二次函数的解析式的确定

1、内容分析二次函数解析式的确定二次函数的学习必然离不开二次函数解析式的确定， 因为求解二次函数的解 析式是二次函数知识的实际运用中的必不可少的一环 .本讲主要讲解利用二次函 数的一般式、顶点式和交点式，以及通过二次函数的平移和对称求解二次函数解 析式的方法，重点在于根据不同的条件，灵活选择求解二次函数解析式的方法， 从而快速准确的确定二次函数的解析式.!知识结构模块一：一般式 y = ax2 + bx + c （ a，0 ）知识精讲例题解析【例1】已知二次函数的图像经过点 A (_1, 4)、B (0, 4)和C (1, 1).求这个二次函数的解析式.【难度】2【答案】y =2x +3x -4

2、.【解析】设二次函数为 y=ax2 +bx+c,把A、B、C代入二次函数解析式，可得：a-b c=-5a=2c c=M ，解得Jb=3.所以这个二次函数的解析式：y=2x2+3x_4.a b c =1c - -4【总结】考查学生利用一般式求解二次函数解析式，解三元一次方程组.【例2】已知二次函数y=ax2+bx+c图像经过点(0,3)、(3,0)、(2 ,-5).(1)求这个二次函数的解析式；(2)求这个二次函数的最值.【难度】【答案】(1) y = -x2+2x+3； (2)函数有最大值，最大值为y=4.【解析】(1)把(0, 3)、 ( 3, 0)、 ( -2 , 5)代入二次函数解析式，

3、可得：c =3a = -1«9a+3b+c=0 ,解得«b = 2 ,所以这个二次函数的解析式：y=x2+2x+3;I4a -2b c - -5c = 3(2) y =-x2 +2x+3 = -(x1)2十4 ,则当x =1时，函数有最大值，最大值为y=4.【总结】考查学生利用一般式求解二次函数解析式，解三元一次方程组.【例3】已知抛物线y =ax2+bx+c经过点A (2, 3)、B (0, 3)、C (4, -5).(1)求该抛物线的解析式；(2)当x为何值时，y >3?【难度】【答案】(1) y = 72+2x+3； (2) 0<x<3.【解析】(1

4、)把A (2, 3)、B (0, 3)、C (4, -5)代入二次函数解析式，可得：414a 2b c =3a = -1. 一 I -9c c=3,解得/b=2 .所以抛物线的解析式为：y=_x +2x + 3;I16a 4b c - -5c =32万法二：也可以利用 AB关于直线x=1对称，设二次函数解析式为 y = a(x-1) +k求解.(2)利用图像性质可得，当抛物线与直线y =3交于点(0,3) , (2 ,3),故0<x <3时，y >3.【总结】考查学生利用一般式求解二次函数解析式，解三元一次方程组以及根据图像求自变量范围.【例4】 已知二次函数的图像经过点(0

5、, 3)、(_3, 0)、(2, -5),且与x轴交于A、B两点.(1)试确定该二次函数的解析式；(2)判定点P ( -2, 3)是否在这个图像上，并说明理由；(3)求APAB的面积.【难度】【答案】(1) y = -x22x+3； (2)在；(3) 6.【解析】(1)设二次函数为y=ax2+bx+c,把(0,3)、(一3,0)、(2,-5 )代入二4a 2b c = -5a = -1次函数解析式，可得：cc=3，解得2b=-2.I 9a -3b c=0c =32 所以二次函数的解析式为：y=x 2x+3;(2)把x=-2代入解析式，可得：y=22 +2 2 +3=3,所以点P( -2 , 3

6、)在函数图像上.1(3) A(-3, 0)、B(1, 0),可得 AB =4 , S&BP =4父3M1 =6 .解三元一次方程组和简单数形结合三角【总结】考查学生利用一般式求解二次函数解析式, 形面积求解.模块二：顶点式 y = a ( x + m )2 + k( a，0 )知识精讲一r、21、 顶点式：y=a(x+mj+k (a=0)(1)任何二次函数经过配方都可以整理成y=a(x+mj+k (a=0)的形式，这叫做二次函数的顶点式，而(mn , k)为抛物线的顶点坐标；(2)如果已知二次函数的顶点坐标和图像上任意一点的坐标，都可以用顶点式来求解二次 函数的解析式；(3)对于任意的

