骰子掷骰子 知事件知事件B发生，此时实验一切能够发生，此时实验一切能够 结果构成的集合就是结果构成的集合就是B， P(A|B)= 1/3. B中共有中共有3个元素个元素,它们的出现是等它们的出现是等 能够的能够的,其中只需其中只需1个在集个在集A中中.容易看到容易看到)()(6

8、36131BPABPP(A|B)于是于是例例1 一批产品一批产品100件件70件正品件正品30件次品件次品甲厂消费甲厂消费40件件乙厂消费乙厂消费30件件甲厂消费甲厂消费20件件乙厂消费乙厂消费10件件从中任取从中任取1件件,记记A=“取到正品取到正品,B=“取到甲厂产品取到甲厂产品, 试计算试计算P(A),P(B),P(AB),P(B|A),P(A|B).解解 7 . 010070)(AP6 . 010060)(BP4 . 010040)(ABP747040)|(ABP326040)|(BAP概率论概率论 设设A、B是两个事件，那么称是两个事件，那么称 )0)()()()|( BPBPABP

9、BAP1. 条件概率的定义条件概率的定义为在事件为在事件B发生的条件下发生的条件下,事件事件A的条件概率的条件概率.)0)()()()|( APAPABPABP为在事件为在事件A发生的条件下发生的条件下,事件事件B的条件概率的条件概率.概率论概率论 2. 条件概率的性质条件概率的性质(自行验证自行验证) : | 件件具备概率定义的三个条具备概率定义的三个条条件概率条件概率AP ; 0|, : 1 ABPB对对于于任任意意的的事事件件非非负负性性 ; 1| : 2 AP 规规范范性性 , , : 321则则有有是是两两两两互互斥斥事事件件设设可可列列可可加加性性BB 11iiiiABPABP.质

10、质定定义义及及其其导导出出的的有有关关性性样样满满足足概概率率的的公公理理化化不不难难验验证证，条条件件概概率率同同121212(4)(|)(|)(|)(|)(5)(|)1(|)(6)(|)(|)(|)(|)P AABP ABP ABP A ABP ABP ABP ACBP ACBP ABP ACB概率论概率论 条件概率P(A|B)与积事件概率P(AB)的区别和联络 联络:事件A,B都发生了. 区别: (1)条件概率P(A|B)是在实验E的条件下添加条件B发生后,求此时事件A发生的概率.而积事件P(AB)是在实验E的条件下AB同时发生的概率。 (2)样本空间不同,在P(A|B)中样本空间是缩减

11、样本空间 ; 而P(AB)的样本空间还是 .B概率论概率论 条件概率的计算方法 由定义 ，计算P(B|A). 在事件A 发生的条件下将原样本空间 缩 减为事件A所包含的样本点的集合 ,然后 在缩减的样本空间中计算事件B发生的概率,从 而求得P(B|A). ()(|)( )P ABP B AP AA概率论概率论 例例2 设某种动物由出生算起活到设某种动物由出生算起活到20年以上的概年以上的概率为率为0.8，活到，活到25年以上的概率为年以上的概率为0.4. 问现年问现年20岁的岁的这种动物，它能活到这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？岁以上的概率是多少？解解 设设A=能活能活20年以上年以

12、上，B=能活能活25年以上年以上依题意，依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4所求为所求为 P(B|A) .)()()|(APABPABP5 . 08 . 04 . 0)()(APBP思索：现年思索：现年20岁的这种动物，它不能活岁的这种动物，它不能活25年年 以上的概率呢？以上的概率呢？5 . 05 . 01)|(1)|( ABPABP概率论概率论 例2. 100件产品中有5件次品,现从中接连 任取两件而不放回,求在第一次获得正品的 条件下,第二次获得次品的概率. 概率论概率论 由条件概率的定义：由条件概率的定义：即即 假设假设P(B)0, 那么那么 P(AB)=P(B)P(A|B)

13、 (1)()()|(BPABPBAP假设知假设知P(B), P(A|B)时时, 可以反求可以反求P(AB).即即 假设假设P(A)0 , 那么那么 P(AB)=P(A)P(B|A) (2) (1)和和(2)式都称为乘法公式式都称为乘法公式, 利用利用它们可计算两个事件同时发生的概率它们可计算两个事件同时发生的概率4. 乘法公式乘法公式同样同样, ,由由()(|)()P ABP BAP A可以反求可以反求P (AB)P (AB)概率论概率论 . 个个事事件件的的积积事事件件的的情情况况乘乘法法定定理理可可以以推推广广到到多多 , 0 , 则则且且为为三三个个事事件件、设设 ABPCBA .|AP

