-群的定义(离散数学)

1、l 6.2.1 半群半群l 6.2.2 群群l 6.2.3 群的性质群的性质 设设G是一个非空集合，若是一个非空集合，若 为为G上的上的 二元代数运算，且满足二元代数运算，且满足结合律结合律，则，则 称该代数系统（称该代数系统（G， ）为半群。）为半群。 例例. 设设S是一个非空集合，是一个非空集合，（S）是）是S的幂集，的幂集，和和是是（S）上的交运）上的交运算和并运算，则（算和并运算，则（S），），），），（S），），）都为半群。）都为半群。例例. 设设Z为整数集，为整数集，+、-、 是数的是数的加法、减法和乘法，则（加法、减法和乘法，则（Z， +）、）、（Z， ）都是半群；（）都是半群；

2、（Z， -）不是）不是半群。半群。 例例. 设设N为自然数集，规定为自然数集，规定N 上的运算上的运算“ ”如下：如下：a b = a + b + ab，显然，显然， 为为N上的二元代数运算。对上的二元代数运算。对N中任意中任意三个元素三个元素a，b，c，有：，有：（a b） c = （ a + b + ab） c = （a + b + ab）+c+（a + b + ab）c =a + b + c + ab + bc + ac + abc，a （b c）= a （b + c + bc）=a+（b+c+ bc）+a（b+c+ bc）= a + b + c + ab + bc + ac + abc

3、，故，（故，（ab）c = a（bc）. .因此，（因此，（N， ）为半群。）为半群。 设（设（G， ）为）为半群半群，如果满足下面条件：，如果满足下面条件：(1) 有壹（单位元）有壹（单位元）：G中有一个元素中有一个元素1，适合，适合对于对于G中任意元素中任意元素a，都有，都有1a = a1 = a;(2) 有逆有逆：对于：对于G中任意中任意a，都可找到，都可找到G中一个中一个元素元素a-1，满足，满足aa-1 = a-1a = 1，则称（则称（G， ）为群。）为群。 如果群如果群G包含的元素个数有限，则称包含的元素个数有限，则称G为为有有限群限群，否则称，否则称G为为无限群无限群。 设设Z

4、为整数集，为整数集，+、是数的加法和乘法，则是数的加法和乘法，则半群（半群（Z， +）是群，称为整数加法群。因为）是群，称为整数加法群。因为存在元素存在元素0，适合对于，适合对于Z中任意元素中任意元素a，都有，都有0 + a = a + 0= a；且对于；且对于Z中任意中任意a，都可找到，都可找到Z中中一个元素一个元素-a，满足，满足a + （-a）=（-a）+ a = 0。半群（半群（Z， ）不是群。因为虽然存在单位元）不是群。因为虽然存在单位元素素1，适合对于，适合对于Z中任意元素中任意元素a，都有，都有1a = a1 = a，但除了，但除了1和和-1外，其它元素均无逆元素。外，其它元素均

5、无逆元素。 设设Q Q为所有有理数组成的集合，为所有有理数组成的集合，R R为所有实数为所有实数组成的集合，组成的集合，C C为所有复数组成的集合，为所有复数组成的集合，Q Q* *为所有非零有理数组成的集合，为所有非零有理数组成的集合，R R* *为所有非为所有非零实数组成的集合，零实数组成的集合，C C* *为所有非零复数组成为所有非零复数组成的集合，的集合，+ +、是数的加法和乘法，则是数的加法和乘法，则（Q Q，+ +）、（）、（R R，+ +）、（）、（C C，+ +）都是群；）都是群；（Q Q， ）、（）、（R R， ）、（）、（C C，）都不是群；）都不是群；（Q Q* *， ）

6、、（）、（R R* *， ）、（）、（C C* *，）都是群。）都是群。 设设S是一个非空集合，是一个非空集合，（S） 是是S的幂集，的幂集，和和是是（S）上的交运算和并运算，则）上的交运算和并运算，则 半群（半群（S），），）不是群，单位元素）不是群，单位元素:S，但除了但除了S，其它元素都不存在逆元素；，其它元素都不存在逆元素； 半群（半群（S），），）也不是群，单位元素：）也不是群，单位元素： ，但除了，但除了 ，其它元素都不存在逆元素。，其它元素都不存在逆元素。 设设N为自然数集，规定为自然数集，规定N 上的运算上的运算“ ”如如下：下：a b = a + b + ab。 已证：（已证

7、：（N， ）为半群。）为半群。 但但（N， ）不是群。）不是群。反证：若不然，反证：若不然， （N， ）是群，则一定有）是群，则一定有单位元素，单位元素，设为设为e e，则对，则对N N中任意元素中任意元素a a，都有，都有 e e a = a a = a，即，即e + a + ee + a + ea = aa = a，因此，因此，e=0e=0，但，但0 0 N N，矛盾，矛盾。因此，。因此，（N， ）无单位元素，故不是群。无单位元素，故不是群。例例. 设设A是实数域上所有是实数域上所有n阶非奇异矩阵的阶非奇异矩阵的集合，集合，*为矩阵的乘法，则（为矩阵的乘法，则（A，*） 是群。是群。例例.

