高等数学实用教程(第六章)

1、24351/195数学应用与实践数学应用与实践1第六章第六章 常微分方程及其应用常微分方程及其应用24351/195数学应用与实践数学应用与实践2第六章第六章 常微分方程及其应用常微分方程及其应用6-1常微分方程问题及基本概念6-2微分方程求解*6-3建立微分方程模型24351/195数学应用与实践数学应用与实践3一、常微分方程问题6-1常微分方程问题及基本概念例例1镭的衰变问题镭的衰变问题镭的衰变有如下的规律：镭的衰变速度与镭所现存的量R成正比有经验材料断定，镭经过1600年后，只余原始量R0的一半求镭的量R与时间t的函数关系解：解：由题意得 )2(2)1600()0() 1 (dd00RR

2、RRkRtR（1）式为列出的含有要找的函数R(t)及其导数 的关系，通过此关系可求出R(t)的函数关系tRdd24351/195数学应用与实践数学应用与实践4例例2降落伞下落速度问题降落伞下落速度问题设降落伞从跳伞塔下落，所受空气阻力与速度成正比，降落伞离开塔顶（t=0）时的速度为零，求降落伞下落速度与时间t的函数关系（图6-1）解：解：设降落伞在时刻下落速度为v(t)，所受空气阻力为fkvfmgp 图6-1由题意得： （负号表示阻力与运动方向相反，k为常数）kvf分析伞在下降过程中受力情况得： mafmg6-1常微分方程问题及基本概念24351/195数学应用与实践数学应用与实践5)4(0)

3、0()3(ddvkvmgtvm则得： （3）式为列出的含有要找的函数及其导数的关系，通过此关系可求出的函数关系以上问题均是根据问题所提供的情况，列出含有要找的函数及其导数的关系，然后通过这种关系求出函数关系6-1常微分方程问题及基本概念24351/195数学应用与实践数学应用与实践6二、常微分方程的基本概念定义：定义：凡表示未知函数与未知函数的导数以及自变量之间的关系的方程，叫做微分方程微分方程如果在一个微分方程中出现的未知函数只有一个自变量，这个微分方程就叫做常微分方程常微分方程 由于本章只涉及常微分方程，所以以后把常微分方程简称为微分方程或方程 6-1常微分方程问题及基本概念24351/1

4、95数学应用与实践数学应用与实践7微分方程的阶微分方程的阶：微分方程所出现的未知函数的最高阶数，叫做微分方程的阶线性微分方程线性微分方程：当微分方程中所含的未知函数及其各阶导数全是一次幂时，微分方程就称为线性微分方程常系数线性微分方程常系数线性微分方程：在线性微分方程中，若未知函数及其各阶导数的系数全是常数，则称这样的微分方程为常系数线性微分方程如：如：上两例中的（1）、（3）两式均为一阶常系数线一阶常系数线性微分方程性微分方程 6-1常微分方程问题及基本概念24351/195数学应用与实践数学应用与实践8例例3指出下列各方程那些是微分方程，并指出微分方程的阶数，指出哪些是线性微分方程，那些是

5、常系数线性微分方程： ；02)()(2xyyyxA02)(2 yxyyxBxyyxC22)(210)(xyyyD 02cos)()3(xyyE0d)(d)(2222yyxxyxF6-1常微分方程问题及基本概念24351/195数学应用与实践数学应用与实践9解：（A）、（B）、（D）、（E）、（F）均为微分方程（A）为一阶非线性一阶非线性微分方程；（B）为三阶三阶线性线性微分方程；（D）为二阶常系数线性二阶常系数线性微分方程；（E）为三阶非线性三阶非线性微分方程；（F）为一阶非线性一阶非线性微分方程6-1常微分方程问题及基本概念24351/195数学应用与实践数学应用与实践10例4 一曲线通过点

6、 (1,2),且该曲线上任意点P(x,y)处的切线斜率等于该点的横坐标平方的3倍,求此曲线的方程.(2) ).2) 1 ( 2| )()2 , 1 (1yyxyyx或记作应满足条件：，故又因曲线通过点(1) d3d 2xxy 即 ,3dd2xxy由导数的几何意义得设所求曲线的方程为. )(xyy 解6-1常微分方程问题及基本概念24351/195数学应用与实践数学应用与实践11，即式，有代入把条件112 )3()2(3CC(4) 1 3 xy于是，所求曲线方程为(3) ).( d3 ) 1 (32为任意常数式两端求不定积分，得把CCxxxy6-1常微分方程问题及基本概念24351/195数学应