14、ABPABCPABCP , 2, , , , 21并且并且个事件个事件设有设有一般地一般地 nAAAnn , , 0121可可得得则则由由条条件件概概率率的的定定义义 nAAAP 2-2111-2121|nnnnnAAAAPAAAAPAAAP 112213|APAAPAAAP 一批产品共有一批产品共有9090件产品，其中有件产品，其中有1010件次品，件次品，其他为正品其他为正品. . 现依次进展不放回抽取三次，求现依次进展不放回抽取三次，求 第三次才取到正品的概率第三次才取到正品的概率. .乘法公式运用举例乘法公式运用举例例例3 3答案答案9791088808999010 某人忘记号码最后一

15、位数字，因此恣意地按最后一个数试求： 1不超越4次能打通的概率2假设知最后一位数字是偶数那么不超越3次能打通的概率是多少？ 乘法公式运用举例乘法公式运用举例例例4 4答案答案53)2(52)1(袋内有 n 个球(n1个白球，1个红球)，n 个人依次从袋中各随机地取一球，并且每人取出一球后 不再放回袋中，试求第 k 人获得红球的概率.乘法公式运用举例乘法公式运用举例例例5 5答案答案.与与抽抽取取的的先先后后次次序序无无关关每每个个人人取取到到红红球球的的概概率率都都相相等等；每每个个人人取取到到红红球球的的概概率率抽签原理抽签原理抓阄问题抓阄问题例例 五个阄五个阄, , 其中两个阄内写着其中两

16、个阄内写着“有有字字, , 三个阄内不写字三个阄内不写字 , , 五人依次抓取五人依次抓取, ,问各人抓到问各人抓到“有字阄的概率能否相有字阄的概率能否相同同? ?解解. 5 , 4 , 3 , 2 , 1 i那么有那么有,52)(1 AP)(2AP抓阄能否与次序有关抓阄能否与次序有关? ,的的事事件件人人抓抓到到有有字字阄阄第第表表示示设设iAi)(2121AAAAP )()(2121AAPAAP 42534152 ,52 )()()()(121121AAPAPAAPAP )(3AP)()()(321321321AAAPAAAPAAAP )()()(213121AAAPAAPAP )()()

17、(213121AAAPAAPAP )()()(213121AAAPAAPAP 324253314253314352 ,52 依此类推依此类推.52)()(54 APAP故抓阄与次序无关故抓阄与次序无关.概率论概率论 例4. 猎人在间隔100米处射击一动物,击中的概率为0.6,假设第一次未击中,那么进展第二次射击.但由于动物逃跑而使间隔变为150米;假设第二次又没击中,那么进展第三次射击,这时间隔变为200米.假定击中的概率与间隔成反比,求猎人最多射击三次的情况下击中动物的概率.概率论概率论 条件概率的概念条件概率的概念概率的乘法公式概率的乘法公式要求：在计算概率时经常运用，需求结实掌握！要求：

18、在计算概率时经常运用，需求结实掌握！概率论概率论 有三个箱子有三个箱子,分别编号为分别编号为1,2,3；1号箱装有号箱装有1个红球个红球4个白球个白球,2号箱装有号箱装有2红红3白球白球 , 3号箱装有号箱装有3 红球红球. 某人从三箱中任取一箱某人从三箱中任取一箱,从中从中恣意摸出一球恣意摸出一球,求获得红球的概率求获得红球的概率.解解 记记 Ai=球取自球取自i号箱号箱, i=1,2,3; B =获得红球获得红球B发生总是伴随着发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生，之一同时发生，123其中其中 A1、A2、A3两两互斥两两互斥看一个例子看一个例子:概率论概率论 将此例中所用的方法推

19、行到普通的情形，就将此例中所用的方法推行到普通的情形，就得到在概率计算中常用的全概率公式得到在概率计算中常用的全概率公式.对求和中的每对求和中的每一项运用乘法一项运用乘法公式得公式得P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)31iiiABPAPBP)()()(代入数据计算得：代入数据计算得：P(B)=8/15运用加法公式得到运用加法公式得到即即 B= A1B+A2B+A3B， 且且 A1B、A2B、A3B 两两互斥两两互斥概率论概率论 1. 样本空间的划分样本空间的划分.,2);, 2 , 1,(,1,21210021的一个划分的一个划分为样本空间为样本空间则称则称若若的一组事件的一