7、二次函数 y =ax2 +bx +c ,都可以配方为:y=ax+M +”22a 4a的形例题解析【例5】 抛物线y =2x2+bx+c的顶点坐标是(1, 2),贝U b =【答案】-4; 0.【解析】设抛物线解析式为y =2(x+m)2 +k ,因为顶点坐标为(1, -2 ),所以m = -1, k =-2 ,22所以 y =2(x -1) -2 =2x -4x +0 .故 b = -4 , c = 0.【总结】考查学生利用顶点式求解二次函数解析式，以及解方程.【例6】 已知抛物线的顶点坐标为（4, _1）,与y轴交于点（0, 3）,求这条抛物线的解析式.【答案】yx2-2x+3. 4【解析】

8、设抛物线解析式为- 2y=a(x+m) +k ,因为顶点坐标为(4, 1),所以m =4 , k=1,所以 y =a(x -4)2 -1 ,1再把（0, 3）代入，即得a =24所以抛物线的解析式为:1 2y= x 2x+3. 4【总结】考查学生利用顶点式求解二次函数解析式，以及解方程.【例7】 如果a >0 , b >0 , c >0 , b2 -4ac>0 ,那么抛物线y = ax2+bx+ c经过第象限.【难度】【答案】一二四.【解析】根据a >0 ,可得开口向上；根据 b>0,可得对称轴在y轴左侧，根据c>0 ,可得2与y轴父于正半轴，由b -

9、4ac>0 ,可得与x轴有两个父点，所以大致图像如下：【总结】考查学生根据顶点式以及系数与0大小关系判断图像.【例10】已知抛物线过点（3, 2）、（0, 5）两点，且以直线 x = 2为对称轴，求此抛数的解析式.【难度】【答案】y =2x2 -8x +11 .【解析】.当x = 2时，函数有最小值 3, 设二次函数解析式为 y=a(x2)2+3,把(1, 5)代入函数解析式可得 a =2 .2，二次函数的解析式为：y =2x 8x+11 .【总结】考查学生利用顶点式求解二次函数解析式，以及解方程.【例9】 已知二次函数的图像的顶点坐标为A (2, 1)且图像与x轴的两个交点为 B、C

10、(点B在点C的左侧)，若 MBC是等腰直角三角形，求这个二次函数的解析式.【难度】【答案】y =-x2 +4x -3 .【解析】过点 A作AH，BC于点H ,可得AH=1 ,MBC 是等腰直角三角形， BH=AH = CH=1 ,即得 B (1, 0) , C (3, 0);二次函数的图像的顶点坐标为A (2, 1),. .设 y =a(x -2)2 +1 ,把B或C代入可得a = 1 .所以二次函数的解析式为：y = x2 +4x 3 .八yA_x O B H C【总结】考查学生利用几何知识求解顶点坐标，再根据顶点式求解二次函数解析式，以及解方程.物线的解析式.【难度】【答案】y =x2 -

11、4x +5 .【解析】.函数以直线 x = 2为对称轴，、一 一一 . -2.，设二次函数解析式为 y=a（x2） +k ,把点（3, 2）、（0, 5）代入,可得 a =1, k=1 ,2,= y =（x -2）+1 .【总结】考查学生利用对称轴，设立顶点式求解二次函数解析式，以及解方程.【例12】已知二次函数 y =ax2 +bx+c 的图像经过点 M ( 1,0)、N(4, 0)、P (1, 12)模块二：交点式 y = a ( x -Xi ) ( x X2) ( a，0 )知识精讲1、交点式 y = a(x xi X x 一.)(a #0 )(1)交点式：y=a(xxi x -x2 )

12、 (a#0),其中xi , x2为二次函数图像与 x轴的两个交点的横坐标;(2)已知二次函数与 x轴的交点坐标，和图像上任意一点时，可用交点式求解二次函数解析式；(3)已知二次函数与x轴的交点坐标(xn 0)、( x2, 0),可知其对称轴为x = x1 +x【例ii】已知二次函数的图像经过点(2,0)、(i, 0),且与y轴的交点的纵坐标为3,求这个二次函数的解析式.【难度】【答案】y=3x2 -3x+3.22【解析二次函数的图像经过点(-2,0)、 (i, 0),3二设二次函数解析式为 y =a(x+2)(xi),把(0, 3)代入，可得a=-一. 2(4)根据二次函数的对称性可知，对于函

