动点路径长专题(含答案)

1、动点路径长专题一.选择题（共2小题）1.如图，抛物线y=x? -lx-与直线y=x - 2交于A、B两点（点A在点B的左侧），动点P从A点岀发，先到达2 2抛物线的对称轴上的某点E,再到达x轴上的某点F,最后运动到点B.若使点P运动的总路径最短，则点P运动的总 路径的长为（）A.29B a/29C §D §2 如图，半径为4的OO中，CD为直径，弦AB丄CD且过半径0D的中点，点E为OO上一动点，CF丄AE于点F. 当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（）C 2V3二填空题（共9小题）3.（2 0 13鄂尔多斯）如图，直线y=-x+4与两坐标轴交A、B两

2、点，点P为线段OA上的动点，连接BP,过点A 作AM垂直于直线BP,垂足为M,当点P从点O运动到点A时，则点M运动路径的长为n °】2图34如图，半径为2cm圆心角为9 0。的扇形OAB的忑上有一运动的点P.从点P向半径OA引垂线PII交OA于点II.设厶OPH的内心为I当点P在忑上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为5. （20 11江西模拟）已知扇形的圆心角为60。，半径为1 ,将它沿着箭头方向无滑动滚动到O7VB，位宜, 点o到的路径是ootoiOtoq； 点o到o啲路径是芯$5訶l ； 点0在O冷O?段上运动路线是线段0102：点0到0,的所经过的路径长为£兀

3、.以上命题正确的是_ .6. （2 0 13宁徳）如图，在Rb ABC纸片中上C=9 0。, A C二B C = 4 ,点P在AC上运动，将纸片沿PB折叠，得到点C的对应点D （ P在C点时，点C的对应点是本身），则折叠过程对应点D的路径长是0 , P是线段AB上的动点,分别以AP、PB为边在线段A B的同侧作等边aACP和 PDB, 连接CD,设CD的中点为G,当点P从点A运动到点B时，则点G移动路径的长是8. （2013湖州）如图,已知点A是第一象限内横坐标为2岛的一个左点,AC丄x轴于点M,交直线y= - x于点N 若点P 是线段0N上的一个动点,z APB=30°,BA丄PA

4、,则点P在线段ON上运动时,A点不变.B点随之运动.求当点P 从点0运动到点N时，点B运动的路径长是9. （2013桂林）如图，已知线段AB=10, AC=BD= 2 ,点P是CD上一动点，分别以AP、PB为边向上.向下作正 方形APEF和PHKB,设正方形对角线的交点分别为01、02，当点P从点C运动到点D时，线段OiO2中点G的运动路径的长是.1 0 .（20 1 3*竹溪县模拟）如图:已知AB=1 0，点C、D在线段AB±且AC二DBJ P是线段CD上的动点，分别 以AP、PB为边在线段A B的同侧作等边 AEP和等边 PFB,连结EF,设EF的中点为G:当点P从点C运动 到点

5、D时,则点G移动路径的长是_ .1 1 如图，一根长为2米的木棒AB斜靠在墙角处，此时BC为1米，当A点下滑至A处并且A«C = 1米时，木棒AB的 中点P运动的路径长为米.三解答题（共1小题）12（2012义乌市模拟）如图,边长为4的等边 AOB的顶点O在坐标原点，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限一 动点P沿X轴以每秒1个单位长度的速度由点O向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间 是t秒.在点P的运动过程中，线段B P的中点为点E,将线段PE绕点P按顺时针方向旋转60。得PC.（1）当点P运动到线段0A的中点时，点C的坐标为_ ；（2）在点P从点0到点A的运动

6、过程中，用含t的代数式表示点C的坐标；（3）在点P从点0到点A的运动过程中，求出点C所经过的路径长.动点路径长专题参考答案与试题解析一选择题（共2小题）1.如图抛物线y直线y=x-2交于A. B两点（点A任点B的左侧），动点2 2P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E,再到达x轴上的某点F,最后运动到点B.若使点P运动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为（）A-V29B.29C 5PTE考点：二次函数综合题.专题：压轴题.分析：首先根据题意求得点A与B的坐标，求得抛物线的对称轴，然后作点A关于抛物线的对称轴x丄的对称点4AS作点B关于x轴的对称点BS连接NB：则直线AE，与直线x=l的