8、设设S=0，1，2，m-1，规定，规定S上的上的运算运算 如下：如下： a b= 其中其中a，b是是S中任意元素，中任意元素，+、-为数的加与为数的加与减。减。 则（则（S， ）是群，称为模）是群，称为模m的整数加法群。的整数加法群。 mbambambaba当当,设设S=a,b，使用乘法表定义，使用乘法表定义S上的运上的运算算 如下：如下： a b a a b b b a问（问（S, ）是否为群。）是否为群。薅羊毛http:/ 0 仐摋茔 证明：证明：设设(G, *)是群，其单位元是是群，其单位元是1，显然，显然，1是等幂元。设是等幂元。设x是是G中的等幂元，即中的等幂元，即x*x= x， 则

9、：则：x=1*x =（x-1*x）*x = x-1*（x*x） x-1*x=1 （ 或由或由x*x= x，得，得 x-1* x*x= x-1* x ，即，即x=1）证明：设证明：设(G, *)是群，其单位元是是群，其单位元是1， 当当G=1，它的唯一元素视为单位元。，它的唯一元素视为单位元。 当当 G 1，用反证法。假设（，用反证法。假设（G，*）有零）有零元元 ，则对，则对 x G，都有，都有x* = *x= 1，即，即 不存在不存在x G，使得，使得x* = *x=1， 亦即，亦即， 无逆元，这与无逆元，这与G是群矛盾。是群矛盾。证明：设证明：设(G, *)是群，其单位元是是群，其单位元是

10、1， 对于对于G中任意三个元素中任意三个元素a，b，c，（1）若）若 a * b = a * c，则，则 a-1 * (a * b) = a-1 *( a * c)，即，即(a-1 * a) * b =(a-1 * a) * c，亦即，亦即1 * b =1 * c， 故故b = c。（2）同理可证：若）同理可证：若 b * a = c * a，则，则b = c例例. 元数为元数为1的群仅有的群仅有1个个 元数为元数为2的群仅有的群仅有1个个 *eee*eaeeaaae定理定理6.2.1 群的单位元素是唯一的群的单位元素是唯一的, ,任意元任意元素的逆也是唯一的。素的逆也是唯一的。即即, ,设（

11、设（G， ）是一个群，）是一个群，则则G中恰有一个元素中恰有一个元素1适合适合1a = a1 = a,而且对而且对于任意于任意a恰有一个元素恰有一个元素 a-1适合适合 aa-1 =a-1a=1。证明：证明：若若1和和1都是单位元素，则都是单位元素，则1=11=1， 故故1=1。 若若b和和c都有都有a-1的性质，则的性质，则b=b1=b(ac)=(ba)c=1c =c，故，故b=c。 v（a-1）-1=a 因为因为 a a-1 = a-1 a=1v (a b) -1= b-1 a-1 因为因为a b b-1 a-1 =1 b-1 a-1 a b =1v 1-1= 1 因为因为1 1=1定理定

12、理6.2.2 群定义中的条件（群定义中的条件（1）和（）和（2）可）可 以减弱如下：以减弱如下： (1) 有左壹：有左壹： G中有一个元素中有一个元素1，适合，适合 对于对于G中任意元素中任意元素a，都有，都有 1a=a; (2) 有左逆：有左逆：对于对于G中任意中任意a，都可找到，都可找到G中一中一 个元素个元素a-1，满足，满足 a-1a = 1。证明：证明：只需证明只需证明a1 = a和和aa-1 = 1。证法一证法一先证先证aa-1 = 1。因为（因为（a-1a）a-1=1a-1= a-1，故，故 （a-1a）a-1= a-1。由由( (2) )， a-1也应该有一个左逆适合也应该有一

13、个左逆适合ba-1=1。于是，一方面有：于是，一方面有： b（a-1a）a-1）) = ba-1 = l，另一方面有：另一方面有：b（a-1a）a-1）= （ba-1）（aa-1） = 1（aa-1）= aa-1，因此，因此，aa-1=1。 再证再证a1=a。 a1 = a（a-1a）= （aa-1）a = 1a = a。 证毕。证毕。把（把（1 1），（，（2 2） 中对于左边的要求一中对于左边的要求一律改成对于右边的要求也是一样。律改成对于右边的要求也是一样。 但是只但是只满足左壹、右逆未必成群，只满足右壹、左满足左壹、右逆未必成群，只满足右壹、左逆也未必成群。逆也未必成群。证法二证法二

14、往证往证a 1=a.由（由（1） 知有知有 1 1=1，由（由（2） 知知 a-1a=1，用其部分代替上式中的用其部分代替上式中的1，得到，得到（a-1a） 1= a-1a，由（由（2） 知知a-1有左逆有左逆,令其为令其为b，并用，并用b 左乘上式左乘上式两端得到两端得到 b （a-1a） 1= b (a-1a), 即即（b a-1 ） （a 1）=（ b a-1 ）a，亦即，亦即1 （a 1）=1 a由（由（1） a 1=a。往证往证a a -1=1. 同证法一。同证法一。证法三证法三 往证往证a 1=a. 同证法二。同证法二。往证往证a a -1=1. 由（由（2） 知知a-1有左逆，令