7、用与实践数学应用与实践12例5 设有一质量为m的物体，从空中某处，不计空气阻力而只受重力作用由静止状态自由降落.试求物体的运动规律(即物体在自由降落过程中，所经过的路程s与时间t的函数关系).速度的乘积，于是得与加应等于物体的质量重力物体上的外力第二定律可知，作用在根据牛顿路程为所经过的设物体在时刻 )(),( mmgtsst解6-1常微分方程问题及基本概念24351/195数学应用与实践数学应用与实践13.(5) dd dd 2222是重力加速度其中，即ggtsmgtsm，将上式改写为gtstdddd ，因此可得tgtsdddd (6) . 0dd 0 :)(00tttsstss，满足条件还

8、应由降落，所以由于物体由静止状态自6-1常微分方程问题及基本概念24351/195数学应用与实践数学应用与实践14(7) ddd )5(1，式两端积分一次，得对Cgttgts，式，可得式和入式中的两个条件分别代把00 )7()8()6(21CC. ,(8) 21d)( 212121是两个任意常数其中，再对上式两端积分，得CCCtCgttCgts21 . (9)2sgt于 是 ， 所 求 的 自 由 落 体 的 运 动 规 律 为6-1常微分方程问题及基本概念24351/195数学应用与实践数学应用与实践15 能使微分方程成为恒等式的函数，称为微分方程的解.微分方程的解、通解与特解 3Cxy例如

9、 1 3 xy和.d3d2的解都是xxy .dd22的解都是gts 21212CtCgts又如221gts 和6-1常微分方程问题及基本概念24351/195数学应用与实践数学应用与实践16不包含任意常数的解为微分方程特解. 如果微分方程的解中含任意常数,且独立的(即不可合并而使个数减少的)任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解为微分方程的通解.dd22的通解是gts 21212CtCgts又如 3Cxy例如.d3d2的通解是xxy 13 xy例如.d3d2的特解是xxy 221gts 又如.dd22的特解是gts6-1常微分方程问题及基本概念24351/195数学应用与实践数学应用与实

10、践17 用以确定微分方程解中任意常数的特定条件，称为微分方程的初值条件.,)( ,| )( ,| 00000000000都是已知值其中或，或记作yyxyxyyyyxyyyxxxx6-1常微分方程问题及基本概念24351/195数学应用与实践数学应用与实践18.)11( 1 , 0 )10( 04 )(ee 5 00212221的特解的特解程满足初值条件：程满足初值条件：的通解，并求此微分方的通解，并求此微分方二阶微分方程二阶微分方程是是为任意常数为任意常数，验证函数验证函数例例 xxxxyyyyCCCCy，xxCCy2221e4e4例3，得，分别求一阶及二阶导数将函数xxxxCCyCCy222

11、12221e2e2 ee解6-1常微分方程问题及基本概念24351/195数学应用与实践数学应用与实践190e4e4e4e44 )10(22212221xxxxCCCCyy的左端，得把它们代入微分方程.)10(.)10(ee2221程的通解该方的阶数相同，所以它是的个数与微分方程常数独立的任意常数，任意又因这个解中含有两个的解是所给微分方程所以函数xxCCy中，得及代入”分别”及“式中的条件把xxxxxxCCyCCyyy2221222100e2e2 ee 10:)11(6-1常微分方程问题及基本概念24351/195数学应用与实践数学应用与实践20.41411220 212121CCCCCC，

12、解得，).ee (41 22xxy初值条件的特解为于是所求微分方程满足6-1常微分方程问题及基本概念24351/195数学应用与实践数学应用与实践21三三、一阶线性微分方程一阶线性微分方程6-2微分方程求解一、形如一、形如y y( (n n) )= =f f( (x x) )型的微分方程型的微分方程四、二阶常系数线性微分方程四、二阶常系数线性微分方程二、可分离变量的微分方程二、可分离变量的微分方程24351/195数学应用与实践数学应用与实践22) 1 ( )()(xfyn一、形如y(n)=f(x)型的微分方程，两端积分一次，即得1)1(d)( Cxxfyn方程可改写为，或xxfyxfyxnn