7、交点是E,与x轴的交点是F,而且4易得即是所求的长度.解答：解：如图/抛物线y=x2 - -ix -上与直线y= x - 2交于A、B两点，2 2 x2-ix -卫=x -2,2 2解得:x=l或x=J2当 X=1 时，y=x- 2=- 1 , 当 x=-|l时，y=x2=|,点A的坐标为（丄，点B的坐标为（1, -1）,2 2_丄 抛物线对称轴方程为* - 一鼻丄2X1 4作点A关于抛物线的对称轴X）的对称点A；作点B关于x轴的对称点B4连接AfB则直线与对称轴（直线xnl）的交点是E,与x轴的交点是F.4 BF=B，F,AE=AE点P运动的最短总路径是AE+EF+ F B=A# E +EF

8、+F B JAB, 延长BB：AA，相交于C, A/C=XX (1 J=l,Bt= 14 422 2AB 7az C2 + B C22- 点p运动的总路径的长为何2故选A.点评:此题考査了二次函数与一次函数的综合应用.注意找到点P运动的最短路径是解此题的关键，还要注意数 形结合与方程思想的应用.2.如图,半径为4的OO中，CD为直径，弦AB丄C D且过半径OD的中点，点E为O 0上一动点，CF丄AE于点F 当 点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（）A.V3 兀考点：圆的综合题.专题：压轴题.分析：连接AC.AO,由AB丄CD,利用垂径左理得到G为AB的中点，由中点的立义确左

9、出OG的长,在直角三角形 AOG中，由AO与OG的长，利用勾股左理求出AG的长，进而确定出AB的长，由CO + G 0求岀CG的长，在直角三角形AGC中，利用勾股泄理求出AC的长，由CF垂直于AE得到三角形A C F始终为直角三角形, 点F的运动轨迹为以AC为直径的半径，如图中红线所示，当E位于点B时，CG丄AE,此时F与G重合；当 E位于D时,CA丄AE,此时F与A重合，可得岀当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长亦.在直角三角形ACG中,利用锐角三角函数定义求出Z ACG的度数，进而确左出盒所对圆心角的度数,再由AC的长求出半径，利用弧长公式即可求出盒的长，即可求出点F所经

10、过的路径长. 解答：解:连接AC.AO, AB丄CD,G为AB的中点，即AG=BG=1aB,2TOO的半径为4,弦AB丄CD且过半径OD的中点，OG=2,在 RtA AOG 中，根据勾股左理得：AG=/ao2 _Og2L2V3. AB=2AG=4V3>又 CG=CO+GO=4+2= 6 ,在RtA A GC中，根据勾股左理得：ac=VaG2KG2=4CF丄AE, ACF始终是直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半圆，当E位于点B时，CGIAE,此时F与G重合：当E位于D时,CA丄AE,此时F与A重合,当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长亦，在RCACG中，5ZAC

11、G卷爭 z ACG = 30。,AG所对圆心角的度数为6 0。,直径AC= 4后血的长为空匕竺i色n180则当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为空Im3故选C点评：此题考查了圆的综合题,涉及的知识有:坐标与图形性质，勾股泄理，锐角三角函数上义，弧长公式，以及圆周角定理，其中根据题意得到点E从点B出发顺时针运动到点D时,点F所经过的路径长AG，是解本题的关键.二填空题（共9小题）3. （2 0 13鄂尔多斯）如图，直线y = - x+4与两坐标轴交A、B两点，点P为线段OA 上的动点，连接BP,过点A作AM垂直于直线BP,垂足为当点P从点O运动到 点A时，则点M运动路径的长为