13、数图像上的两点(x1, a)、( x2, a),如果它们有相同的纵坐标，则可知二次函数的对称轴为x=上土上；2(5)对于任意二次函数 y =ax2 +bx +c ,当x =0时，即ax2 +bx + c=0 ,根据一元二次方b . b2 -4ac-bb2 -4ac2a程的求根公式可得：xi =、 x (6)对称式：y =a(xx)(xx2)+k (a¥0),当抛物线经过点(xi, k)、( x2, k)时,可以用对称式来求解二次函数的解析式.例题解析三点，求这个二次函数的解析式.【难度】【答案】y =2x2 -6x -8 .【解析二次函数的图像经过点M ( 1 , 0)、N (4,

14、0),，设二次函数解析式为 y =a(x +1)(x-4),把P (1, 12)代入，可得a =2.2，这个二次函数的解析式为：y=2x -6x-8 .【总结】考查学生利用交点式求解二次函数解析式，以及解方程.【例13】已知二次函数的图形与 x轴的交点坐标是(1,0), (3, 0),且函数有最小值 -5,求二次函数的解析式.【难度】【答案】y =5x2 -20x +15 .【解析】二次函数的图形与 x轴的交点坐标是(1, 0), (3, 0),设二次函数解析式为 y =a(x1)(x3), (1, 0), (3, 0)关于直线x=2对称，函数顶点为(2,5), 把(2,5)代入，可得a=5.

15、、. .2.万法二：也可以使用顶点公式y=a(x2) 5,把(1, 0), (3, 0)代入.【总结】考查学生利用交点式求解二次函数解析式，以及解方程.【例14】 已知抛物线，当x = 3时，抛物线有最高点，最高点的纵坐标为 1,且图像与x 轴的两个交点之间的距离为 2,求这个抛物线的解析式.【难度】【答案】y =-x2 +6x -8 .【解析】.当x = 3时，抛物线最高点的纵坐标为1,，顶点坐标为(3,1),又.图像与x轴的两个交点之间的距离为2, .与x轴的交点为(2,0) (4,0),二设二次函数解析式为 y =a(x2)(x-4)，把(3,1)代入，可得a=1.方法二：也可设顶点式.

16、以及解【总结】考查学生如何求出与 x轴交点坐标，然后利用交点式求解二次函数解析式, 方程.抛物线的解析式.【难度】【答案】y=_1x2 +x+3.12【解析】抛物线 y =ax2+bx+c经过(0, 3)、(12, 3),，对称轴为直线 x=6,2,一顶点的纵坐标为 6,，顶点坐标为(6,6)设二次函数解析式为y=a(x 6) +6,11 2，把(0, 3)代入，可得a= .所以抛物线的解析式为：y = x2+x+3.1212方法二：也可把解析式设成y =a(x -0)(x -12) +3的形式再求解.【总结】考查学生根据交点式的特点，利用平移的特点设交点式求解二次函数解析式，以及解方程.【例

17、16】已知二次函数的图像与 x轴交于点A( -1 , 0)、B (4, 0),与y轴交于点C,且S&BC =10,求二次函数的解析式.【难度】【答案】y=-x2+3x+4； y=x2-3x-4.1【解析】 A ( 1 , 0)、B (4, 0) , S小bc =3 AB OC =10 ; . . AB =5, OC =4 ;与x轴的交点为(1, 0)、(4, 0) ,设二次函数解析式为y=a(x+1)(x4),，分别把C(0, 4)代入可得a =7,把C'(0, 4)代入可得a=1. 22，一次函数的解析式为y =x +3x+4 ; y =x -3x -4 .【总结】考查学生根

18、据几何知识求交点坐标，然后设交点式求解二次函数解析式，以及解方程.模块四：二次函数的平移知识精讲1、几种特殊的二次函数解析式之间的平移关系:2 ，一 一，2、 一次函数 y =ax +bx +c的平移(1)将二次函数y=ax2 +bx+c左右平移：2向左平移 m个单位，函数斛析式变为y =a(x+m ) +b(x+m )+c ;例题解析【例17】把抛物线y =ax2 +bx+c向右平移4个单位，再向下平移 6个单位，所得抛物线的解析式为y=-1x2,求原来抛物线的解析式. 2【难度】【答案】 y = - x2 -4x -2 . 2【解析】根据平移法则即可，注意题目求的是原函数解析式，y =1(