13、d)( )(d )()(dd)1()1(再积分一次，得，21)2(d)(CCxxfyn 依次积分n次，得方程(1)的含有n个任意常数的通解.6-2微分方程求解24351/195数学应用与实践数学应用与实践23例例1列车在平直线路上以20米/秒的速度行驶；当制动时列车获得加速度-0.4米/秒2问开始制动后多少时间列车才能停止，以及列车在这段时间里行驶了多少路程？解：解：设列车开始制动后t秒钟内行驶了s米由题意得： 20dd0)0(4 . 0dd022ttssts解微分方程： 4 . 0dd22ts6-2微分方程求解24351/195数学应用与实践数学应用与实践24等式两边求积分得： ）（1.4

14、. 0d4 . 0dd1Cttts再求积分得： )2.(2 . 0d)4 . 0(2121CtCttCts）两式得：）（代入（将2120dd0)0(0ttss21020CC）两式得：）、（代入（把210,2021CCtttstts202 . 0)(204 . 0dd2，则列车停止时0ddts) s (50t,204 . 00得t）（于是m5005020502 . 0)50(2s6-2微分方程求解24351/195数学应用与实践数学应用与实践25.sin2. 2的通解求微分方程例xxyxCxxyd)cos(12，3221432132cos121 dsin31CxCxCxxCxCxCxxy.,co

15、s121,23213221411都是任意常数其中，即得记CCCCxCxCxxyCC，213sin31CxCxx，次，得对所给方程依次积分三12cosd)sin2( Cxxxxxy解6-2微分方程求解24351/195数学应用与实践数学应用与实践26二、可分离变量的微分方程二、可分离变量的微分方程特点特点：方程是一阶微分方程；等式右边可以分解成两个函数之积，其中一个是x的函数，另一个是y的函数 定义定义：形如：形如 的微分方程称为可分离变量的微分方程 )()(ddygxfxy 解法解法：（分离变量）（分离变量）将方程化为等式一边只含变量 y ，而另一边只含变量x形式，即 xxfygyd)()(d

16、 0)( yg（两边分别积分）（两边分别积分）对上式两边求积分得： xxfygyd)()(d 不定积分算出后，就得到微分方程的解，把这种求解过程叫做分离变量法 6-2微分方程求解24351/195数学应用与实践数学应用与实践276-2微分方程求解例例3镭的衰变问题镭的衰变问题解上节例1中的微分方程 2)1600()0(dd00RRRRkRtR解：解：分离变量得： 两边分别积分得： tkRRdd tkRRdd)(ln111CktCkteCCeeRCktR 2)1600(,)0(00RRRR 将将2C,016000ReCRk 代入得：代入得：000433. 01600ln2k,0 RC解解得得：t

17、eRR000433. 00 则得：则得：24351/195数学应用与实践数学应用与实践28例例4降落伞下落速度问题降落伞下落速度问题解上节例2中的微分方程 0)0(ddvkvmgtvm解：解：分离变量得： 两边分别积分得： mddtkvmgv mddtkvmgv)1(e)(ln111kCtmkekCCkmgvCmtkvmgk kmgC 带带入入得得：将将0)0(v)1(vtmkekmg 则则得得：6-2微分方程求解24351/195数学应用与实践数学应用与实践29.2dd5的通解求微分方程例xyxy，两端同时积分xxyyd2d ，即，得2112eee| |ln 12xCCxyCxy，或记作21

18、ee xCy.e ,e21xCCyC则有若记，原方程分离变量得xxyyd2d 解6-2微分方程求解24351/195数学应用与实践数学应用与实践30.0d)1 (d)1 (6 22的通解求微分方程例yyxxyx，两端积分，有122d1d1 Cxxxyyy，得两端同除以xxxyyyyxd1d1)1)(1 (2222，积分后得122)1ln(21)1ln(21 Cxy，即即表表示示为为把把任任意意常常数数)0( ln21)1ln(21)1ln(21 ,ln21221 CCxyCC).1 (1 22xCy化简得，移项得xyxyyxd)1 (d)1 ( 22解6-2微分方程求解24351/195数学应

19、用与实践数学应用与实践31.60dcos) 1(dsin27 12的特解条件满足初值求微分方程例xyyyxxyx12d12dsincos Cxxxyyy两端积分，有).( sin) 1( 2是任意常数其中化简得所给方程的通解CCyx)ln, 0( ln) 1ln(sinln 12CCCCxy积分后，有，由原方程得xxxyyyd12dsincos 2解6-2微分方程求解24351/195数学应用与实践数学应用与实践32，即代入通解中，得把初值条件1 ,6sin) 11 ( 621CCyx. 1sin) 1( 2yx值条件的特解为于是，所求方程满足初6-2微分方程求解24351/195数学应用与实

