动态几何解题方法与思考策略分析

1、动态几何解题方法与思考策略市渝中区第57中晓丰以运动的观点探究几何图形部分规律的问题，称之为动态几何问题.动态几何问题充分体现了数学中的“变”与“不变”的和谐统一，其特点是图形中的某些元素（点、线段、角等）或某部分几何图形按一定的规律运动变化，从而又引起了其它一些元素的数量、位置关系、图形重叠部分的面积或某部分图形等发生变化，但是图形的一些元素数量和关系在运动变化的过程中却互相依存，具有一定的规律可寻一、动态几何问题涉及的几种情况动态几何问题就其运动对象而言，有：1点动（有单动点型、多动点型）2、线动（主要有线平移型、旋转型）。线动实质就是点动，即点动带动线动，进而还会产生 形动，因而线动型几

2、何问题可以通过转化成点动型问题来求解3、形动（就其运动形式而言，有平移、旋转、翻折、滚动）二、解决动态几何问题的基本思考策略与分析方法：动态型问题综合了代数、几何中较多的知识点，解答时要特别注意以下七点：1把握运动变化的形式及过程；2、思考运动初始状态时几何元素的关系，以及可求出的几何量；3、动中取静：（最重要的一点）要善于在“动”中取“静”（让图形和各个几何量都“静”下来），抓住变化中的“不变 量”和不变关系为“向导”，求出相关的常量或者以含有变量的代数式表示相关的几何量；4、找等量关系：利用面积关系、相似三角形的性质、勾股定理、特殊图形等的几何性质及相互关系，找出基本的等量关系式；5、列方

3、程：将相关的常量和含有变量的代数式代入等量关系建立方程或函数模型；（某些几何元素的变化会带来其它几何量的变化，所以在求变量之间的关系时，通常建 立函数模型或不等式模型求解。在解决有关特殊点、特殊值、特殊位置关系问题时常结合图 形建立方程模型求解）6、是否分类讨论：将变化的几何元素按题目指定的运动路径运动一遍，从动态的角度去分析观察可能出现的情况，看图形的形状是否改变， 或图形的有关几何量的计算方法是否改变，以明确是否需要根据运动过程中的特殊位置分类讨论解决，7、确定变化分界点：若需分类讨论，要以运动到达的特殊点为分界点，画出与之对应情况相吻合的图形，找到情况发生改变的时刻，确定变化的围分类求解

4、。例：如图，有一边长为 5cm的正方形 ABCD和等腰三角形 RQR PQ=PR=5cm QR=8cm 点B C Q R在同一条直线I上，当 C Q两点重合时开始，t秒后正方形 ABCD与等腰2PQR重合部分的面积为 Scm .解答下列问题：（1）当t=3秒时，求S的值；（2）当t=5秒时，求S的值；（3） 当5秒w t < 8秒时，求S与t的函数关系式，并求出 S的最大值.分析：当等腰 PQR从C Q两点重合开始，以1cm/秒的速度沿直线I向左匀速运动时， 正方形ABCD与等腰 PQR重合部分图形的形状在改变，因此，我们需要根据运动过程中的 特殊位置分类讨论解决。 运动过程中有四个特殊

5、位置点 ，它们分别是点B、C、R和等腰 PQR 底边的中点E,这四个特殊位置点就是分类讨论问题的“分界点”因为正方形 ABCD勺边长为5cm,等腰三角形 RQR的底边QR=8cm（1）所以当t < 4秒时，QE逐渐地与与BC完全重合，贝U S是厶QCG勺面积，所以，当t=3秒时，,S是厶QCG勺面积（如图一的“静态”）；（2） 当4秒W t < 5秒时，即在点E落在线段上到点 Q与点B重合，S是四边形QCG啲面积 （如图二的“静态”）;（3）当5秒W t W 8秒时，点 Q R都在线段BC外，点E在BC上, S是一个五边形 BCGPH 的面积（如图三的“静态” ）AD（图三）即1、