19、x + 4)2 +6 .【总结】主要考查二次函数的平移，注意看清楚谁是由谁平移的.3 o 【例18】怎样平移抛物线y= x2,才能使它经过点M ( -1 , 2)和N (1 , -1)两点?4【难度】【答案】先向左平移 1个单位，再向上平移 2个单位.【解析】设抛物线向左平移 m个单位，向上k个单位，可得解析式为 y = -3(x + m)2+k322 =(-1m) k.im 一 1把点M ( 1 , 2)和N (1, 1)代入可得：44,解得：W 一 .3,2,k=2-1 =(1 +m) +kLL 4【总结】主要考查二次函数的平移，综合性较强，注意审题.【例19】已知二次函数的图象的顶点坐标

20、为A(1, 4),且经过点(2, _3).(1)求该二次函数解析式；(2)将该二次函数的图象向左平移几个单位，能使平移后所得图象经过坐标原点？并求平移后图象对应的二次函数的解析式.【难度】【答案】(1) y=x22x3, (2)左平移3个单位，y =x2+4x .【解析】(1)设抛物线解析式为 y=a(x+m)2+k,因为顶点坐标为(1, M),所以2m =,k =-4 ,所以 y =a(x -1) -4 ,把(2, -3)代入，可得 a =1 .一一. 一一2所以二次函数解析式为：y=x -2x-3.2.(2)图像经过坐标原点，设向左平移距离为 d (d >0), y=(x-1+d)

21、-4经过(0 ,0),所以把原点代入可得 =3或=(舍去).【总结】主要考查顶点式求解析式，利用平移关系，待定系数法的运用.【例20如图，已知经过原点的抛物线y =2x2 +4x与x轴的另一交点为A,现将它向右平移m （m>0）个单位，所得抛物线与x轴交于C、D两点，与原抛物线交于点 P.（1）求点A的坐标，并判断 APCA的形状（不要求说明理由） （2）在x轴上是否存在两条相等的线段，若存在，请一一找出，并求出它们的长度（可用含m的式子表示）；若不存在，请说明理由;（3）设APCD的面积为S,求S关于m的关系式.【答案】（1）等腰三角形；（2）存在,一 一 ,、4 4m -m2OC=A

22、D=m, AO = CD=2; (3) S =2【解析】（1）设平移前P点的对应点为P',则 PP' OC=m,联接 P'O 和 PC,可得 PP'OC为平行四边形，P'O=PC.又.点P与点P',点O与点A关于直线x=1对称，P'O=PA.由此可得4PCA为等腰三角形.(2) OC=AD = m,平移距离相等； AO=CD=2,平移属于全等变化.(3)过点 P 做 PH 垂直于 x 轴，= PC=PA, CH =AH =2JlmH(2m+m,0),22P在抛物线上，可得 P（2 m 4 4m - m，224 4m - m-),PH =,

23、2C 1-S CD PH =2【总结】数形结合，利用平移关系，待定系数法求解析式.【例21 如图，在平面直角坐标系中，已知点 A坐标为(2, 4),直线x = 2与x轴相交., 2 ,于点B,连结OA,抛物线y=x从点O沿OA万向平移，与直线 x=2交于点P,当顶点M运动到点A时停止移动.(1)求线段OA所在直线的函数解析式;(2)设抛物线顶点 M的横坐标为m.用m的代数式表示点 P的坐标;当m为何值时，线段 PB最短.【难度】【答案】(1) y=2x; (2) P(2,4 2m+m2) , m =1 .【解析】(1) OA为正比例函数，设 OA的解析式为y=kx,把点A代入可得y=2x.(2

24、) M 在射线 OA 上，M (m, 2m),; M为抛物线顶点，抛物线解析式为y = (xm)2 +2m,2把x =2代入抛物线，可得： P(2 , 4 -2m+m ).22 PB=4_2m+m =2+(1 -m) , .当 m=1 时，PB =3为取小值.【总结】数形结合，利用平移关系，待定系数法求解析式，根据解析式求最值.模块五：二次函数的轴对称知识精讲1、 关于x轴对称:22y =ax +bx+c关于x轴对称后，得到的解析式是y =ax bxc ;2、,一，一一一，一 ，一2y =a (x+m j +k关于x轴对称后，得到的解析式是y = a(x+m) -k .2、 关于y轴对称：22

25、y =ax +bx+c关于y轴对称后，得到的解析式是 y =ax bx+c ;2y =a(x -m)+k .2y =a (x + m j +k关于y轴对称后，得到的解析式是例题解析【例22】如果二次函数的图象与已知二次函数y=x2-2x的图象关于y轴对称，那么这个二次函数的解析式是()一2221A y =x +2xB. y=x +2x C. y =-x -2x D. y =-x -2x【难度】【答案】B【解析】开口方向不变，对称轴关于y轴对称后为直线x = -1且与y轴交点为原点.【总结】考查图像的对称变换.【例23二次函数y =mx2(m23m )x+1m的图象关于y轴对称，则m的值为()A

