2016高考数学3.5两角和与差的正弦、余弦和正切公式练习

1、-1-课时提升作业（二十）两角和与差的正弦、余弦和正切公式A）组基础达标练整（25 分钟 50 分）一、选择题（每小题 5 分,共 35 分）1.（2015 重庆模拟）计算 sin 20 cos 110 +cos 160 sin 70 =（ ）sin 38 sin 8 =cos 30 答案：2JI4ta n127T- =_ tan IF JgA.0B.1C.-1D.2【解析】选 C.原式=sin 20 cos(180 -70 )+cos(180 =-sin 20 -20 )sin 70 cos 70 -cos 20 sin 70 cos 70 +cos 20 sin 70 )=-1.=-(si

2、n 20=-sin 90 【一题多解】本题还可如下解答:原式=sin 20 cos(90 +20 )+cos(180 -20 )sin(90 -20 )=-sin220 -cos220 =-1.【加固训练】(2015 成都模拟)cos 38 sin 98 -cos 52 sin 188的值为【解析】cos 38 sin 98-cos 52sin 188 =cos 38 cos 83tan22计算：312=(2tan令【解析】选 D.原式-2-3.(2015 张家口模拟)计算:tan 15 +tan 15=()1【解析】选 C.tan 15 +tan 15sin 15 cos 15=- +-co

3、s 15 sin 15sin215cos2152=-=-=4.sin 15 cos 15 sin 30兀4.（2015 成都模拟）已知锐角a满足 cos 2a=COS（4-a），则 sin 2a等于（）JI【解析】选 A.由 cos 2a=cos(4-a), 得(cosa-sina)(COSa+Sina)=2(cosa+Sina),由a为锐角知 cosa+sina丰0.所以 cosa-sina=2，平方得 1-sin 2a=2.1所以 sin 2a=2.【一题多解】本题还可如下解答:Tt JEJT因为a是锐角，所以 02an,-44-a4.兀B.2C.4D.22c.f-3-又因为 cos 2a

4、=cos(4-a),JITt所以 2a=4-a,即a=12.-4-二-1故 sin 2 a =sin62.兀5已知角0的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的正半轴重合，终边上有一点A（3,-4）,则 sin（20+2）的值为（ ）77A.25B.-25C.-1D.1【解题提示】根 据题意求得 sin0和 cos0的值,进而利用诱导公式和二倍角公式求得答案43【解析】选 B.依题意知 sin0=-5,cos0=5,916所以 sin(20+2)=cos 20=cos20-sin20=252525,故选3；7所以 cos 200.因为-sin229所以 cos 20=又 cos 20=1-2sin20

5、,1 cos 2：【加固训练】（2014 汕头模拟）若sin2-2，则 tan 2a等于（）B.6.(2015 济南模拟)若0 42,sin 20=8，则 sin0=(lk【解题提示】根据0的取值范围，先求 cos 20，再求 sin0.【解析】选 D.由于042,则 20 2,n,sin 20=8所以 sin0=1 - cos 2 r2-5-6-1 +cos 2a2cosJa_ cos a1【解析】选 D.sin 2a2sin acosasin a2所以 tana=2,tan 2c所以2 tan a44丫 .91 - - - -1一43 兀4、311二7.(2015 呼和浩特模拟)已知 co

6、s(a+6)-sina=5,则 sin(a+6)的值是( )【解题提示】利用两角和的三角函数化简已知条件，展开所求表达式，即可得到结果出43【解析】选 B.cos(a+6)-sina=5,34”3所以2cosa-2sina=5,丄 症42cosa-2sina=5,11二11二11 7：所以 sin(a+6)=sinacos6+cosasin6=2sina-2cosa=-5.故选 B.二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)2sin 50 -、. 3sin 208.(2015 兰州模拟)计算：cos20=.【解题提示】拆角,50 =30 +20 ,利用两角和的正弦公式展开合并计算2sin(30

7、20 ) - 3sin 20【解析】原式=cos 20_ 2sin 30cos 20 + 2cos 30sm 20/3sin 20 cos 2020口十7011 2020_cos 20-7-1即 sin0=-3cos0,又因为 sin20=1.答案:1sin 47 sin 17 cos 30【加固训练】 (2014 武汉模拟)计算:cos 17sin(1730 ) sin 17 cos 30【解析】原式cos 1717Qcos30Q+COS17in 30P-sln 17Vos 30Qcoscos 17sin 30cos=sin 30= -y,1答案:2兀19.(2015 汉中模拟)设0为第二象