6、运动规律；2、思考初始；3、动中取静；4、找等量关系；5、列方程；6、是否 分类讨论：7、确定分界点。三、典型例题（2006）如图1所示，一三角形纸片 ABC / ACB=90 ,AC=8,BC=6.沿斜边AB的中线CD把这纸片剪成 AC1D1和 BC2D2两个三角形（如图2所示）将纸片 AC1D1沿直线D2B（AB）方向平移（点A,Di,D2, B始终在同一直线上），当点Di于点B重合时，停止平移 在平移过程中，CiDi与BC2交于点E, ACi与C2D2、BC2分别交于点F、P.（1）当 ACiDi平移到如图3所示的位置时，猜想图中的 DiE与D2F的数量关系，并证明你的猜想； 设平移距离

7、 D2D1为x， AC1D1与 BC2D2重叠部分面积为 y，请写出y与x的函数关系式，以及自变量的取值围；1（3）对于（2）中的结论是否存在这样的 x的值，使重叠部分的面积等于原ABC面积的一.4若存在，求x的值；若不存在，请说明理由.分析：1、把握运动变化的形式及过程：题目条件：将 AC1D1沿直线D2B（AB）方向平移（点代D1,D2,B始终在同一直线上）当点D1于点B重合时，停止平移.所以这是一个图形的平移运动2、思考初始；找出初始位置时某些几何元素的数量和关系：（1）因为在Rt ABC中，AC 8,BC 6，所以由勾股定理，得 AB 10.(2 )因为ACB90,cd是斜边上的中线，

8、所以，DC DA DB ,即C1 d1c2d2bd2ad1(3)C1A,C1C290 .第1问：“动”中取“静”：让图形和各个几何量都“静”下来。因为是平移，所以 GDJ/ C2D2，所以 C1AFD2. C1A所以 afd2 a，所以，ad2 d2f.同理：bd1 d1e .又因为AD1 BD2，所以AD2 BD1.所以D1E D2F第2问：(1)是求变量之间的关系，则建立函数模型。(2) 按题目指定的运动路径运动一遍，重叠部分图形的形状不发生改变，则不需要分类讨 论解决。(3) 找等量关系式：用面积割补法知道y S bc2d2 S bed s fc2p 1 S ABC 12 (5 x)2

9、6 x22 21222525(4) “动”中取“静”，求出相关的常量或者以含有自变量的代数式表示相关的几何量。为便于求其面积，注意选择三角形的底和高。三角形BDE的底为BD，需求高。需求直角三角形QOF的底和高。我们视自变量为“不变量”，以D2D1 x为“向导”去求出三角形的底和高。(A) 、BC2D2的面积等于 ABC面积的一半，等于12.(B) 、又因为D2D1x，所以D1EBD1D2FAD25x，所以 C2FC1Ex，由 C1D1II C2D2得 BC2D2s BED 1 ,24BED1的BD1边上的高为h，又 ABC的AB边上的高，为.设5所以h u.2455所以 h 24(5 X).

10、 s25BED1BD1% x)225(C)、又因为CiC290，所以FPC290 .在直角三角形PFC 中,又因为C2B， sin BGF=X,4 厂 ,cosB534所以 PC25x,PF 5x，S fc2p35.PC2PFBC2 D 2BEDiSfc2p1sABC12 (52562x25.262x) x2518 224所以 y x x(0 x 5)255第3问：是求特殊值问题，则建立方程模型求解;1存在.当y S abc时，4即兰X225整理，得3x220x250.解得，N24 Qx 65討5.51即当x 5或x 5时，重叠部分的面积等于原ABC面积的?解析(1) D,E D2F .因为

11、GDJ/ C2D2，所以 Gafd2.又因为d2d,x，所以 D1E BD1 D2F AD25 x.所以 C2FGE在BC2D2中,C2到BD2的距离就是 ABC的AB边上的高，为245设 BED,的BD,边上的高为由探究，得 BC2D2S BED1，所以h245所以h24(5 x) S25.又因为C1C2112BD1 h(5225所以fpc290 .h，BED,90，x)2又因为C2sin B-,cosB5所以PC25x,PFFC2P35.1 -PC2 PF 2所以S BC2D2S BED1SFC2P,SABC12 (5256 2x25,262x) x25存在.18x2524x(051S A