12、出兀_考点：一次函数综合题.分析：根据直线与两坐标轴交点坐标的特点可得A、B两点坐标,由题意可得点M的路径是以A B的中点N为圆解答：解:VAM垂直于直线BP, z BMA = 90%点M的路径是以AB的中点N为圆心，AB长的一半为半径的心AB长的一半为半径的61求出玉的长度即可.连接ON./直线y= - x+4与两坐标轴交A、B两点,O A=OB=4,ON丄AB,A ZONA =90%AB 毗 *+ob2=4Q 2，ON=2逅.云=迹2血=血兀.180故答案为：点评：本题考査了二次函数的综合题，涉及了两坐标轴交点坐标及点的运动轨迹,难点在于根据Z BMC= 9 0。,判断 出点M的运动路径是

13、解题的关键，同学们要注意培养自己解答综合题的能力.方4如图，半径为2cm圆心角为9 0。的扇形OA B的AB上有一运动的点P从点P向半径OA引垂线PH交OA于点乩设厶OPH的内心为I,当点P在忑上从点A运动到点B时，内心I所经过的路 径长为 考点：弧长的计算;全等三角形的判左与性质;三角形的内切圆与内心.专题：计算题.如图，连 OLPL AI,由 aOPH 的内心为 I,可得至 Ijz P I 0=1 8 0 0 - z IPO -zIOP=18 0°-l (zHO2P+ZOPH) =1 3 5。,并且易证厶OP宜“OAI,得到Z AIO=ZPIO=13 5°,所以点I在以

14、OA为弦，并且 所对的圆周角为1 35。的一段劣弧上：过A、I、O三点作OO：如图，连O'A.OO.在优弧AO取点P,连PA, PO,可得Z APO=180°- 1 35°=45得Z AOO= 9 0。00士0人立垃乜，然后利用弧长公式计算弧2 2OA的长.解答：解:如图，连OI, PI, AI, 0P1I的内心为I, ZIOP=Z I OA, zIPO=zIPH, z PIO =180° -ZIPO-ZIOP=180°-A (z HOP+Z OPH),2而 PH丄OA,即z PH0=90%ZPIO=180°-A (Z HOP+z OP

15、H) =1 80 °-1(18 0°-90°)= 1 3 5°,2 2又V OP=OA,OI 公共，而z IOP=Z IOA, OPI旻厶OALZ AIO=Z PIO=135%所以点I在以O A为弦，并且所对的圆周角为135。的一段劣弧上: 过A、I、O三点作OOS如图，连OAOO在优弧A O取点P,连PA.PO. z AIO= 1 35%Z APO= 1 8 0°- 135°=45°,. z AOO=90°,而 O A=2cm,弧OA的长=空孑兀X '返=空1 ( c m).180 2所以内心I所经过的路

16、径长为返Em.2故答案为：亚Zm.2点评：本题考查了弧长的计算公式：I罟其中I表示弧长，"表示弧所对的圆心角的度数.同时考查了三角形内心的性质.三角形全等的判定与性质、圆周角立理和圆的内接四边形的性质.AOr5. (20 1 1江西模拟)已知扇形的圆心角为60。,半径为1 ,将它沿着 箭头方向无滑动滚动到位置， 点o到O啲路径是OO1TO1O2TO2O： 点0到O啲路径是函还芯还荷L； 点0在0段上运动路线是线段0102； 点0到0,的所经过的路径长为£兀.以上命题正确的是_考点：旋转的性质;弧长的计算.分析：圆心0由0到O1的路径是以A为圆心，以o A为半径的圆弧；由01

17、到6圆心所经过的路线是线段0102： 由。2到O：圆心经过的路径是:以B，为圆心，以CTB，为半径的圆弧据此即可判断.解答：解:圆心0由0到0的路径是以A为圆心，以O A为半径的圆弧；由01到02圆心所经过的路线是线段0102;由02到O；圆心经过的路径是：以B，为圆心，以OB为半径的圆弧. 故正确的是：.故答案为：.点评：本题主要考查了图形的旋转，正确确立圆心0经过的路线是解决本题的关键.6. （2013宁徳）如图，在R t A ABC纸片中,Z C=90°, AC=BC=4,点P在AC上运动，将纸片沿PB折叠,得到点C的对应点I） （P任C点时，点C的对应点是本身），则折叠过程对