8、限角,若 tan(0+4)=2,则 sin0+cos0=1【解题提示】先由 tan(0+4)=2,求 tan0的值，再利用同角的三角函数关系式及0的范围分别求 sin0,cos0的值.兀1【解析】因为 tan(0+4)=2Jl 31所以 tan0=tan(0+4)-4I an(+于)灿7l. + tan+cos20=1,-8-19所以9cos20+cos20=1,cos20=10,3101-JO一3 10因为0为第二象限角，所以 cos0=10,sin0=-3cos0=10,sin0+cos0=10答案:-5H【加固训练】已知 tan(a+4)=2,则 sin 2a+tan 2a=.【解析】因

9、为 tan(a+4)=2,JI JI所以 tana=tan (a+4)-41 I 2X13+3故 sin 2a+tan 2a=527答案：2010 .10+0=-_5_lan(a+Y)tan71 I km +7Ttan -4所以 sin 2atan 2a=2气in住处岑osin a + cosJa tfiir a; + 121 fin a2Xy+12 lan a1一taiic2X27420-9-10.若17an：=2 015,则cos2：+tan 2a=-10-1 tan:-【解析】因为1 -ta n=2 015,Jicos2（a+4）化简,建立与 sin 2a的关系，可得结果I +cos 2

10、（&+手）曲（T）=v 4 7【解析】选 A.因为2.（5 分）（2015 宝鸡模拟）已知 cos（4+0）cos（4-0）=【解题提示】先化简已知条件，再把要求的式子变形，代入求值.JI311 + cos （ 2a卜今）1一sin 2a9所以cos2（a+手）7T1 sin 2a云H tfiii2a=所以：1+气iii 2a_ 1 + 2sili tcos aO92cos Laasill a（cos sin（i）2cos口 一sin acos a sin a）（cos。十sin a）cosa sill a=匸皿=2 0心.1 tan a答案:2 015詈鈔能力提升晴（20 分钟 40

11、 分）21.（5 分）（2013 新课标全国卷n）已知 sin 2a=3,则 cos2（a+4）=（）21=【解题提示】利用“降幕公式”将4，则 sin40+cos40的值等于（）-11-【解析】选 C.因为 cos（4+0）cos（4-0）-12-迈2=(2cos0-2sin0)(1 1 1=2(cos20-sin20)=2cos 20=4.1所以 cos 20=2,JT4JT3.(5 分)(2015 兰州模拟)设 a 为锐角 若 cos(a+6)=5，则 si n(2a+12)的值为JIH 4【解析】因为 cos(a+6)=5,二 二二3所以a+6 (0,2),所以 sin(a+6)=5,

12、所以 sin(2a+3)=2sin(a+6)cos(a+6)3424=2x 5 x 5=25cos(2a+3)=2cos2(a+6)-1=25,TtJI Tt所以 sin(2a+12)=sin(2a+3)-4二 二17 2=sin(2a+3)cos4-cos(2a+3)sin2、22cos0+2sin0)sin40+cos40=(1cos 2(1 cos 2- 2195+ =_16168【解题提示】解答本题的关键是角的变化,即把角 2a+12转化为(2a+3)-4.4=50-13-17 - 2答案：504.(12 分)(2014 江西高考改编)已知函数 f(x)=-(-1+2cos2x)sin

13、2x,若j.2f()45,a(2JIn)，求 sin(a+3)-14-、f(=)124所以4=_2sin a =-5，故 sina=5,n3兀413J343J3又a (2,n),所以 cosa=-5,sin(a+3)=5x2+(-5x2)=10.5.(13 分)(能力挑战题)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数1sin213 +cos217 -sin 13 cos 17;2sin215 +cos215 -sin 15 cos 15;3sin218 +cos212 -sin 18 cos 12 ;4sin2(-18 )+cos248 -sin(-18 )cos 48 ;

14、5sin2(-25 )+cos255 -sin(-25 )cos 55 .(1) 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数(2) 根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论【解析】(1)选择式，计算如下：sin215 +cos215 -sin 15 cos 15113=1-2sin 30 =1-44.(2)三角恒等式3Sin2a+cos2(30-a)-sinacos(30-a)=4.证明如下：sin2a+cos2(30-a)-sinacos(30-a)=sin2a+(cos 30cosa+sin 30sina)2-sina(co s 30cosa331133+sin 30sina)=sin2a+4cos2a+2sinacosa+4sin2a-2sinacosa-2sin2a=4sin2a+4cos2a3=4.【一题多解】本题第(2)问还可用以下方法解答:3 三角恒等式为 sin2a+cos2(30 -a)-sinacos(30 -a)= 4 .证明如下：sin2a+cos2(30-a)-sinacos(30-a)1 -cos 2：. 1 cos(60 -2：)的值.【解析】f(