12、BC时，即45)18 2x25整理，得3x220x250.解得,24x55 q3，x2 5.又因为 ACB 90 , CD是斜边上的中线，所以，DCDADB，即 GD,C2 D2 BD2AD1所以，C1A,所以afd2A所以，ad2D2F.同理:BD1D1E .又因为AD1BD2,所以AD2BD1.所以 D1ED2F(2)因为在Rt ABC 中,AC8,BC 6，所以由勾股定理，得 AB 10即 AD, BD2 CP C2D2551即当x 5或x 5时，重叠部分的面积等于原ABC面积的?(2006)如图，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和 EFG叠放在一起(点 A与点E重合)，已知 AC=

13、 8cm, BC= 6cm,/ C= 90°, EG= 4cm, / EGF= 90°, O是厶 EFG斜边上的中点.如图，若整个厶EFG从图的位置出发，以 1cm/s的速度沿射线 AB方向平移，在EFG平移的同时，点P从厶EFG的顶点G出发，以1cm/s的速度在直角边 GF上向点F运动,当点P到达点F时，点P停止运动， EFG也随之停止平移.设运动时间为x(s)，FG的延长线交AC于H,四边形OAHP勺面积为y (cmf)(不考虑点P与G F重合的情况).(1) 当x为何值时，OP/ AC ?(2) 求y与x之间的函数关系式，并确定自变量 x的取值围.(3) 是否存在某一

14、时刻， 使四边形OAHF面积与 ABC面积的比为13 : 24?若存在，求出x的值；若不存在，说明理由.(参考数据：1142 = 12996, 1152 = 13225, 1162 = 13456 或 4. 42 = 19. 36, 4. 52 = 20.25, 4. 62 = 21. 16)分析：1、把握运动变化的形式及过程：题目条件：若整个 EFG从图的位置出发，以 1cm/s的速度沿射线 AB方向平移，在 EFG平移的同时，点 P从厶EFG的顶点G出发，以1cm/s的速度在直角边 GF上向点F运 动，当点P到达点F时，点P停止运动， EFG也随之停止平移.(1) 整个 EFG从图的位置出

15、发，以 1cm/s的速度沿射线 AB方向平移；(2) 点卩从厶EFG的顶点G出发，以1cm/s的速度在直角边 GF上向点F运动；0X3. 2、思考初始；(1) 注意参考数据运用于计算平方、平方根或估算。(2) 找出初始位置时某些几何元素的数量和关系；/ Rt EF3 Rt ABC , EG FG 4 FGAC BC，86 FG= 46 = 3cm.8EG/ AC第1问：(1)是特殊位置关系问题，建立方程模型求解。(2) “动”中取“静”，让图形和各个几何量都在特殊位置关系(OP/ AC) “静”下来，画出与对应情况相吻合的图形。/ O是AEFG斜边上的中点.当 P为FG的中点时，OP/ EG

16、, EG/ AC , OP/ AC.(s).1FG当 x 为 1.5s 时，OP/ AC .第2问：(1)是求变量之间的关系，则建立函数模型。(2 )题目明确了是求四边形OAHP勺面积，则不需要分类讨论解决。(3) 找等量关系式：用面积割补法知道Y=S 四边形 OAHP = SAFH 一 SOFP(4) “动”中取“静”，求出相关的常量或者以含有自变量的代数式表示相关的几何量。 为便于求其面积，选择 OFD的底为FP,需求边FP上的高。我们视自变量为“不变量”，以PG=为“向导”去求出 OFD的底和高。在Rt EFG中，由勾股定理得：EF= 5cm./ EG/ AH , EF3A AFH .E

17、GEFFGAHAFFH .453AHx 5FH3FH= - (x+ 5)AH= - ( x+ 5),55过点O作ODL FP，垂足为 D点O为EF中点，1-OD= EG= 2 cm2/ FP= 3 x , S 四边形 OAHP = SaAFH 一 SOFP11-AH-FH-OD- FP22=14(x+ 5)-3(x + 5)丄 x 2X( 3-x )25526217 cx +x+ 3255(Ov xv 3).第3问：是求特殊值问题，则建立方程模型求解；假设存在某一时刻 x，使得四边形 OAHF面积与 ABC面积的比为13 : 24.13贝y S四边形OAHPX Sa ABC24,6 2 171

