2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学全国卷Ⅲ含答案

1、绝密启用前2021年普通高等学校招生全国统一测试文科数学考前须知:1 .答卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在做题卡上.2 .答复选择题时,选出每题答案后,用铅笔把做题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.答复非选择题时,将答案写在做题卡上.写在本试卷上无效.3.测试结束后,将本试卷和做题卡一并交回.、选择题：此题共12小题,每题5分,共60分.在每题给的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1,012,一 ,2B x x21,那么AIA.1,0,1B.0.1C.1.1D.0,1,22,假设 z(1 i) 2i那么z=A. 1 iB.1+iC.D.

2、1+iC.-3D.2并称为中国古典小说四大名著3 .两位男同学和两位女同学随机排成一列,那么两位女同学相邻的概率是4 .?西游记?三国演义?水浒传?和?红楼梦?是中国古典文学瑰宝,100位学生,其中阅读过?西游记?或?红楼某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况,随机调查了梦?的学生共有 90位,阅读过?红楼梦?的学生共有80位,阅读过?西游记?且阅读过?红楼梦?的学生共有60位,那么该校阅读过?西游记?的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A. 0.5B,0.6C.0.7D,0.85 .函数f (x) 2sinx sin2x在0 , 2兀的零点个数为A. 2B.3C.4D.56 .各项均为正数

3、的等比数列an的前4项和为15,且a5=3a3+4a1,那么a3=A.16B.8C.4D.27 .曲线y aex xln x在点(1, ae)处的切线方程为 y=2x+b,那么A.a=e, b=- 1B.a=e,b=1C.a=e b=1D.a=e b 18 .如图,点 N为正方形 ABCD勺中央, ECM正三角形,平面 ECDL平面 ABCD M是线段 ED的中点,那么A.B.C.D.RB的EN且直线BM £相交直线BMh EN且直线 BM EN是相交直线BMEN,且直线BM EN异面直线BM EN且直线 BM EN是异面直线9.执行下边的程序框图,如果输入的为0.01 ,那么输出s

4、的值等于B. 2125C. 2126D.12710.F是双曲线C: x41的一个焦点,点 P在C上,O为坐标原点,OP = OF ,那么 AOPF的面积为A. 32B.C.工2D.ii .记不等式组x y2x y6,0表示 的平面区域为D.命题 p : (x, y)D,2x yq : (x, y) D,2 x y 12 .卜面给出了四个命题2) p这四个命题中,所有真命题的编号是A.B.C.D.12.设f x是定义域为R的偶函数,且在0,单调递减,那么,1,3,2A. f(log 31)> f(2 2) > f(2 3)423B. f (log 31) > f (23)>

5、;f (22)432C. f ( 2 2) > f ( 2 3) > f (log 3)423D. f(2 3) > f (2 2) > f (log 3,) 4二、填空题:此题共4小题,每题5分,共20分.13 .向量 a (2,2), b ( 8,6),那么 cos a,b 14 .记&为等差数列an的前n项和,假设a3 5,a7 13,那么S102215 .设Fi, F2为椭圆C +- 1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.假设 AMFiF2为等腰三角形, 36 20那么M的坐标为.16 .学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长方

6、体ABCD AB1c1D1挖去四棱车B OEFGH后所得的几何体,其中O为长方体的中央,E, F, G, H分别为所在棱的中点,3AB = BC = 6 cm , AA1 = 4 cm , 3D打印所用原料密度为 0.9 g/cm ,不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为 g.三、解做题：共 70分.解容许写出文字说明、证实过程或演算步骤.第 1721题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题：共 60分.17 . 12 分为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度,进行如下试验：将 200只小鼠随机分成A, B两组,每组100只,其中A组小鼠

7、给服甲离子溶液,B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：记E事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于 5.5,根据直方图得到P (C)的估方t值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中 a, b的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).18 . ( 12 分)A CABC的内角A B、C的对边分别为a、b、c.asin bsin A .2(1)求 B;(2)假设 AB8锐角三角形,且 c=1,求 ABC面积的取值范围.19

8、. ( 12 分)图1是由矩形ADEB RtzXABC菱形BFGC&成的一个平面图形,其中AB=1, BE=BF=2,ZFB(=60 .将其沿 AB BC折起使得BE与BF重合,连结DG如图2.(1)证实：图2中的A, C, G, D四点共面,且平面 ABCL平面BCGE(2)求图2中的四边形ACGD勺面积.20 . 12 分函数fx 2x3 ax2 2 .(1)讨论f (x)的单调性;(2)当0<a<3时,记f (x)在区间0,1的最大值为M最小值为m求M m的取值范围.21 . ( 12 分)x21. _曲线C： y=A- , D为直线y=万上的动点,过 D作C的两条切

9、线,切点分别为 A, B.(1)证实：直线 AB过定点:.5 (2)假设以E(0,)为圆心的圆与直线 AB相切,且切点为线段 AB的中点,求该圆的方程.2(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,那么按所做的第一题计分.22 .选彳4-4:坐标系与参数方程(10分)如图,在极坐标系 Ox 中,A(2,0) , B(J2,/, C(V2,) , D(2,),弧 AB , ?C,CD 所在圆的圆心分别是(1,0),(1,-), (1,),曲线M1是弧Ab,曲线M2是弧C,曲线M3是弧Cd .(1)分别写出M1 ,M2, M3的极坐标方程;(2)曲线M由M1 ,M2,

