历年全国理科数学高考试题精选

1、历年全国理科数学高考试题精选2011年高考试题1.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如 右图所示，则相应的俯视图可以为2.已知矩形 ABCD的顶点都在半径为4的球。的球面上，且 AB 6,BC 2 ,则棱锥O ABCD的体积为3 .如图，四棱锥 ABCD中，底面ABCD为平行四边形，/ DAB=60,AB=2AD,PDL底面 ABCD.(I )证明：PA! BD;(H )若PD=AD,求二面角A-PB-C的余弦值。4 .(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图，D, E分别为 ABC的边AB, AC上的点，且不与 ABC的顶点重合.已知AE的长为m, AC的长为n, AD, AB的

2、长是关于x的方程x2 14x mn 0的两个根.证明：C, B, D, E四点共圆；(II)若A 90 ,且m 4,n 6,求C, B, D, E所在圆的半径.3.解：（I ）因为 DAB 60 ,AB 2AD ,由余弦定理得 BD J3AD从而 BD2+AD2= AB2,故 BD AD又PD 底面ABCD,可得BD PD所以BD 平面PAD.故PA BD（n）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线 DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz,则A 1,0,0 , B 0,/3,01,/3,0P 0,0,1 ouuv _ uuvAB ( 1, . 3,0), PB(0, . 3,uu

3、v 1),BC设平面PAB的法向量为n= (x,即J3y 0因此可取n=( 3,1, j3)y, z),则设平面PBC的法向量为uur(m股。m BC 0,可取 m= (0,-1,73)8sm，n 2；2/77故二面角A-PB-C的余弦值为4.解：（I）连接DE,根据题意在 ADE和 4ACB 中,ADX AB=mn=AEK AC口 AD AE，一即 .又 / DAE=Z CAB,从而 AD& ACBAC AB因止匕/ ADE=Z ACB所以C, B,D, E四点共圆。(n ) m=4n=6时，方程4-14x+mn=0 的两根为 xi=2x2=12.故 AD=2AB=12.取CE的中点G, D

4、B的中点F,分另1J过G, F作AC, AB的垂线，两垂线相交于 H点，连接DH.因为C, B,D, E四点共圆，所以 C, B, D, E四点所在圆的圆心为 H,半径为DH.由于 ZA=900,故 GH/ AB, HF/ AC. HF=AG=5 DF= 1(12-2)=5.故C, B, D, E四点所在圆的半径为 5、F22010年高考试题1 .正方体ABCD-ABQiDi中，BBl与平面ACDi所成角的余弦值为A二B遮C 2 D下 3333unv uuv2 .已知圆。的半径为1, PA、PB为该圆的两条切线，A B为俩切点，那么 PA?PB的最小值为(A)4, 2(B)3. 2 (C)4

5、2 2 (D)3 2123 .已知在半径为2的球面上有 A、B、C D四点，若AB=CD=2则四面体ABCD勺体积的最大值为(A) 2-1(B)4-1(C)2 3(D)区1333a4 .本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效)如图，四棱锥 S-ABCD43, SD 底面 ABCD AB/DC , AD DQ AB=AD=1DC=SD=2 E为棱SB上的一点,平面 EDC 平面SBC.(I)证明：SE=2EB(II)求二面角 A-DE-C的大小1. D 2. D 3. B4.解法一：(I)连接BD,取DC的中点G,连接BG,由此知 DG GC BG 1,即 ABC为直角三角形，故 BC B

6、D.又SD 平面ABCD,故BC SD,所以，BC 平面BDS,BC DE.作BK EC,K为垂足，因平面 EDC 平面SBC ,故BK 平面EDC, BK DE,DE与平面SBC内的两条相交直线 BK BCfB垂直D已平面 SBG DU EC,D已SBSB .SD2 DB2,62、63DE SDgDB 2 SB .3EB . DB2- DE2-,SE SB-EB3所以，SE=2EB2EB,AB SA 知(n)由 SA Jsd2 ad2 75, AB 1,SE .22.12AE J -SA -AB1,又AD=1:33故ADE为等腰三角形.取 ED 中点 F,连接 AF,则 AF DE, AF