18、31- x + x + 3 = X X 6 X 8255242 6x? + 85x 250 = 0(计算时注意参考数据的运用)550解得x 1 = , x 2= 一(舍去).23/ Ov xv 3,5当x=(s)时，四边形 OAHP面积与 ABC面积的比为13 : 24.2解析 (1 )T Rt EF3 Rt ABC ,EG FG 4AC BC，8FG6 FG=3cm.当 P为 FG的中点时，OP/ EG , EG/ AC ,-FG 1=2=丄 x 3= 1. 5 (s).1 2.当(2)/ EG/ AH , EF3A AFH .x 为 1.5s 时，OP/ AC .EF= 5cm.在Rt E

19、FG中，由勾股定理得:EGEFFGAHAFFH .453AHx 5FH3FH= - (x+ 5)AH= 4 ( x+ 5),55过点O作ODL FP，垂足为 D点O为EF中点，1-OD= EG= 2 cm2/ FP= 3 x ,- S 四边形 OAHP = SaAFH 一 SOFP11-AH-FH-OD- FP22=14(x+ 5)-3(x + 5)-x 2X( 3 x )25526217x +x + 3255(Ov xv 3).(3) 假设存在某一时刻 x,使得四边形 OAHP面积与 ABC面积的比为13 : 24.13贝y S四边形OAHPX Sa ABC24,6 2 17131- x +

20、x + 3 =x x 6 x 82552422 6x + 85x 250 = 0550解得x 1 = , x 2=(舍去).23/ Ov xv 3,5当x=(s)时，四边形 OAHP面积与 ABC面积的比为13 : 24.2(2006)如图，在 Rt ABC中，/ C= 90°, AC= 12, BC= 16,动点 P从点 A 出发沿 AC 边向点C以每秒3个单位长的速度运动，动点 Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位 长的速度运动.P, Q分别从点A, C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止 运动.在运动过程中， PCQ关于直线PQ对称的图形是 PDQ设运动时间为t

21、 (秒).(1) 设四边形PCQ啲面积为y,求y与t的函数关系式;(2) t为何值时，四边形 PQBA是梯形？t的值；若不存在，请说明理由;t ,使得PD丄AB?若存在，请(3)是否存在时刻t，使得PD/ AB?若存在，求出(4) 通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻2v t w 3; 3v t w 4);若估计t的值在括号中的哪个时间段(OW t < 1; K t w 2; 不存在，请简要说明理由.分析：1、把握运动变化的形式及过程：题目条件：动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位 长的速度运动，动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位 长的速度运动.P, Q分别从点

22、A C同时出发，当其中一点到达端 点时，另一点也随之停止运动.在运动过程中，PCQ关于直线PQ对称的图形是 PDQ所以，这是双动点 P、图形 PCQS折的运动。(1) 动点P从点A出发沿AC边向点C运动；(2) 动点Q从点C出发沿CB边向点B运动；(3) PCC关于直线PQ对称的图形是 PDQ.2、思考初始；找出初始位置时某些几何元素的数量和关系;在 Rt ABC中，/ O 90°, AC= 12, BC= 16,v AB=122 162 20,第1问：(1)是求变量之间的关系，则建立函数模型。(2 )题目明确了是求四边形 PCQ啲面积，则不需要分类讨论解决。(3 )找等量关系式：/

23、 PCQW PDC关于直线 PQ对称， y=2Spcq(4) “动”中取“静”，求出相关的常量或者以含有自变量的代数式表示相关的几何量。为便于求其面积，注意选择直角厶PCQ勺两直角边为底和高。我们视自变量(动量)为“不变量”(静量)，则以CQ= 4t , AP=3t为“向导”求出PO12 - 3t ,1 2 Sapcq= pc CQ 6t224t .2 PCQfA PDQ关于直线PQ对称，2y=2&pcq12t248t .第2问：(1)实质是特殊位置关系问题，建立方程模型求解。(2) “动”中取“静”，让图形在特殊情况(四边形PQBA是梯形)“静”下来，画出与对应情况相吻合的图形.当四