20、践数学应用与实践33.3 , 1:12002的特解满足初值条件求微分方程xxyyyxxy，两端积分得12ln)1ln(ln Cxp这是可分离变量的一阶微分方程，分离变量得，xxxppd12d2例8.12dd dd2pxxxpxpypy，代入原方程得，则设解6-2微分方程求解24351/195数学应用与实践数学应用与实践34，代入上式，得以3 3100Cpyxx. 1 120Cyx代入，得再以. )1 ( )1 ( 2121xCyxCp即，化简得. )1 (3 2xy,3 d)1 (3232Cxxxxy这是一阶微分方程，积分一次，得.133xxy所求特解为6-2微分方程求解24351/195数学

21、应用与实践数学应用与实践35三、三、 一阶线性微分方程一阶线性微分方程定义：形如的方程称为一阶线性微分方程，其中P(x)，Q(x)是已知函数.(1) )()(ddxQyxPxy)()(ddxQyxPxy 为一阶非齐次线性微分方程。，则称，则称如果如果0)( xQ，则称，则称如果如果0)( xQ0)(dd yxPxy为一阶齐次线性微分方程，6-2微分方程求解24351/195数学应用与实践数学应用与实践36例如，方程xyxxysin1dd是一阶线性微分方程；而右端 ，因此它是一阶线性非齐次方程.它对应的齐次方程就是0sin)(xxQ，01ddyxxy而方程xxyyxyyyxxyxln2 ,e)(

22、 ,dd222等，都不是线性方程.6-2微分方程求解24351/195数学应用与实践数学应用与实践376-2微分方程求解解法：解法：（1）齐次线性微分方程 是可分离变量的微分方程，用分离变量法求解0)(ddyxPxy分离变量得： xxPyy)d(d两边分别积分得： xxPyy)d(d1)d(lnCxxPy)()()d()d(xxPxxPexFxCFCey 就是齐次线性微分方程 的通解 )(xCFy 0)(ddyxPxy24351/195数学应用与实践数学应用与实践38一阶线性非齐次微分方程的求解步骤如下:1.先求(2) 0)(ddyxPxy的通解：分离变量后得xxPyyd)(d，的形式，得任意

23、常数写成CxxPyClnd)(ln ln(3) ed)(，xxPCy化简后，方程(2)的通解为其中C为任意常数.6-2微分方程求解24351/195数学应用与实践数学应用与实践392.利用“常数变易法”求线性非齐次方程(1)的通解：设(4) e )()d(，xxPxCy是方程(1)的解，其中C(x)为待定常数,将(4)式求其对x的导数，得，xxPxxPxCxPxCxy)d()d(e )()(e )(dd 6-2微分方程求解24351/195数学应用与实践数学应用与实践40化简后，得，xxPxQxCd)(e )()(5) de )()(d)(，CxxQxCxxP将上式积分，得其中C为任意常数.(

24、6) ).de )(ed)(d)(CxxQyxxPxxP把(5)式代入(4)式中，即得方程(1)的通解为代入方程(1)中，得，)(e)()( e)()(e)()d()d()d(xQxCxPxCxPxCxxPxxPxxP6-2微分方程求解24351/195数学应用与实践数学应用与实践41 通过把对应的线性齐次方程的通解中的任意常数变易为待定函数，然后求出线性非齐次方程的通解，这种方法称为常数变易法常数变易法.6-2微分方程求解24351/195数学应用与实践数学应用与实践426-2微分方程求解用常数变易法求一阶非齐次线性方程的通解得步骤为：步骤为：先用分离变量法求出非齐次线性微分方程所对应的齐先

25、用分离变量法求出非齐次线性微分方程所对应的齐次线性微分方程的通解次线性微分方程的通解 )(xCFyc 设非齐次线性微分方程的通解为设非齐次线性微分方程的通解为 )()(xFxCy 代入非齐次线性微分方程得代入非齐次线性微分方程得 )()()(xQxFxC 求出求出 ，并写出非齐次线性微分，并写出非齐次线性微分方程的通解方程的通解 xxFxQxCd)()()(24351/195数学应用与实践数学应用与实践436-2微分方程求解例质点运动速度问题例质点运动速度问题设有一质量为m的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个与运动方向一致，大小与时间成正比（比例系数为k1）的力作用于它，此外还受一与