26、. 0B. 3C. 1D. 0或 3【难度】【答案】B【解析】:二次函数的图象关于 y轴对称，m2 -3m =0 , m=0 (舍去)，m =3 .【总结】考查图像的对称变换.【例24】已知一个二次函数 y = _x2+bx *3的图象经过点 A(1, 4).(1)求b的值；(2)求抛物线关于 x轴对称的抛物线的解析式.【难度】【答案】(1) b=2; (2) y=x22x3.【解析】(1) ;二次函数的图象经过点A (1, 4),，把点A代入可得b = 2.2(2) y=-(x1) +4的顶点为点 A (1, 4),关于x轴对称可得(1, -4),开口万向2向上大小不变， y=(x1) 4.

27、【总结】代入求解解析式以及图像的对称变换.【例25】已知二次函数y=(x1'(x3月y =(x+a1x+b)的图象关于y轴对称，22求(a +1 ) +(b +1 S 的值.【难度】【答案】20.【解析】二次函数 y =(x1 (x3)与x轴交于点(1, 0) (3, 0),其关于y轴对称点为(-1, 0) (-3, 0),，对称后的二次函数解析式为y =(x +1)(x+3),22a =1, b =3 ; . . (a +1) +(b +1 ) =20 .【总结】利用对称的特性求解点坐标，交点式的运用.模块六：二次函数的中心对称知识精讲1、 关于原点对称：22y=ax +bx+c关于

28、原点对称后，得至ij的解析式是y=/x +bxc;2一 一. .，一 .一2y=a(x+mj +k关于原点对称后，得到的解析式是y = a(xm) -k .2、 关于顶点对称：22b2y=ax +bx+c关于顶点对称后，得至ij的解析式是y=ax bx+c；2a2y = -a(x +m ) +k .2y =a (x + m j +k关于y轴对称后，得到的解析式是3、 关于点(p, q)对称：22y =a(x+m ) +k关于点(p, q)对称后，得到的解析式是 y =-a(x-m-2p) +2q -k .例题解析【例26 函数y =x2与y =-x2的图象关于 轴对称，也可以认为y = x2是

29、函数2 -y = +的图象绕 旋转 得到的.【难度】【答案】x轴；原点；180°.【解析】如右图所示.【总结】利用图像对称的特征.【例27二次函数y =x2 2x3的图象关于原点 O对称的图象的解析式是 .【难度】【答案】y=-x2-2x+3.【解析】先配方成顶点式 y =(x 1)2 4可得顶点为(1, -4),其关于原点对称点为(1,4),2所以开口相反，大小不变可得y = « -2x+3.【总结】利用点对称的特征，再根据顶点情况求解析式.【例28】 抛物线y =x2 +3x +2的图象关于其顶点对称的抛物线的解析式是 .【难度】【答案】y = -x2 -3x -.2【

30、解析】先配方成顶点式y =(x+0)21可得顶点为(3,二)，其关于顶点仍然为(3,-1),242424 3 21所以开口相反，大小不变可得y = -(x十一)-.24【总结】利用点对称的特征，再根据顶点情况求解析式.【例29二次函数y =x2+x+1的图象关于点 A(2,0)对称的图象的解析式是 .【难度】【答案】y=-x2+9x-21.【解析】先配方成顶点式 y=(x+1)2 +3 ,可得顶点坐标为(-,-),其关于点A (2, 0) 242 4一 .93 .一 , ， .、一一9 o 3对称为(-，-)，所以开口相反，大小不变可得y=-(x-) -.2424【总结】利用点对称的特征，再根

31、据顶点情况求解析式.【例30】如图，已知抛物线Fl ： y=_x2+5,抛物线F2与Fl关于点(1, 0)中心对称,Fi与F2相交于A, B两点，点M在抛物线Fi上，且位于点A和点B之间；点N在抛物MN _Lx轴.线F2上，也位于点A和点B之间，且(1)求抛物线F2的表达式；(2)求线段MN长度的最大值.【难度】【答案】(1) y =(x2)25; (2) 8.关于(1 , 0)对称后的点坐标为2【解析】(1)已知抛物线F1 ： y = _x +5的顶点(0, 5)随堂检测【习题1】二次函数的图像经过（1, /）、（ _1 , 0）、（ _2 , 5）,求二次函数的解析式.【难度】【答案】y