24、边形PQBA!梯形时有 PQ/ AB.(2) pq ab时，应有貢CB,，则以此建立方程模型求解(3 )求出相关的常量或者以含有自变量的代数式表示相关的几何量。当CP CACQCB时，有PQ/ AB而AP与BQ不平行，这时四边形PQBA是梯形,12 3t12/ CAf12, CB=16, CQ= 4t , CP= 12-3t ,4t41，解得 t = 2 .16当t = 2秒时，四边形 PQBA是梯形.第3问：题目条件：是否存在时刻 t，使得PD/ AB?若存在，求出t的值；若不存在，请说 明理由；(1 )实质是求两线的特殊位值关系，则仿照第2问的方法建立比例方程求解.(2) “动”中取“静”

25、，让图形在PD AB的情况“静”下来画出与对应情况相吻合的 图形设存在时刻t,使得PD/ AB,那么延长 PD交BC于点M 如下图，PD/ AB(3) 视“动量”为“静量”，求出相关的常量或者以含有变量t的代数式表示相关的几何量。若PD/ AB则空CMCA CB/ Q=C4t , CP=AC-AP=12-3t, AC= 12, AB= 122 162 20,/ QMDZ B,Z QD=L C=90 Rt QM0 Rt ABC从而QMABQM20QDAC 4t12QMt.3CM=CQ+QM=4tS°t12 3t124t t316，解得t = 121112.当 t = 12 秒时，PD/

26、 AB.11第4问：通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t，使得PDL AB?若存在，请估计t的值在括号中的哪个时间段(0W t < 1; 1< t < 2; 2v t w 3; 3v t w 4);若不存在, 请简要说明理由.(1) “动”中取“静”，让图形 “静”下来画出与对应情况相吻合的图形12由第3问知道当秒1 < t =上秒时，PD/ AB 应有1 < t ,11(3) “动”中取“静”，让图形“静”下来画出与对应情况相吻合的图形假设 PD丄 AB于 D,/ AP=3t, C吐 PD=12- 3t ,Rt APD Rt ABC.AP ABPDBC

27、3t 20512 3t 16 44t=20-5t, t= 20319存在时刻t,使得PCL AB.时间段为：2v t W 3.解析(1) 由题意知 CQ= 4t , PC= 12 -3t ,Sapcq= - PC CQ 6t224t2 PCQfA PDQ关于直线PQ寸称， y=2&pcq12t2 48t .CP CQ(2)当CS CQ时，有PQ/ AB,而AP与 BC不平行，这时四边形 PQBAI梯形,CA CB/ CA=12, CB=16, CQ= 4t , CP= 12-3t ,12 3t 4t 的/曰.门，解得t = 2 .12 16.当t = 2秒时，四边形 PQBA!梯形.(

28、2) 设存在时刻t，使得PD/ AB延长PD交BC于点M如下图,若 PD/ AB,则CPCACMCBQD=CQ=4t , CP=AC-AP=12-3t, AC= 12, AB=122 162/ QMD/ B,Z QD=Z C=90°, Rt QMO Rt ABC 从而QMAB.QM"203QDAC， 4t 1220,CM=CQ+QM=4t201312 3t124t16，解得1211PD/ AB.PDL AB12.当t = 12秒时,11(4) 存在时刻t，使得时间段为：2 V t W 3.(2010年省) 如图 16,在直角梯形 ABCD中，AD/ BCB 90 , AD=

29、6, BC=8,AB 3 3，点M是BC的中点点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点 B匀速 运动，到达点B后立刻以原速度沿 BM返回；点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射 线MC上匀速运动.在点P, Q的运动过程中，以PQ为边作等边三角形 EPQ使它与梯形 ABCD 在射线BC的同侧点P, Q同时出发，当点 P返回到点M时停止运动，点 Q也随之停止. 设点P, Q运动的时间是t秒(t >0).(1) 设PQ的长为y，在点P从点M向点B运动的过程中，写出 y与t之间的函数关系 式(不必写t的取值围).(2) 当BP=I时，求 EPQ梯形ABCDt叠部分的面积.(3) 随着时间

