求曲线方程的几种常用方法

1、求曲线方程的几种常用方法宜君县高级中学马卫娟已知动点所满足的条件，求动点的轨迹方程是平面解析几何的一个重要 题型。下面就通过实例介绍几种求曲线方程的常用方法。一.直接法：即课本中主要介绍的方法。若命题中所求曲线上的动点与已 知条件能直接发生关系，这时，设曲线上动点的坐标为(x,y),再根据命题中的已 知条件，研究动点形成的几何特征，运用几何或代数的基本公式、定理等列出含 有x,y的关系式，从而得到轨迹方程。例1.在直角3BC中，斜边是定长2a(a>0),求直角顶点C的轨迹方程。解法一：以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立直角坐 标系(如图所示)则有：A(-a,0)、B(a,0

2、),设动点C的坐标为(x,y)222则满足条件的点C的集合为P=C/AC +|bc =|ab| 2 2-所以(x a)2 y2Jx-a)2 y2 = 2a即 x2 , y2 u a2因为当点C与A、B重合时，直角3BC不存在，所以轨迹中应除去A、 B两点，既x * 士 a。222故所求点C的轨迹万程为x + y =a(x'士a)。解法二:如解法一建立直角坐标系，设A(-a,0)、B(a,0)、C(x,y).AC IBCKAC KBC(1)222化简得：X+y = a (2)由于x # ± a时，方程(1)与(2)不等价，1 . 222所以所求点C的轨迹万程为x + y = a

3、(X。士a)。解法三：如解法一建立直角坐标系，则： A(-a,0)、B(a,0),设C(x,y)1连接CO,则有：CO =2|AB所以x2 y2 = -2 2a = a222即 x y = a轨迹中应除去A, B两点(理由同解法一) 222故所求点C的轨迹万程为x + y = a (x# ±a)。说明：利用直接法求曲线方程的一般步骤(1)建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任意点M的坐标；(2)写出适合条件P的点M的集合P=Mp(m);(3)用坐标表示条件P(M),列出方程f(x,y)=0;(4)化方程f(x,y)为最简形式；(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的

4、点。(此步骤常省略不写，但一定要注意所求方程中所表示的点是否都在曲线上， 注意特殊点)。直接法是求曲线方程的基本方法。本例虽给出了三种解法，但实质上 都是利用等量关系，直接求出轨迹方程。2 .中间变量法(相关点法)如果所求轨迹上的动点P(x,y)与已知曲线上的动点M(x,y)相互制约，精品资料那么可根据动点M在已知曲线上的运动规律求出动点 P的轨迹方程。例2.已知一条长为6的线段两端点A、B分别在x轴，y轴上滑动，求AB中点M的轨迹方程。解:由题意可设A(a,0) , B(0,b),M(x,y). AB =6 a2 +b2 = 36 (1)a ax 二 一2b厂2又.M(x,y)是AB的中点2

5、x2y 代入(1)得：(2x)2 + (2y)2 = 3622化简得：X y = 922所以AB中点M的轨迹万程是X+y = 9。说明：此解法在求轨迹方程时应用广泛，并多与线段定比分点坐标公式相结合。三.参数法：即通过一个(或若干个)中间变量的介入，使得点的坐标之间 确立一定的间接关系，从而消去中间变量求得动点轨迹。例3:过不在坐标轴上的定点 M(a,b)的动直线交两坐标轴于点 A、B,过A、B作坐标轴的垂线交于点 P,求交点P的轨迹方程。解：如图，设P(x,y),并设过点M的动直线为：y-b=k(x-a)b 、(k存在且 kR),贝U： A(0,b-ak), B(a-r，0)kbbx = a 所以P(a-1b-ak)即： kky = b - ak消去参数k即得交点P的轨迹方程为：(x - a)(y - b) = ab。说明：本题通过参数k把x, y联系在一起。在利用参数法求轨迹时，要适当的设定参数，即应使动点坐标 x, y便于 用参数表示，最终应将参数方程化为普通方程。以上介绍了求曲线方程的几种常用方法，即直接法，中间变量法及参数 法。求曲线方程的关键是仔细审题，分析已知条件和曲线的特征，寻找曲线 上的任一点(动点)所满足的条件，然后把动点所