7、JaD2 DF 2 3连接 FG ，则 FG /EC, FG DE .所一以， AFG是二面角A DE C的平面角连接 AG,AG=:2, FGDG2 DF2 号,所以，二面角ADE C的大小为120。AF2 FG2 AG21cosAFG 一2gAF gFG2解法以D为坐标原点，射线 DA为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系D xyz,设 A(1,0,0),则 B(1,1,0),C(020),S(0,0,2)uuruuir(I) SC (0,2,-2), BC (-1,1,0)设平面SBC的法向量为n=(a, b, c) uuuuur uuu uuir由 n SC, n BC ,得 ngS

8、C 0,ngBC 0故 2b-2c=0,-a+b=0令 a=1,则 b=c,c=1,n=(1,1,1)uuruur又设SEEB(0),则E( -uuurDE (1,立)112 uur,-,),DC11(0,2,0)设平面CDE的法向量m=(x,y,z)由 m DE,m DC ,得m DE 0 , m DC 0,x y 2z故-0,2y 0.111令 x 2,则 m (2,0,).由平面 DECL平面 SBC得 m n, mgn 0,20,2故 SE=2EB-2 2 2、.一1 1 1、朝，2 11(n )由(i)知 E(-),取 DE的中点 F,则 F (-,-,-), FA (-, -, -

9、), 3 3 33 3 33 3 3uuu uuur故FAgDE 0,由此得FA DEuur 2 42 uur uuir又 EC (-,-,),故 ECgDE 0,由此得 EC DE , 3 3 3uur uuu向量FA与EC的夹角等于二面角 A DE C的平面角urrr uuruuur uuirFAcEC1于是 cos(FA, EC) -utu uuu-|FA|EC| 2所以，二面角 A DE C的大小为120o2009年高考试题1 .已知三棱柱 ABC AB1C1的侧棱与底面边长都相等,A在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CCi所成的角的余弦值为()(A)与(B)手(C)

10、7L(D)32 .已知二面角 l为60o ,动点P、Q分别在面“、3内，P至好的距离为 串,Q到“的距离为2黎,则P、Q两点之间距离的最小值为()(A)(B)2(C)2,3(D)43 .直三棱柱ABC A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB AC AA 2, BAC 120，则此球的表面积等于4 .(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效)如图，四棱锥 S ABCD中，底面ABCD为矩形，SD 底面ABCD ,AD J2, DC SD 2,点 M在侧棱 SC上， ABM =60(I )证明：M在侧棱SC的中点(II )求二面角 S AM B的大小。所成的角,由三角余弦定理，易知cos

11、1 .解：设BC的中点为D,连ZAd, AD,易知AAB即为异面直线 AB与CC1AD AD 3 cos AAD cos DABA1A AB 4故选D2 .解：如图分另1J作 QA于A, AC l于C,PB于B,PD l于 D ,连 CQ, BD则 ACQ PBD 60 ,AQ 2/3, BP B AC PD 2又 QPQ /AQ2 AP2,12 AP2 2 3当且仅当AP 0,即点A与点P重合时取最小值。故答案选 Co3 .解：在 ABC中AB AC 2, BAC 120，可得BC 2J3 ,由正弦定理，可得 ABC外接圆半径r=2 设此圆圆心为O ,球心为。，在RT OBO中，易得球半径

12、R J5,故此球的表面积为 4 R2 20 .解法一：(I)作ME / CD交SD于点E,则ME / AB , ME 平面SAD 连接AE,则四边形 ABM叨直角梯形 作MF AB ,垂足为F,则AFM助矩形设 ME x,则 SE x, AE Jed2 ad2 J(2 x)2 2MF AE , (2 x)2 2, FB 2 x由 MF FB ?tan60,得 J(2 x)2 2 73(2 x)解得x 1r 一，一1即ME 1,从而ME 1DC2所以M为侧棱SC的中点(n) MB JBC2 MC2 2,又 ABM 60o, AB 2,所以 ABM 为等边三角形， 又由(I )知M为SC中点SM