30、t的变化，线段 AD会有一部分被 EPC覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接.写出t的取值围；若不能，请说明理由. 图1(备用图)分析：1、把握运动变化的形式及过程：题目条件：点M是BC的中点.点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点 B匀速运 动，到达点B后立刻以原速度沿 BM返回；点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线 MC上匀速运动.在点 P，Q的运动过程中，以 PQ为边作等边三角形 EPQ使它与梯形 ABCD 在射线BC的同侧.点P，Q同时出发，当点 P返回到点M时停止运动，点 Q也随之停止.表明上动的是两点，实际上由两点

31、引出的等边三角形EPQ是运动图形。题目中点 P从点M出发沿MB向B点匀速运动，到达点 B后立刻以原速度沿 BM返回；而点Q从点M出发在射 线MC上匀速运动，由于点 P的往返运动，且P、Q两点的运动速度相同，所以这两点运动形成的等边三角形 EPQ的特征为：当0 v t V 4时，三角形EPQ的大小随着时间的增加逐渐变大， 但PQ边的中点始终是点 M,相当于位似变换；当t>4时，随着时间的增加，三角形 EPQ的大 小始终不变，相当于平移变换。(这样的变换非常新颖，但是涉及的变换又是很简单的)2、思考初始；找出初始位置时某些几何元素的数量和关系；在直角梯形 ABCD中, AD/ BCB 90，

32、AD=6，BC=8，AB 3岛，点 M是 BC的中点，则MB=MC=4. CD可求。：公 PCQA PDQ关于直线 PQ对称，第1问：在点P从点M向点B运动的过程中，P、Q两点的运动速度相同， y=MP+MQ=t+t=2t第2问：(1) BP=1有点P到达点B点前、后两种情况，则需分类讨论解决。当BP=1时，有两种情形:1如图2，若点P从点M向点B运动，有 MB =丄BC = 4 , MP=MQ3,2 PQ6（现在判断点 E落在梯形ABCD外的位置，以确定 EPQ与梯形ABC重叠部分的图形形状。连接EM EPC是等边三角形， EML PQ EM 3打. AB=3応，点E在AD上. EPQ梯形A

33、BC連叠部分就是 EPQ其面积为9託.若点P从点B向点M运动，由题意得 t=4+1=5 .PQ=BMMC BF=4+5-仁8, PC=8-仁7 .（此时点E显然是在AD上方。“动”中取“静”，让图形“静”下来，画出与对应情况相吻合 的图形以确定 EPQ与梯形ABCDt叠部分的图形形状）设PE与 AD交于点F, QE与 AD或 AD的延长线交于点 G,过点 P作PHL AD于点H,则 HP：3、.3 , AH=1 .在 Rt HPF中，/ HP=90° -60 ° =30 HF=3, PF=6. FG=FE=PE-PF=PQ-PF=8-6=2.又 FD=AD-(AH+HF)=

34、6-(1+3)=2 , FG= FD=2,点G与点D重合。如图3此时 EPQ梯形ABCD勺重叠部分就是梯形 FPCG 其面积为27、3 .（把握运动变化的全过程，确定EPQ与梯形ABCD1叠关系是解答本题的关键）第3问：求随着时间t的变化，线段 AD被厶EPQ覆盖线段的长度能否持续一个时段达到最 大值。因为当t4时，随着时间的增加，三角形 EPQ的大小始终不变，相当于平移变换。这样，线段AD被厶EPQ覆盖线段的长度达到最大值，且持续到被覆盖线段的右端点到达D点，根据前面的解答知，此时 t=5。所以，能.4< t < 5.解：（1） y=2t ; （2）当BP=1时，有两种情形: 如图2，若点P从点M向点B运动，有 MB = 1BC = 4 , Mf=MQ=3,2 PO6 连接 EM EPQ是等边三角形， EMIL PQ EM ：3 ./ AB=3.3 ,点 E在 AD上. EPQ与梯形ABCDt叠部分就是 EPQ其面积为9屈.若点P从点B向点M运动，由题意得 t 5 .PQ=BMMQ BP=8, PC=7.设 PE与 AD