32、=x2 -2x 一3 .【解析】设二次函数为 y=ax2+bx+c,把（1, 4）、（ -1 , 0）、（2, 5）代入二次函数解析式，可得:fa b c = -4a-b c =04a - 2b c =5a =1，解得1b = -2 .所以二次函数的解析式为:Ic - -32y =x -2x-3 .【总结】考查学生利用一般式求解二次函数解析式，解三元一次方程组.【习题2】已知抛物线的顶点为（-2,3）,且过点（1,5）,求抛物线的解析式.【难度】【答案】y=2x2+8x+11.【解析】设抛物线解析式为y =a（x+m）2+k ,因为顶点坐标为（2 , 3）,所以m =2,k =3,2，.一 、

33、一一所以y=a（x+2） +3,再把（1,5）代入，即得a =2 .和（4, 0）,且过点（1, 一9 ）,2【总结】考查学生利用顶点式求解二次函数解析式.【习题3】已知二次函数的图像与 x轴交于点（-2,0）求二次函数的解析式.【难度】【答案】 y =- x2 -x -4 .2【解析】二次函数的图形与x轴的交点坐标是（2,0）和（4,0）,91设二次函数解析式为 y=a（x+2）（x4）,把点（1, 一一）代入解析式，可得 a =.221 C一 一次函数的斛析式为：y=-x -x-4.2【总结】考查学生利用交点式求解二次函数解析式.22【习题4】把一次函数y =1（x+3）的图象经过翻折、平

34、移得到二次函数y = 1（x 3）的图象，下列对此过程描述正确的是（）.A.先沿y轴翻折，再向下平移 6个单位B.先沿y轴翻折，再向左平移 6个单位C.先沿x轴翻折，再向左平移 6个单位D.先沿x轴翻折，再向右平移 6个单位【难度】【答案】D【解析】a为相反数，沿x轴翻折；又二顶点坐标（-3, 0）变化为（3, 0）,向右平移6个单位.（也可以利用函数平移法则）.【总结】利用对称和平移法则求解解析式.2【习题5】把抛物线y =（x -1 ）沿y轴向上或向下平移后所得抛物线经过点Q （3, 0）,求平移后的抛物线的解析式.【难度】2c【答案】y =（x -1 ） -4 =x -2x -3 .【解

35、析】设抛物线 y=（x-1?沿y轴向上或向下平移距离为 k,则抛物线为y=（x-1）2+k,;图像经过点Q,k = Y .【总结】利用平移法则求解解析式.【习题6】已知二次函数y =ax2 +bx+c与二次函数y = -3x2形状相同，开口方向相反,4 一.一9 ，一 ，一，一一，且其图像的对称轴为直线 x = 1,且经过点（2, -9 ）,求此二次函数的解析式.4【难度】3 23y =- x -x42【解析】,一次函数 y =ax2+bx+c与二次函数y = -3 x2形状相同，.二a =, 44.3 b 一 3;开口万向相反，a =一，又;且其图像的对称轴为直线 x = 1 , =1,可得

36、b=- ,42a29.3 239再把点（2, 一一）代入 y = -x + x +c,得 c 二 一一 .4424【总结】根据图像的性质求解解析式.【习题7】二次函数图像的对称轴为直线x = 1,函数的最小值为 4,抛物线与x轴两个交点之间的距离为 4,求函数的解析式（用三种不同的方法）.【难度】【答案】y =x2 -2x 一3 .【解析】二次函数图像的对称轴为直线x = 1,且与x轴两个交点之间的距离为4,图像与x轴交于（1,0）和（3,0）,且顶点坐标为（1,-4）.2万法一：设二次函数为 y =ax +bx +c ,把（1 ,0）、（3,0）、（1 ,-4）代入二次函数解析a =1式，可

37、得：a a -b +c =0 ,解得2b =-2.所以函数的解析式为：y=x2_2x-3.9a 3b c=0c - -32方法二：设抛物线解析式为y=a（x+m） +k ,因为顶点坐标为 （1, 一4）,2所以 m = 1, k = H ,所以 y=a（x1） -4 ,再把（1,0）或（3,0）代入，即得 a =1 .方法三：设二次函数解析式为y =a（x+1）（x-3）,把点（1, 一4）代入解析式，可得 a=1.2综上，所求的抛物线的解析式为：y=x -2x-3.【总结】利用交点的情况分别设不同解析式求解.【习题8】在平面直角坐标系中， MOB的位置如图所示，已知/AOB=90。，/A=6