20、组事件为为的样本空间的样本空间为试验为试验设设定义定义 nnjinAAAAAAnjijiAAEAAAE 1AnA1nA2A3A概率论概率论 . , 分分割割成成若若干干个个互互斥斥事事件件的的划划分分是是将将可可见见 : 注意注意 , , , 21为样本空间的一个划分为样本空间的一个划分若若nAAA , , 21中必有且仅有中必有且仅有则对每次试验，事件组则对每次试验，事件组nAAA一个事件发生一个事件发生.1AnA1nA2A3A概率论概率论 1定定理理nAAAE，的样本空间为的样本空间为设试验设试验21, , , 2 , 1 0 , 则则对对且且的的一一个个划划分分为为niAPi , 恒有恒

21、有样本空间中的任一事件样本空间中的任一事件 B niiiABPAPBP1|2. 全概率公式全概率公式 . 全全概概率率公公式式 运用全概率公式的关键在于找出样本空间一个运用全概率公式的关键在于找出样本空间一个 恰当的划分恰当的划分. .阐明阐明 全概率公式的主要用途在于它可以将一个复全概率公式的主要用途在于它可以将一个复 杂事件的概率计算问题杂事件的概率计算问题,分解为假设干个简单事件的概分解为假设干个简单事件的概 率计算问题率计算问题,最后运用概率的可加性求出最终结果最后运用概率的可加性求出最终结果. 概率论概率论 某一事件某一事件B的发生有各种能够的缘由的发生有各种能够的缘由 ，假设，假设

22、B是由缘由是由缘由Ai (i=1,2,n) 所引起，那么所引起，那么B发生的概率发生的概率是是 每一缘由都能够导致每一缘由都能够导致B发生，故发生，故B发发 生的概率是各缘由引起生的概率是各缘由引起B发生概率的总和，发生概率的总和， 即全概率公式即全概率公式.P(BAi)=P(Ai)P( B |Ai )全概率公式全概率公式.我们还可以从另一个角度去了解我们还可以从另一个角度去了解概率论概率论 由此可以笼统地把全概率公式看成为由此可以笼统地把全概率公式看成为“由缘由缘由推结果，每个缘由对结果的发生有一定的由推结果，每个缘由对结果的发生有一定的“作作用，即结果发生的能够性与各种缘由的用，即结果发生

23、的能够性与各种缘由的“作用作用大小有关大小有关. 全概率公式表达了它们之间的关系全概率公式表达了它们之间的关系 .A1A2A3A4A5A6A7A8B诸诸Ai是缘由是缘由B是结果是结果概率论概率论 全概率公式的运用要点1.假设所思索问题的实验分两步,第一步实验结果可确定为样本空间的一个划分,求与第二步实验结果有关的事件的概率,此时可用全概率公式处理.2.用全概率公式的关键是确定样本空间的一个划分,这可以从第一步实验的结果确定.概率论概率论 例例. 有朋自远方来，他坐火车、坐船、坐汽有朋自远方来，他坐火车、坐船、坐汽车、坐飞机来的概率分别是车、坐飞机来的概率分别是0.3，0.2，0.1，0.4.假

24、设坐火车来，迟到的概率是假设坐火车来，迟到的概率是0.25；坐船来，迟到；坐船来，迟到的概率是的概率是0.3；坐汽车来，迟到的概率是；坐汽车来，迟到的概率是0.1；坐飞机来，那么不会迟到。问此人迟到的概率有坐飞机来，那么不会迟到。问此人迟到的概率有多大？多大？概率论概率论 例6：某保险公司以为，人可以分为两类，第一类是容易出事故的，另一类，那么是比较谨慎，保险公司的统计数字阐明，一个容易出事故的人在一年内出一次事故的概率为0.04，而对于比较谨慎的人这个概率为0.02，假设第一类人占总人数的30%，那么一客户在购买保险单后一年内出一次事故的概率为多少？ 概率论概率论 例7 甲箱中有5个正品3个

25、次品,乙箱中有4个正品3个次品,从甲箱中任取3个产品放入乙箱,然后从乙箱中任取一个产品,求这个产品是正品的概率.概率论概率论 例8. 某间房门上锁的概率为0.5,这个门上的钥匙是架子上的12把钥匙中的一把,有人在架子上恣意取2把钥匙去开门.求他能翻开门的概率.概率论概率论 例例9一商店出卖的是某公司三个分厂消费的同型一商店出卖的是某公司三个分厂消费的同型号空调器，而这三个分厂的空调器比例为号空调器，而这三个分厂的空调器比例为3:1:2，它们的不合格品率分别它们的不合格品率分别 ,0.01, 0.12, 0.05 如今某顾客从这批空调器中恣意选购一台如今某顾客从这批空调器中恣意选购一台试求：试求