26、速度成正比（比例系数为k2）的阻力作用求质点运动的速度与时间的函数关系解：解：设质点运动的速度与时间的函数关系为 ，与运动方向一致的力作用力为F，所受阻力为R，质点受力情况如图6-2)(tvRFmRFmRFm由题意得： vkRtkF21,24351/195数学应用与实践数学应用与实践44根据牛顿第二定律得： tvmRFddtvmvktkdd21则：0)0(v初始条件为：上式为一阶线性微分方程，标准形式是 tmkvmktv12dd解对应的齐次线性微分方程 0dd2vmktvtmkcCevCtmkvtmkvvtmkvv21222lndddd6-2微分方程求解24351/195数学应用与实践数学应用

27、与实践45的解为：tmkvmktv12dd设非齐次线性微分方程 tmketCv2)(tmketCtmk12)(代入方程得：CekmtekketkmmkttemktCtmktmktmktmk)(dd)(2222221211则：tmktmktmktmkCekmtkkeCekmtekktv2222)()()(221221得：代入将)(0)0(tvv,0221Ckmk221kmkC 得6-2微分方程求解24351/195数学应用与实践数学应用与实践46)1 ()()(2222121221221tmktmkekmktkkekmkkmtkktv则：)1 ()(222121tmkekmktkktv答：答：质

28、点运动的速度与时间的函数关系是 6-2微分方程求解24351/195数学应用与实践数学应用与实践47.e22dd2的通解求微分方程xxxyxy这是一阶线性非齐次微分方程.，即分方程为原方程所对应的齐次微解法xxyyxyxyd2d , 02dd 1，Cxylnln 2，由常数变易法得2e )( xxCy.e 2xCy即例86-2微分方程求解24351/195数学应用与实践数学应用与实践48，代入原方程得及将2222e2e )(2e )(2e )( ddxxxxxxxCxxCxCxyy，化简得xxC2)( .d2)( 2为任意常数其中，积分得CCxxxxC.e )(22xCxy故得原线性非齐次微分

29、方程的通解为，则22e )(2e )( dd xxxxCxCxy6-2微分方程求解24351/195数学应用与实践数学应用与实践49解法2 直接用通解公式(6).，2e2)(,2)(xxxQxxP代入公式(6),Cxxyxxxxxdee2ed2d22得所求线性非齐次方程的通解为Cxxxxxdee2e222. )(ed2e222CxCxxxx6-2微分方程求解24351/195数学应用与实践数学应用与实践50.edd的通解求微分方程xxyxyxxxQxxPe)(,1)(代入公式(6),得所求线性非齐次方程的通解为Cxyxxxxxdeeed1d1Cxxxxde1Cxxxxdeeeln1ln0 ),

30、ee(1xCxxxx. 0 ,ee xxCxyxx或写成例9xyxxyxe1dd 0 时，把原方程改写为当解6-2微分方程求解24351/195数学应用与实践数学应用与实践51.0)0(1sincos 的特解满足初值条件求微分方程yxyxyxxQxxPsec)(tan)(，代入公式(6),得所求线性非齐次方程的通解为Cxxyxxxxdeseced)tan(d)tan(CxxxxCxxxxdcosseccos1desececoslncosln例10，把原方程改写为xxyysectan 解6-2微分方程求解24351/195数学应用与实践数学应用与实践52.seccos , 00)0(xxxxyC

31、y故得所求特解为代入通解中，得),(cos1dcos1CxxCxx6-2微分方程求解24351/195数学应用与实践数学应用与实践53.dd3的通解求微分方程yxyxy对于未知函数x(y为自变量)来说，所给方程就是一阶线性非齐次方程，对未知函数x的一阶线性非齐次方程(8) )()(ddyQxyPyx 1dd23即，yxyyyxyx(7) ,1dd 2yxyyx例11对于未知函数y，它不是线性方程，但是方程可改写为解6-2微分方程求解24351/195数学应用与实践数学应用与实践54(9) de )(ed)(d)(CyyQxyyPyyP的通解公式为方程(7)中， 代入(9)式，即得所求上述方程的

