第17讲第四章,二阶线性方程的特征理论

1、数学物理方程Equations of mathematical physics 姚志远南京航空航天大学航空宇航学院Z第四章二阶线性偏微分方程的分类和总结1、特征概念 不同类型的方程有不同的特征线，而不同的特征线决定不同的方程。或者说，不同特征线的方程表现出不同的特性，因此，有必要进一步地讨论特征线与特征面的理论，简称特征理论。弱间断解 对于一个具有n个自变量的二阶方程来讲，若有一个函数u在某个n维区间内有一阶连续偏导数，且在此区域内除一个（n-1）维光滑曲面S外，有二阶连续偏导数，并处处满足方程，同时u的二阶偏导数在S上的左右极限存在，那么称这个函数u为方程的弱间断解。 1 二阶线性偏微分方程

2、的特征理论和1()f xat它在 =常数的特征线上为常数。例如，对弦振动方程。其解为2(1)1( )01xxxx2()fxatxat如果在t=0时取值为其解为2()1)1( )01xatxatu xxat其解在 处为间断面。1xat2.特征方程12( ,)nx xx其中 及 为已知函数。 在n维空间 考虑的某个区间 上，考虑下面二阶线性方程问：在什么条件下一个超曲面, ( ,1,), ijia b i jn c(2.1)2,11 nnijiii jiijuabucufx xf12( ,)0nx xx(2.2)可以成为方程（2.1）的某个弱解u的弱间断面？分类讨论分解21212112211212

3、12112211ddddaaa ayxaaaa ayxa(1)在点附近00(,)x y21211220aa a(1.10)(1.9)则(1.8)的积分曲线为两不相同的实线。为1( , )x yc2( , )x yc和1( , )x y2( , )x y令 方程(1.4)式化为uAuBuCuD(1.11)作变换11(),()22stst方程(1.11)式化为1111ssttstuuAuBuCuD(1.12)（2）在点00(,)x y任选与1( , )x yc的领域无关的21211220aa a方程(1.8)有唯一解2( , )x yc1c由于有21211220aa a 因此12111222112

4、21122()()()xxxyyxyyxyxyaaaaaaaa 11120,0aa方程(1.4)式化为1111uAuBuCuD(1.13)作变换101( , )d2Bvue 方程(1.13)式化为222vA uC uD(1.14)（3）在点00(,)x y的领域21211220aa a方程(1.8)有复函数解12( , )( , ) i( , )x yx yx yc 首先证明 线性无关。由于由于将实部、虚部分开得到(1.16)12( , ),( , )x yx y21112112212(i)xyaaa aa2111212112221112121122)xyyxyyaaaa aaaaa a结论成

5、立其雅可比行列式为21122122211()0 xyyyxya aaa将代入(1.7)得到 i22221112221112222111212112222)xxyyxxxyyxyyaaaaaaaaaa a 由（1.6)式，方程(1.1)化为 uuAuBuCuD(1.17)3.方程的分类 对于二次型 决定2211122221a la lma m若在点附近00(,)x y21211220aa a称方程在点为双曲型的；00(,)x y若在点附近00(,)x y21211220aa a称方程在点为抛物型的；00(,)x y若在点附近00(,)x y21211220aa a称方程在点为椭圆型的。00(,)x y例1 弦振动方程 其特征为 22220uutx和 xatcxatc作变换 和 xat xat有 解得 20u ()()uF xatG xat例2 特里科米方程 解得 22220uuyxy故 和 x3223y有 其特征方程为 22dd0y yxidd0y yx322i3xyc在椭圆区域