18、应点D的路径 长是考点：翻折变换（折叠问题）：弧长的计算.分析：根据翻折变换的性质以及 ABC是等腰直角三角形判断出点D的路径是以点B为圆心，以BC的长为半径的扇形，然后利用弧长公式列式讣算即可得解.解答：解：ZC=9O°AC=BU ABC是等腰直角三角形，如图，点D的路径是以点B为圆心，以BC的长为半径的扇形, 路径长=90兀町心180点评:故答案为：2几本题考查了翻折变换的性质，弧长的计算，判断出点D的路径是扇形是解题的关键.A PBD7 如图，已知AB = 10.P是线段AB上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧 作等边AACP和APDB,连接CD,设CD的中点为G,当

19、点P从点A运动到点B时，则 点G移动路径的长是考点：三角形中位线定理：等边三角形的性质：平行四边形的判定与性质.专题：压轴题.分析：分别延长AC、B D交于点H,易证四边形CPDH为平行四边形，得出G为P II中点，则G的运行轨迹 HAB 的中位线MN,运用中位线的性质求出MN的长度即可.解答：解:如图，分别延长AC、BD交于点H,Z A=Z DPB=60%A AH II PD,/ Z B=Z CP A =60°. B II II PC.A PB四边形CPDH为平行四边形，CD与HP互相平分.T G为CD的中点，G正好为PH中点，即在P的运动过程中、G始终为PH的中点，所以G的运&q

20、uot;N寺即G的移动路径长为5.行轨迹为厶HAB的中位线MN.故答案为：5.点评：本题考査了三角形中位线左理及等边三角形的性质，解答本题的关键是作出辅助线，找到点G移动的规律,判断岀其运动路径，综合性较强.B& （2 0 13湖州）如图，已知点A是第一象限内横坐标为27兮的一个定点,ACv丄x轴于点M,交直线y =-x于点N.若点P是线段ON上的一个动点,Z APB=3y=-x'0°,BA丄PA,则点P在线段ON上运动时,A点不变，B点随之运动.求当点P 从点O运动到点N时，点B运动的路径长是_.-O考点：一次函数综合题.专题: 分析:解答:压轴题.（1）首先，需要

21、证明线段BoBn就是点B运动的路径（或轨迹），如答图所示.利用相似三角形可以证明; （2 ）其次，如答图所示，利用相似三角形 ABoBn- AON,求出线段BoB“的长度，即点B运动的路径 长.解：由题意可知,OM=2忑，点N任直线y=- x±.AC±x轴于点仏则厶0卜氓为等腰直角三角形， ON=V2OM=V2x 2a/3= 2V&-如答图所示，设动点P在O点（起点）时，点B的位置为Bu,动点P在N点（终点）时,点B的位置为Bn，连接BBn./ AO丄 ABo, AN丄ABnj.z O AC=Z B（）AB“，又 ABo=AO t a n3 0°,ABn=

22、AN>tan3 0% . ABo：AO=A AN=tan30A A ABoBn- AON,且相似比为tan30% BoBn= ONt a n3 0°= 271=2血.3现在来证明线段Bo Bn就是点B运动的路径（或轨迹）.如答图所示，半点P运动至ON上的任一点时，设其对应的点B为Bi,连接A P,AB |, BoBj.T AO丄AB°,AP丄 A Bj,. z OAP=Z BoAB i,C又 T ABo= AO t an 3 0 ABj=APet a n 3 0 °,.e. AB。： AO=A B 丨:AP,二 AB（）B 广 AOP,. Z AB（）Bi=