32、通解为2)(,1)( yyQyyPCyyxyyyydeed12d1Cyyyydeeln2ln.2d212CyyCyyyy6-2微分方程求解24351/195数学应用与实践数学应用与实践55.e1的通解求微分方程xxyxy1d1d1deeeCxxpxxxxx这是一阶线性非齐次方程，利用通解公式，可得例12，代入原方程，得，则设xxpxxpxpypye1dd dd解，)e(de11CxCxxxx1lnlndeeeCxxxxx6-2微分方程求解24351/195数学应用与实践数学应用与实践56，)e(dd 1CxxyxxxCxxCxyxxd)e( d)e(11于是有再积分一次，得原方程的通解为221

33、2e ) 1(CxCxx).2( e ) 1(11221CCCxCxx6-2微分方程求解24351/195数学应用与实践数学应用与实践57四、二阶常系数线性微分方程 定义定义：形如 的微分方程（其中p、q为常数），称为二阶常系数线性微分方程)(xfqyypy 当 时，有 称其为二阶二阶常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程；当 时，称其为二二阶常系数非齐次线性微分方程阶常系数非齐次线性微分方程 0)(xf0 qyypy0)(xf对于该类方程，有下述定理：定理定理1：（齐次线性微分方程解的叠加原理齐次线性微分方程解的叠加原理）若y1、y2是齐次线性微分方程 的两个解，则 也是此方程的解，且

34、当y1与y2线性无关（ （C是常数）时， 就是此方程的通解 0 qyypy2211yCyCyCyy212211yCyCy6-2微分方程求解24351/195数学应用与实践数学应用与实践58定理定理2：（非齐次线性微分方程解的解构非齐次线性微分方程解的解构）若yp为非齐次线性微分方程 的某个特解，yc为齐次线性微分方程 的通解，则 为非齐次线性微分方程的通解)(xfqyypy 0 qyypycpyyy6-2微分方程求解24351/195数学应用与实践数学应用与实践59. 02 e)(e)( 221的解，并写出它的通解都是微分方程与验证yyyxyxyxx，及分别求导，得及对xxxxxxxyxyxy

35、xyxyxy222211221e4)(,e2)( e)(,e)( e)(e)(，程左端，得把它们分别代入所给方0e2e2e4 , 0e2ee 222xxxxxx.e)(e)(221都是原方程的解与故xxxyxy例2所给方程为二阶常系数线性齐次微分方程解6-2微分方程求解24351/195数学应用与实践数学应用与实践60常数，xxxxyxy3212eee)()( ，是线性无关的两个特解与xxxyxy221e)(e)( .,ee 21221是任意常数其中，为由定理得原方程的通解CCCCyxx6-2微分方程求解24351/195数学应用与实践数学应用与实践61)( e为常数ryrx把 代入方程(3)

36、，整理后得yyy及， 0)e(2，rxqprr，故得因0erx(5) 02，qprr称一元二次方程(5)为二阶常系数线性齐次微分方程(3)的特特征方程征方程.是方程(3)的解，1.二阶常系数线性齐次微分方程的解法6-2微分方程求解24351/195数学应用与实践数学应用与实践62特征方程(5)的根为.24 22, 1qppr，是两不相等的实根与24 ,24 , 04 (1)2221212qpprqpprrrq pxrxryy21ee21与于是都是方程(3)的解，且常数，xrrxrxryy)(121212eee即 线性无关.因此方程(3)的通解为xrxryy21ee21与(6) ).,( ee2

37、12121为任意常数CCCCyxrxr6-2微分方程求解24351/195数学应用与实践数学应用与实践632 04)2(21212prrrrqp是两相等实根与时，当于是得到方程(3)的一个特解 ，须找出方程(3)的另一个特解y2，且xry1e1常数，12yy，设)(e12xuyxr，整理都得代入方程及，将)3(222yyy，0)()2(e12111uqprrupruxr，故得由于0e1xr. 0)()2(1211uqprrupru6-2微分方程求解24351/195数学应用与实践数学应用与实践6402 0 )5(2 112121prqprrprr，的重根，是特征方程. 0 u于是前式成为，xr

38、xy1e2取u=x，于是得方程(3)的另一个特解xrxryy21ee21与线性无关，方程(3)的通解为(7) ).,( e )( ee 212121111为任意常数即，CCxCCyxCCyxrxrxr6-2微分方程求解24351/195数学应用与实践数学应用与实践65，其中，是一对共轭复根与时，当024 ,2 i ,i 04 ) 3(221212pqprrrrqp e e i2i1xxyy与 ,sinicosei是方程(3)的复数形式特解.利用欧拉公式.sinicoseee,sinicoseeei2i1xxyxxyxxxxxx: 21写为，将yy6-2微分方程求解24351/195数学应用与实