38、03,点A的坐标为（-73, 1）.求:（1）点B的坐标；（2）图像经过A、O、B三点的二次函数的解析式和这个函数图像的顶点坐标.MOM L AOBN , ZAOB =90°, ZAOM +/MAO =90，ZAOM =/OBN ,可得所以二次函数的解析式为:1【答案】（1）（点，3）;y=Zx2+y3x,顶点坐标为（立，）. 3348【解析】（1）如图分别过点 A,点B作x轴垂线交于点 M和点N,2 2 33y=-x +x ,顶点坐标为（334【总结】数形结合，利用几何性质求解点坐标，以及点坐标求解析式 单位长度，得到抛物线11 ,抛物线12与抛物线11关于y轴对称.点A、O、B分

39、别是抛 物线11、12与x轴的交点，D、C分别是抛物线11、12的顶点，线段 CD交y轴于点E.(1)分别写出抛物线11与12的解析式；(2)设P是抛物线11上与D、。两点不重合的任意一点，Q点是P点关于y轴的对称点，试判断以P、Q、C、D为顶点的四边形是什么特殊的四边形？说明你的理由.(3)在抛物线11上是否存在点M,使得S浅BM =翅边形aoed ,如果存在，求出 M点的坐 标；如果不存在，请说明理由.【难度】【答案】(1) 11：丫 = -1) ，12 : y = -(x +1) +1 .(2) D、C为分别是抛物线11、12的顶点，C(1,1)、D(1,1), CE=DE=1,且纵坐标

40、相等，点 C和点D关于y轴对称，y轴垂直平分CD, Q点是P点关于y轴的对称点，y轴垂直平分PQ,，CD / PQ. 分别过点C和点D作PQ延长线的垂线，交于点 H和点G, . CD/PQ,CH = DG,即可得CHQA DGP, CQ=DP,+1和12=(*+1)2+1；(2)等腰梯形；(3)存在 M 点坐标为(1,3), (-3,3) ,( +1, -) ,( . CDPQ, CD/ PQ, 四边形 CDPQ为等腰梯形. +1,-).24242424【解析】(1)二把抛物线y=-x2(虚线部分)向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位,2. 11 :y = -(x -1) +1,又抛物线1

41、2与抛物线11关于y轴对称，(3)存在，通过抛物线li、I2与x轴的交点可求得 A(2,0) B(-2,0) , AB=4 , AO = 2 ,1 3 、一2Sdeoa =_(ED +AO EO =,设 M(x,x 十2x),过 M 作垂线， 22一，1 一，一一、-9 _212可得 M 到 AB 的距离为 x2 +2x ,S&BM =|x +2x AB - =2 -x +2x ,2 3 23 一 23 - 2 x +2x =,去绝对值方可得方程：x +2x=和x +2x = 244分别解方程可得x=1,+1,- +1.2222【总结】本题综合性较强，主要考查了数形结合，等腰梯形，对称

42、性以及待定系数法的思想,解题时要注意分析.【习题10 如图，平行四边形 ABCD中，AB = 4,点D的坐标是(0, 8),以点C为顶 2点的抛物线 y=ax +bx+c经过x轴上的点 A、B.(1)求点A、B、C的坐标；(2)若抛物线向上平移后恰好经过点D,求平移后抛物线的解析式.【难度】【答案】(1) A(2 ,0) ,B(6,0) ,C(4,8) ； (2) y =-2x2+16x+8 .【解析】(1)过C作AB的垂线CH ,. CH在抛物线对称轴上，.点A和点B关于CH对称，AH=BH,. ABCD 为平行四边形， CD=AB=4 且 CD / AB,可得C(4 ,8),且对称轴为直线

43、 x =4 ,A、B 的坐标分别为 A(2 ,0) , B(6,0).2(2)求经过 A、B、C二点的抛物线可得：y = 2x +16x 24 ,2设向上平移 m个单位经过点 D,则抛物线为y = -2x+16x+8+m,把(0, 8)代入，m =32 .(也可以通过与y轴的交点的平移得到 m的值)【总结】数形结合，等腰梯形，对称性以及待定系数法课后作业3【作业1】已知二次函数的图像经过点A (3, 6)、B (_1, _2)、C (0, _3 ),求2二次函数的解析式.【难度】【答案】y=lx2+x-.2223.【解析】设一次函数为y=ax+bx+c,把A(3,6)、B (1 ,2)、C(0