26、：1 1顾客购到不合格空调器的概率顾客购到不合格空调器的概率; ;2 2假设知顾客购到不合格的空调器，假设知顾客购到不合格的空调器，试问这台空调器是哪一个分厂消费的能够性较大？试问这台空调器是哪一个分厂消费的能够性较大？概率论概率论 该球取自哪号箱的能够性该球取自哪号箱的能够性最大最大? 这一类问题是这一类问题是“知结果求缘由知结果求缘由. 在实践中更在实践中更为常见，它所求的是条件概率，是知某结果发生为常见，它所求的是条件概率，是知某结果发生条件下，探求各缘由发生能够性大小条件下，探求各缘由发生能够性大小. 某人从任一箱中恣意摸某人从任一箱中恣意摸出一球，发现是红球出一球，发现是红球,求该球

27、求该球是取自是取自1号箱的概率号箱的概率.1231红红4白白或者问或者问:看一个例子看一个例子:3. 贝叶斯公式贝叶斯公式概率论概率论 接下来我们引见为处理这类问题而引出的接下来我们引见为处理这类问题而引出的贝叶斯公式贝叶斯公式概率论概率论 有三个箱子，分别编号为有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有号箱装有1个红个红球球4个白球，个白球，2号箱装有号箱装有2红球红球3白球，白球，3号箱装有号箱装有3红红球球. 某人从三箱中任取一箱，从中恣意摸出一球，某人从三箱中任取一箱，从中恣意摸出一球，发现是红球发现是红球,求该球是取自求该球是取自1号箱的概率号箱的概率 .1231红红4白白?概率论

28、概率论 某人从任一箱中恣意摸出一球，某人从任一箱中恣意摸出一球，发现是红球，求该球是取自发现是红球，求该球是取自1号号箱的概率箱的概率. )()()|(11BPBAPBAP记记 Ai=球取自球取自i号箱号箱, i=1,2,3; B =获得红球获得红球求求P(A1|B)3111kkkABPAPABPAP)()()|()(运用全概率公式运用全概率公式计算计算P(B)将这里得到的公式普通化，就得到将这里得到的公式普通化，就得到贝叶斯公式贝叶斯公式1231红红4白白?概率论概率论 niiijjjABPAPABPAPBAP1)()()()()|( 该公式于该公式于1763年由贝叶斯年由贝叶斯 (Baye

29、s) 给出给出. 它是在它是在察看到事件察看到事件B已发生的条件下，寻觅导致已发生的条件下，寻觅导致B发生的每发生的每个缘由的概率个缘由的概率.), 2 , 1(nj 贝贝叶叶斯斯公公式式定定理理2 , , 21为为样样本本空空间间的的设设nAAA , 0 , , 则则恒恒有有且且中中的的任任一一事事件件为为一一个个划划分分 BPB 概率论概率论 贝叶斯公式在实践中有很多运用贝叶斯公式在实践中有很多运用. 它可以协助人们确定某结果事件它可以协助人们确定某结果事件 B发生的最发生的最能够缘由能够缘由.概率论概率论 例例 某一地域患有癌症的人占某一地域患有癌症的人占0.005，患者对一，患者对一种

30、实验反响是阳性的概率为种实验反响是阳性的概率为0.95，正常人对这种试，正常人对这种试验反响是阳性的概率为验反响是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试，现抽查了一个人，试验反响是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大验反响是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?那么那么 表示表示“抽查的人不患癌症抽查的人不患癌症. C知知 P(C)=0.005,P( )=0.995, P(A|C)=0.95, P(A| )=0.04CC求解如下求解如下: 设设 C=抽查的人患有癌症抽查的人患有癌症， A=实验结果是阳性实验结果是阳性，求求 P(C |A).概率论概率论 如今来分析一下结果的意义如今来分析一下结果的意义. .由贝叶斯公式，可得由贝叶斯公式，可得 )|()()|()()|()()|(CAPCPCAPCPCAPCPACP代入数据计算得代入数据计算得 P(CA)= 0.1066 2. 检出阳性能否一定患有癌症检出阳性能否一定患有癌症? 1. 这种实验对于诊断一个人能否患有癌症有无意义？这种实验对于诊断一个人能否患有癌症有无意义？121)2(107)1(例例8 8答案答案商店出卖一批收音机共商店出卖一批收音机共10台，其中有台，其中有3件次品，件次品，其他为正品其他为正品. 某顾客去选购时，商店已售出某顾