39、践数学应用与实践66xyyyxyyyxxsinei 21cose21212211，再由定理可知，函数也是方程(3)的解，且,tancosesine21常数xxxyyxx)8( .sincose21xCxCyx即 线性无关，故得微分方程(3)的通解为21yy 与6-2微分方程求解24351/195数学应用与实践数学应用与实践67求二阶常系数齐次线性微分方程(3)的通解步骤：1.写出特征方程，并求出特征方程的两个根；2 .根据两个特征根的不同情况，按照公式(6)、(7)或(8)写出微分方程的通解.可使用下表:6-2微分方程求解24351/195数学应用与实践数学应用与实践680qypyy02qpr

40、r两个不相等的实根21rr 特征方程:微分方程:两个相等的实根21rr 一对共轭复根)0(,21irxrxrCCy21ee21xrxCCy1e )(21) sin cos(e21xCxCyx的两个根r1,r2的通解6-2微分方程求解24351/195数学应用与实践数学应用与实践69例3 求微分方程 . 032的通解yyy，有不相等的实根3 , 1 21rr.ee 321xxCCy通解为，0322 rr 解 其特征方程为即 (r+1)(r3)=0,6-2微分方程求解24351/195数学应用与实践数学应用与实践70.2dd 1| 0dd4dd4 0022的特解，满足初值条件求微分方程tttsss

41、tsts，有两个相同实根21 21 rr例4，特征方程为，原方程化为041 041 2rrsss解.e )( 221ttCCs故通解为6-2微分方程求解24351/195数学应用与实践数学应用与实践71，求导，得将上式对2222ee )1 (21dd ttCCtst，故，代入通解，得将2210e )1 ( 11tttCsCs.e321 2tts故所求特解为，代入上式得再将232dd20Ctst6-2微分方程求解24351/195数学应用与实践数学应用与实践72.032 的通解求微分方程yyy，有一对共轭复根i 21 2, 1r).2sin2cos(e 21xCxCyx通解为例5，特征方程为03

42、2 2 rr解6-2微分方程求解24351/195数学应用与实践数学应用与实践73，mmmmmaxaxaxaxP1110 )(1. ，其中 是常数， 是x的一个m次多项式)(e)(xPxfmx)(xPm. )0(,)sincos(e)(. 2均是常数及，其中BAxBxAxfx2、二阶常系数线性非齐次微分方程的解法6-2微分方程求解24351/195数学应用与实践数学应用与实践74.e )(e )(2e )( e )(e )( 2*xxxxxxQxQxQyxQxQy，则型)(e)(. 1xPxfmx此时微分方程(1)成为(4) )(e，xPqypyymx， e )(*xxQy可设方程(4)的特解

43、为),(e*xPqypyyyyymx代入，将6-2微分方程求解24351/195数学应用与实践数学应用与实践75，得约去0ex(5) ).()()( )()2()(2xPxQqpxQpxQm ,e )(e )( e)()(e)()(2)(2xmxxxxPxqQxQxQpxQxQxQ分三种情形讨论此式：(1)设 不是方程(4)所对应的齐次方程(2)的特征方程的 根，即 .设方程(4)的一个特解为0 2qp xmxQye )(*6-2微分方程求解24351/195数学应用与实践数学应用与实践76.) 1()( 1101110个待定系数是，其中mbbbbbxbxbxbxQmmmmmmm 将 代入方程

44、(4)，比较等式两端x的同次幂系数，得到含有未知系数 的(m+1)个方程，由此定出(m+1)个未知系数 ，从而得到方程(4)的特解 . yyy*,，mmbbbb，110*ymmbbbb，1106-2微分方程求解24351/195数学应用与实践数学应用与实践77.) 1()( 1101110个待定系数是，其中mbbbbbxbxbxbxQmmmmmmm，xmxxQye )(*(2)设 是方程(4)所对应的齐次方程(2)的特征方程的 单根，即 .设方程(4)的一个特解为02 0 2pqp， 将 代入方程(4)，比较等式两端x的同次幂系数，定出(m+1)个未知系数 得到方程(4)的特解 . yy*与m