15、其为有左逆，令其为b，于是，于是b a-1=1，用用a右乘等式两端得到右乘等式两端得到(b a-1 ） a =1 a， 即即b （a-1 a） =1 a，亦即，亦即b=a，故故a a -1=1。 证毕证毕定理定理6.2.3 群定义中的条件（群定义中的条件（1）和（）和（2）等）等于下列可除条件：对于任意于下列可除条件：对于任意a，b，有，有使使 a=b，又有，又有y 使使ay=b。证明：首先证明在任一群中可除条件成立证明：首先证明在任一群中可除条件成立。因为，取因为，取=ba-1，y=a-1b，即得，即得a=b，ay=b，故，由（，故，由（1）和（）和（2）可以推出可除条）可以推出可除条件成立

16、。件成立。 再证明由可除条件也可以推再证明由可除条件也可以推( (1) ),(,(2) )，因而可以推出（因而可以推出（1），（），（2）。）。 取任意取任意cG，命，命1为适合为适合c=c的的，则则1c=c。今对于任意。今对于任意a，有，有y使使cy=a，故，故1a=1（cy）=（1c）y=cy=a，即即( (1) )成立。成立。令令a-1为适合为适合a=1的的，则，则a-1a=1， 故故( (2) ) 成立成立。 定理定理6.2.4 设设G G是一个群，在一个乘积是一个群，在一个乘积a a1 1a an n中中可以任意加括号而求其值。可以任意加括号而求其值。证明：证明： 要证定理，只要证明

17、任意加括号而得的要证定理，只要证明任意加括号而得的积等于按次序由左而右加括号所得的积积等于按次序由左而右加括号所得的积（a a1 1a a2 2）a a3 3）a an-1n-1）a an n （1 1） 用数学归纳法证明。用数学归纳法证明。n=1n=1，2 2，3 3，命题显然。，命题显然。假定对少于假定对少于n n个因子的乘积（个因子的乘积（1 1）式成立，以下）式成立，以下证对证对n n个因子的乘积（个因子的乘积（1 1）式也成立。）式也成立。 设设A A为为由由a a1 1a an n任意加括号而得到的乘积，往任意加括号而得到的乘积，往证证A A等于（等于（1 1）式。）式。 设在设在

18、A A中最后一次计算是前后两部分中最后一次计算是前后两部分B B与与C C相乘：相乘： A = A = （B B）（C C） 由归纳假设，由归纳假设，C C等于按次序自左而右加括号等于按次序自左而右加括号所得的乘积（所得的乘积（D D）a an n。由结合律，。由结合律， A=A=(B B)(C C)= =(B B)(D D)a an n) = (B B)(D D)a an n。 （B）（D）的因子个数小于）的因子个数小于n，再由归纳假再由归纳假设，设，(B B)(D D)等于按次序由左而右加括号所得的乘等于按次序由左而右加括号所得的乘积积： (B B)(D D)= =(a a1 1a a2

19、2)a a3 3)a an-2n-2)a an-1n-1因而因而A =A =(B B)(D D)a an n= =(a a1 1a a2 2 ) a a3 3)a an-2 n-2 ) a an-1 n-1 ) a an n即即A A等于（等于（1 1）式。）式。 n个个a连乘所得的积称为连乘所得的积称为a的的n次方，记为次方，记为an。规定规定: a0=1， a-n=（an）-1。对于任意整数对于任意整数m，n，下面定律成立，下面定律成立l第一指数律：第一指数律：aman=am+n，l第二指数律：（第二指数律：（am）n=amn但一般群中第三指数律但一般群中第三指数律 (ab)b)n=an

20、b bn不成立。不成立。Abel群群 若群（若群（G，）的运算）的运算 适合交换律，则称适合交换律，则称（G，）为）为Abel群或交换群。群或交换群。 例例. 。例例. (Q Q* *， ),(R),(R* *， ),(C),(C* *，) )。 例例. 实数域上所有实数域上所有n阶非奇异矩阵的集合阶非奇异矩阵的集合在在矩矩 阵的乘法下不是阵的乘法下不是Abel群。群。 例例. 元数为元数为1、元数为、元数为2的群都是有限的群都是有限Abel群。群。例例. 设设(G, )是一个群，则是一个群，则(G, )是是Abel群的充要群的充要条件是对条件是对 a,b G,有有(a b)2=a2 b2证明：必要性。证明：必要性。若若(G，)是是Abel群，即对群，即对 a，b G， b=b a。故，。故， (ab)2=(ab)(ab) =a(ba)b=a(ab)b=(aa)(bb)=a2b2充分性。充分性。对对 a,b G,由由 (a b)2=a2 b2 ，得，得a-1 (ab)(ab) b-1=a-1 (a a) (b b) b-1故，故，ba=ab，因此，因此，(G，)是是Abel群。群。定理定理6.2.5 在一个在一个Abel群（群（G，）中，一个乘积）中，一个乘积可以任意颠倒因子的次序而求其值。可以任意颠倒