10、M3构成,假设点P在M上,且|OP| J3,求P的极坐标.23 .选彳4-5:不等式选讲(10分)设 x, y, z R,且 x y z 1 .(1)求(x1)2(y1)2(z 1)2 的最小值；2221(2)假设(x2)(y1)(z a) 成立,证实：a 3或 a 1 .2021年普通高等学校招生全国统一测试文科数学参考答案、选择题1 . A 2. D 3. D 4. C 5. B6. C 7, D 8.9. C 10. B 11. A 12. C二、填空题13. -21014. 10015. 3,Ji516. 118.8三、解做题17.解：1由得 0.70=a+0.20+0.15b=1 -

11、 0.05 0.15 0.70=0.10 .(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2X0.15+3 X 0.20+4 X 0.30+5 X 0.20+6 X 0.10+7 X 0.05=4.05 .乙离子残留百分比的平均值的估计值为3X 0.05+4 X 0.10+5 X 0.15+6 X 0.35+7 X 0.20+8 X 0.15=6.00 .18.解：(1)由题设及正弦定理得.AC sin Asin sin Bsin A2由于sin A 0,所以.A C sin2由A B C 180可得sinB cos2B 2sin2B cos.2一. B 一由于cos 0, 2皿B 1 一一.故 s

12、in-,因此 B=60 .2 2(2)由题设及(1知 ABC的面积SAabc-3a .4由正弦定理得acsin AsinCsin 120 CsinC2tanC由于AABC为锐角三角形,< A<90° ,0° < C<90.由1知 A+C=120° ,所以 30° < C<90° ,故13 -2 a 2 ,从而Sa abc因此, ABC面积的取值范围是 叵也8219.解：(1)由得ADPBE, CGPBE所以ADPCG故AD CG1定一个平面,从而 A C,加点共面.由得AB BE AB BC,故AB平面BCG

13、E又由于AB 平面ABC所以平面ABC平面BCGE(2)取CGJ中点M连结EM DM.由于AB/ DE AB 平面BCGE所以DE 平面BCGE故DE CG由,四边形 BCGE菱形,且/ EB060.彳# EM CG故CG 平面DEM因止匕DM CG 在 RtA DEIW, DE=1, EM=J3,故DM=2.所以四边形ACGD面积为4.20.解：(1) f (x) 6x2 2ax 2x(3x a).令 f (x) 0,得 x=0 或 x a .3a假设 a>0,那么当 x (,0) U -,3a .时,f (x) 0 ；当 x 0,-时,f (x) 0 3故f (x)在(0)-单调递增

14、,在 0 ,-单调递减;''3'3假设a=0, f (x)在(,)单调递增;假设a<0,那么当x,a U(0,)时,f (x) 0 ；当 x 3-,0 时,f (x) 0 3故f (x)在,(0,)单调递增,在 1,0单调递减.-,1单调递增,所以3f (x)在0,1a当0 a 3时,由(1)知,f(x)在0,a单调递减,在3. . a a3 一 . 一一 一 .一一的最小值为f - 2,最大值为f (0)=2或f (1)=4 a ,于是327274 a,0 a 2,2,2 a 3.3一 a 一 一所以M m2 a ,0 a 2, 273a ,2 a 3.273a

15、一一 当0 a 2时,可知2 a 单调递减,所以 M m的取值范围是273当2 a 3时,-单调递增,所以M27m的取值范围是-8,1).27综上,M m的取值范围是-8,2).2721 .解：(1)设 D t, 1 , A x, y1,那么 x2 2y .21y1由于y' x ,所以切线DA勺斜率为x1,故2 x1 .x1 t整理得 2 tx1 2 y1+1=0.设 B x2, y2 ,同理可得 2tx2 2 y2+1=0 .故直线AB勺方程为2tx 2y 1 0 .1所以直线ABi定点(0,).21(2)由(1)得直线AB勺万程为y tx 1 .21y tx 由 2 2 ,可得 x

16、2 2tx 1 0 . xy金2于正 X & 2t, y y2 t x x21 2t 1.1设Ml线段AB勺中点,那么M t,t2 12uuuu 由于EMuuu uuuuAB,而 EM2 uuut,t2 2 ,AB与向量1, t平行,所以tt22 t 0 .解得t=0或t当t=0时,uuuu| EM |=2,所求圆的方程为225/x y -4;2.2uuuu _c 51时,|EM | J2,所求圆的方程为x2 y -2222.解：1由题设可得,弧Ab, ?c,Cd所在圆的极坐标方程分别为2cos2sin2cos所以M i的极坐标方程为2cos 0M2的极坐标方程为2sinM3的极坐标方程为2cos假设一4什3冗右一443冗 那么42sin2cos解得花二；6冗T或35冗6综上,用勺极坐标为23.解：1)由于(x1) (y1)2(z 1)(x1)2 (y 1)2(z 1)2 2(x 1)(y1) (y1)(z 1) (z 1)(x1)_2223 (x 1) (y 1) (z 1),故由得(x 1)2