45、mbbbb，110*y6-2微分方程求解24351/195数学应用与实践数学应用与实践78.) 1()( 1101110个待定系数是，其中mbbbbbxbxbxbxQmmmmmmm，xmxQxye )(2*(3)设 是方程(4)所对应的齐次方程(2)的特征方程的重根，即 .设方程(4)的一个特解为02 0 2pqp， 将 代入方程(4)，比较等式两端x的同次幂系数，定出(m+1)个未知系数 ,得到方程(4)的特解 . yy*与mmbbbb，110*y6-2微分方程求解24351/195数学应用与实践数学应用与实践79(3)当 是对应齐次方程的重特征根时，取k=2.小结：(4) )(e xPqy

46、pyymx对于二阶常系数线性非齐次微分方程(4)，xmkxQxye)( *设方程(4)的特解为Qm是与Pm同次的多项式，即.)1(,)( 1210122110个待定系数是其中，mbbbbbbxbxbxbxbxQmmmmmmmmk的取法为(1)当 不是对应齐次方程的特征根时，取k=0,(2)当 是对应齐次方程的单特征根时，取k=1,24351/195数学应用与实践数学应用与实践80例2 求微分方程.e )2(322的一个特解xxyyy，此取不是特征方程的根，因02k. 1, 3 , 032 212rrrr解得特征方程为xbxby210*e )( 设特解为.e )(4e4 ,e )(2e 2102

47、0*21020*xxxxbxbbybxbby032 2, 2)( ,e )(e )2()( 112yyyxxPxPxxfxx对应齐次方程为，其中解6-2微分方程求解24351/195数学应用与实践数学应用与实践81，得代入所给方程，约去，将2)32(3 ,e1002*xbbxbyyyx，98 ,31 10bb 23213,100，得同次幂的系数比较两端bbbx.e9831 2*xxy特解为6-2微分方程求解24351/195数学应用与实践数学应用与实践82.e212的通解求微分方程xyyy. 1,21)( ,e )(e21)(00 xPxPxfxx则而.e )(21xxCCY121 rr，故得

48、对应齐次方程的通解为0122 rr的特征方程为对应的齐次方程02yyy解而 是特征方程的重根，取k=2.因此，设1.e2*xbxy 例36-2微分方程求解24351/195数学应用与实践数学应用与实践83，则xxbxbxbybxbxye )42(* e )2(* 22.e41 2*xxy 故求得一个特解为，即代入所给方程，得，将41 212 *bbyyy.e41e )( * 221xxxxCCyYy为因此，所给方程的通解6-2微分方程求解24351/195数学应用与实践数学应用与实践84.1)0(, 0)0(32 2的特解满足初值条件：求微分方程yyxyy(1)先求所给方程对应的齐次方程的通解

49、Y.，有两个不同的实根，特征方程为1, 0 0 212rrrr(2)再求所给方程的一个特解y*.，取是特征方程的一个单根10k.e 21xCCY故得. 0, 32)(32)(222xxPxxf，则解例46-2微分方程求解24351/195数学应用与实践数学应用与实践85，因此，设xbxbxbbxbxbxyx2213002120e )(* ，即，代入所给方程，得把32)2()26(3 32)23()26( *,*,22110202212010 xbbxbbxbxbxbxbbxbyyy，的同次幂项的系数，得比较上式两端. 3202623 21100bbbbbx.26* 23* 102120bxby

50、bxbxby，6-2微分方程求解24351/195数学应用与实践数学应用与实践86，故得所给方程的特解为xxxy23232* . 142e 22xxCyxx求导，得将上面的通解对，解得1232 210bbb.232e * 2321xxxCCyYyx为因此得所给方程的通解6-2微分方程求解24351/195数学应用与实践数学应用与实践87. 22 110 1)0(, 0)0(21221CCCCCyy，即得，得分别代入通解及上式，把.232e22 23xxxyx于是得所求特解为. 2232e2 23xxxyx或6-2微分方程求解24351/195数学应用与实践数学应用与实践88型xBxAxfsincos)(. 2(6) sincosxBxAqypyy; 0 )6(i) i (k取征根时，所对应的齐次方程的特不是方程当此时，二阶常系数线性非齐次微分方程(1)成为., 0,不同时为零是实常数，且其中BABA，)sincos(*xbxaxyk方程(6)有如下形式的特解其中a，b为待定系数，k的取法如下： . 1 )6(i)ii(k取征根时，所对应的齐次方程的特是方程当6-2微分方程求解24351/195数学应用与实践数学应用与实践89) 1 ( )( )(，为常数，qpxfqyp