44、,)代入219a+3b +c = 61a =一2二次函数解析式，可得：a _b +c =-2 ,解得：3c =一L2b=13c -工2【总结】考查学生利用一般式求解二次函数解析式，解多元一次方程组.【作业2】已知抛物线的顶点为(1, 3),且与y轴交于点(0, -2),求抛物线的解析式.【难度】【答案】y =x2 2x -2 .2【斛析】设抛物线斛析式为 y=a(x+m) +k ,因为顶点坐标为(1, -3),所以m = -1,k = -3 ,- -2所以y=a(x1) -3,再把(0, 2)代入，即得a =1 .【总结】考查学生利用顶点式求解二次函数解析式.【作业3】已知抛物线与x轴交于点(

45、与，0)和(5, 0),且与y轴交点的纵坐标为 3,求抛物线的解析式.【解析】二次函数的图形与x轴的交点坐标是(-3,0)和(5, 0),，设二次函数解析1式为y =a(x+3)(x-5),把点(0, -3)代入解析式可得 a =-.5【总结】考查学生利用交点式求解二次函数解析式.【作业4】一抛物线向右平移 3个单位，再向下平移2个单位后得到抛物线 y = _2x2+4x,则平移前抛物线的解析式为 .【难度】【答案】y=-2x2_8x-4.【解析】把y =-2x2+4x先配成顶点式：y =2(x1)2+2,再向上2个单位，向左3个单2位可得：y=-2(x+2) +4.【总结】平移法则的运用.【

46、作业5】在平面直角坐标系中，先将抛物线y = x2+x-2关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于 y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为( ).2c2cA. y =-x -x+2B. y=-x +x+222C. y =x x+2D. y=x +x+2【难度】【答案】B【解析】先将抛物线y =x2 +x -2配成顶点式：y =(x +-)2 -9 ,作x轴作轴对称变换可得：241 2 9 一、， 1 2 9y =(x -)-,再关于y轴作轴对称变换可得：y =-(x-)十一，2 424 2展开即得y=x +x+2.故选B.【总结】利用对称性求解解析式.【作业6】二次函数图

47、像的顶点为 （1, 2）,且与直线y = 2x + k相交于点（2, _1）.求：（1）二次函数的解析式；（2）该二次函数的图像与直线y = 2x + k的另一交点的坐标.【难度】【答案】（1） y =-3x2+6x 一1 ; （ 2） ' - , - l'.,332【斛析】（1）设抛物线斛析式为 y = a（x+m） +k ,因为顶点坐标为（1,2）,所以m =一1 , k =2 ,所以y =a（x 1）2十2 ,再把（2, 一1 ）代入，即得a =4 .（2）把（2, _1）代入直线y=2x+k可彳# k =-5 ,两解析式函数值相等可得方程：22一.-2192x -5 =

48、7x +6x1 ,解得 x1, x2 =2 （重合，舍去），I.333【总结】利用交点以及点坐标求解析式.【作业7】把抛物线y =2x2向右方向平移p个单位，向上平移 q个单位，则得到的抛物线经过点（1, 3）和（4, 9）,求p、q的值.【难度】【答案】p=2,q=1.【解析】方法一：.把抛物线y =2x2向右平移p个单位，向上平移q个单位，2，抛物线解析式为：y=2（x p） +q,把点（1, 3）和（4, 9）代入可得方程：-2.2 1 -pq =3/日 p 二23 4-pq =9q =1方法二：:抛物线平移开口大小和方向不变， 2- -设平移后的抛物线解析式为：y=2x +bx+c,先

49、把点（1, 3）和（4, 9）代入， 2可得 b =-8 , c =9 ,，y =2x -8x+9=2（x-2） +1,待定系数法可得 p =2 , q =1 .【总结】平移法则以及对称性问题.【作业8】 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC的顶点A、C分别在2 2轴、y轴的正半轴上，一次函数 y=x +bx+c的图像经过B、C两点.3(1)求该二次函数的解析式；(2)求当y>0时，x的取值范围.【难度】【答案】(1) y =/x2+&x+2; (2) 1cx<3.33【解析】(1)利用正方形的性质可得A(2,0), B(2,2), C(0,2),把点B和点C代入抛物线2 24y = - x