23、z AO P.又 ABoB厶 A ONJ. Z AB（）Bn=Z AOP,Z A B（）Bj=Z A B（）Bn,.点Bi在线段BoBn上，即线段BoBn就是点B运动的路径（或轨迹）. 综上所述，点B运动的路径（或轨迹）是线段B（）Bn，其长度为厶迈. 故答案为：2V2.点评:本题考查坐标平而内由相似关系确左的点的运动轨迹，难度很大.本题的要点有两个:首先，确左点B的运动路径是本题的核心，这要求考生有很好的空间想象能力和分析问题的能力；其次，由相似关系求出点B运动路径的长度，可以大幅简化讣算避免陷入坐标关系的复杂运算之中.9. （2013桂林）如图，已知线段AB=10, AC=B D=2点P是

24、CD ± 一动点, 以AP、P. Bc/ EAPB为边向上、向下作正方形A PEF和P II KB,设正方形对角线的交点分别 02,当点P从点C运动到点D时，线段502中点G的运动路径的长是考点: 专题: 分析: 解答:正方形的性质：轨迹.压轴题.根据正方形的性质以及勾股龙理即可得出正方形对角线的长,进而得出线段OQ2中点G的运动路径的长. 解:如图所示:当P移动到C点以及I）点时，得出G点移动路线是直线，利用正方形的性质即线段0 102中点G的运动路径的长就是020”的长，线段AB=10, AC=BD=2,当P与C重合时，以AP、PB为边向上.向下作正方形APEF和PIIKB,AP

25、=2, BP= & 则O2P=4V2. O2P=O ?B=4V2当P与D重合，则PZB= 2 ,则APJ8,op=4VOP= iro=BO=V，020=皿-近=3叵 故答案为：屹A CEP /Efoypfo；点评:H此题主要考查了正方形的性质以及勾股定理等知识，根据已知得出G点移动的路线是解题关键.10. （2013竹溪县模拟）如图:已知AB=10,点C、D在线段AB±且A C=DB=1;P 是线段CD ±的动点，分別以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边 AEP和等边 PFB.连结EF,设EF的中点为G:当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的 长是B考点：三角

26、形中位线左理;等边三角形的性质;平行四边形的判怎与性质.分析：分別延长AE、BF交于点H易证四边形EPF H为平行四边形，得出G为PH中点，则G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN.再求出CD的长，运用中位线的性质求出MN的长度即可.解答:解:如图，分别延长AE、BF交于点H, Z A=z FPB=60°, AHII PEZB=Z EPA=6 0% BHII PE,四边形EPFH为平行四边形，EF与HP互相平分.T G为EF的中点，.G正好为PH中点，即在P的运动过程中，G始终为PH的中点, 所以G的运行轨迹为三角形IICD的中位线MN.HA C pD B/CD=10- 1 - 1=

27、&为01、MN=4,即G的移动路径长为4. 故答案为:4点评：本题考查了三角形中位线左理及等边三角形的性质，解答本题的关键是作出辅助线,找到点G移动的规律,判断岀瓦运动路径,综合性较强.11 如图，一根长为2米的木棒A B斜靠在墙角处，此时BC为1米，当A点下滑至A处并且AC=1 TT米时，木棒AB的中点P运动的路径长为米考点：勾股左理的应用;弧长的讣算.专题:压轴题.分析：先根据三角函数求出Z B AC的度数，再根拯直角三角形的性质得到Z ACP的度数，同理求出Z的度数，可得Z PCP啲度数，再根据弧长的计算公式求解即可. 解答：解：连接CP, CP. z ACB=90% BC=米,

28、AJB=2 米， z BAG30。，TP是木棒AB的中点，PC=PA=1米， z PCA=30°,同理求出Z BQPJ3 0。，则 z PCP#=30°,木棒AB的中点P运动的路径长为：理2小1二米3606故答案为：二米.6点评：考查了三角函数，直角三角形的性质和弧长的计算公式，木棒AB的中点P运动的路径为半径为1的扇形的弧 长.三.解答题（共1小题）12. （2012义乌市模拟）如图，边长为4的等边 AOB的顶点O在坐标原点，点A 在x轴正半轴上，点B在第一象限.一动点P沿x轴以每秒1个单位长度的速度由 点O向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒.在 点P的运动过程中，线段B P的中点为点E ,将线段PE绕点P按顺时针方向旋转6 0