13、亚,SA 而 AM 2,故 SA2 SM2 AM 2, SMA 90o取AM中点G,连结BG取SA中点H,连结GH则BG AM ,GH AM ,由此知 BGH为二面角S AM B的平面角连接BH ,在 BGH中,-3BG AM23, GH 1SM -XbHAB2 AH 2 22222所以cosBGHBG2 GH 2 BH 262?BG?GHVB的大/、为arccos(.面角S AM解法二：以D为坐标原点，射线 DA为x轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系D-xyz设 A(&0),则 B(械 2,0), C(0,2,0), S(0,0, 2)(I)设 SM MC( 0),则M(0,-2-,-),M

14、B (2二)1111又 AB (0,2,0), MB, AB 60o故 MB?AB |MB |?| AB|cos60o即:(5)2 (J )2 (J)2111解得 1,即SM mc所以M为侧棱SC的中点(II )由 M (0,1,1),A(V2,0,0),得 AM的中点 G(,1,1)2 2 2又GB (22,3, 1),ms (o, i,i),AM ( .2,1,1)Gb?AM 0,Ms?AM 0所以 GB AM, ms AM因此(GB, MS)等于二面角S AM B的平面角GB?MS.6cos GB, MS -=|GB|?|MS|3，山66所以一面角S AM B的大小为arccos()20

15、08年高考试题1 .已知三棱柱ABC ABC）的侧棱与底面边长都相等， A在底面ABC内的射影为 ABC的中心，则AB与底面ABC所成角的正弦值等于,3C.3D.、2B. 32.等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB ，面角C AB D的余弦值为 q , M、N分别是ACBC的中点，则EM、AN所成角的余弦值等于3.（本小题满分 12分）四棱锥 A BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面 ABC 底面BCDE , BC 2,(I)证明：AD CE ;（n）设CE与平面ABE所成的角为45,求二面角C AD E的大小.AED1.B2.答案：1.63.解：（I）作AO, BC,垂足为 O,连

16、接OD,由题设知，AO,底面BCDE且O为BC中点,OC CD1 .由。 上知，RtAOCDRtCDECD DE.2从而/ ODC=/ CED,于是 CE! OD,由三垂线定理知，AD CE（II）由题意，BEX BC,所以BEX侧面 ABC,又BE 侧面ABE,所以侧面 ABE1侧面 ABQ 作CH AB,垂足为F,连接FE,则CH平面 ABE故/ CEF为CE与平面ABE所成的角，/ CEF=45由 CE= ,得 cf=V3又BC=2,因而/ ABC=60 ,所以4 ABC为等边三角形作CG,AD,垂足为 G,连接GE。由（I）知，CE AD,又 CEA CG=G故AD,平面 CGE，AD

17、GE, / CGE是二面角 C-AD-E的平面角。CG=AC CDAD2226.3212DE AD2 ( DE)2GE=:2AD皆,CE近222CG2 GE2 CE2cos/ CGE=2CG GE410 c6_3_3c 2 J03.3.1010所以二面角C-AD-E为arccos（,10布)BCDE且O为BC的中点，以 O为坐标原点，射线 OC为x解法二：(I)作AO BC,垂足为O,则AO,底面轴正向，建立如图所示的直角坐标系 O-xyz.设A (0,0,t),由已知条件有C(1,0,0), D(1, 2 ,0), E(-1,2,0),CE (2, ,2,0), AD (1, .2, t)所以 CE AD 0 ,得 AD CE(II)作CFAB,垂足为F,连接FE,设 F (x,0,z)则 CF =(x-1,0,z),BE (0, 2,0),CF BE 0故 CF BE,又 ABA BE=B,所以 CFL平面 ABE,/C