2012年考研数学三真题及答案

1、本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持!2012年考研数学三真题一、选择题(1 8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。)x2+ x(i)曲线渐近线的条数为(A)0(B)1(C)2(D)3【答案】C。【解析】得I是曲线的一条水平渐近线且曲线没有斜渐近线;2X + Xlimy = lim-= g由:1得】是曲线的一条垂直渐近线;X3+ x 1lim y = lim - =-由-2得I不是曲线的渐近线；综上所述，本题正确答案是C【考点】高等数学一一元函数微分学一函数图形的凹凸、拐点及渐近线设函数=2)(严-町,其中为正整数，则Z(0)=(A)(-5-1)!

2、(B)(C)(f畑(D)【答案】A/ + Xlim y =lim -由“了、厂1limy = Um -X-* - BXT r 00 / _ 1本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持!【解析】 【方法1】令能)二(宀2)&輪7)|,则kW = (ev-l)5(x)f心)二 *鸟(町 + (-1)9G) h0)=(0) = C-l)(-2)(-(n-l)=(一1)-】仇一1)!|故应选A.【方法2】由于； G八,由导数定义知1/(x)/ (0) = lirn - - = lim尤T0X x-*0X|=lim产1)Um- 2)&处-n)x-0XXTO二(-1)(-2)-1) = (-旷g

3、o【方法3】排除法，令,则kw =1)(戶-2)(町=珥尹-2) + 2戶(/_1)lf(O) = 1-2=-1则(B)(C)(D)均不正确综上所述，本题正确答案是(A)【考点】高等数学一一元函数微分学一导数和微分的概念0-1)&工_2”心肚一71)本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持!【答案】B。【解析】令工二江：总芒二r石则所对应的直角坐标方程为工+y，二4,F= 2mS円所对应的直角坐标方程为j必j f(r2)rdr由：的积分区域n2 cos 9 r 2f06 2得在直角坐标下的表示为设函数连续，则二次积分(C)(D)(A)J* + /(x2+ yz)dydx J f(x2+ y2

4、)dy 2(B)01 +Ji-y后+ yV(2+ y2)dx2了f(x2+y2)dx0本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持!【考点】高等数学一多元函数微积分学一二重积分的概念、基本性质和计算【解析】0000n =1DOy(-l)nZj绝对收敛，级数，-条件收敛,则110 cr -a 1(A)2(B) 2331 er -a 2(C)2(D) 2- x2 y & -込Qx 1 a-，故2,即2综上所述，本题正确答案是(D)【考点】高等数学一无穷级数一数项级数敛散性的判定由级数ft1条件收敛,知圧2本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持!意常数，贝卩下列向量组线性相关的为B)aVa2fC4【答案】

5、C。【解析】个维向量相关【考点】线性代数一向量一向量组的线性相关和线性无关（6）设仏为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且2|.若P=（勺山2禺JQ =（幻+吩吩旳），则Q_1AQ二(A)1(B)l2(C)丨2(D)【1【答案】B。【解析】由于经列变换（把第2列加至第1列）为.，有Q = Pi=叫1那么Q刁AQRP甩SPEl）匚砌fsP%=1= 2旳=0=*013 =1 -1L=?l4C3LC4 J，其中CPC2.C3|C4为任(5)设显然所以旳必线性相关00I1C3-11C4=0综上所述，本题正确答案是(C)。本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持!综上所述，本题正确答案是(B)。【考点】线性代数一矩

6、阵一矩阵运算、初等变换设随机变量厂相互独立，且都服从区间.上的均匀分布,则1(A)1(n(C)8(【答案】D。【解析】而心)=屮汽爲心即是在正方形-：1.1上等于常数1，其余地方均为0，面积综上所述，本题正确答案是D。【考点】概率论与数理统计一多维随机变量的分布一二维随机变量分布(8)设- -为来自总体:1Tr，的简单随机样本，则nD) 4px2+ r2 1=fxtydxdyJJ Kxty)dxdyX2+ v2 1实际上就是单位圆+ / W1在第一象限的本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持!统计量 -?的分布为(A)WCU)(B)t(l)(C)/(l)(D）F（IJ）【答案】BO【解析】X.X?

7、，故严综上所述，本题正确答案是B。【考点】概率论与数理统计一数理统计的概念1,2,X3+ X42(62”Xq +x4-2N(M)X.+X.-2X + X IX3+ X1-2I3,龙.*2与X：5 +4-2独立，相互独立 2)2也相互X/2X3+ X4-2X3+ X4-2所以XT444【考点】高等数学一函数、极限、连续一两个重要极限(10)设函数= 2x1：_=则去x = e -_1【答案】2【解析】二m：;可看做歹二厲小,与“二汀厂的复合，当忖=吋时11U= f(e) = lne = -lne-由复合函数求导法则知dy dx【考点】高等数学一一元函数微分学一导数和微分的概念lim (tan x

8、)C05 rTnn x=所以一本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持!.Kxy-2xy-2 lim一 、工TO(11)设连续函数乍 m;满足血I (04)=【答案】dx-dy【解析】.f(xty) -2x + y-2lim - . = 0由定；2 +-1)，且z = f(X刃|连续，可得/(U) = 1fg) -/(OJ) = 2x-(y-l) + 0(Jx2+ O-l)2)；二1)9T由可微的定义得；I rH/:，即悶他=/04)dx + /y(0J)dy = 2dx -对【考点】高等数学一多元函数的微分学一多元函数偏导数的概念与计算4y =(12)由曲线，和直线卜山計及在第一象限中围成的平面图

9、形的面积为_。【答案】4比2【解析】4y =曲线x和直线y = x及y = 4x在第一象限中围成的平面域如下图，则所围面积为心(1)2，本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持!【考点】高等数学一一元函数积分学一定积分的应用(13)设为3阶矩阵，I川=3,月*为月的伴随矩阵。若交换虫的第1行与第2行得到矩阵人，则 S _。【答案】-27【解析】【方法1】两行互换两列互换|变成所以I ，再由行列式乘法公式及I” I =|册-1,则BA = B-A= -|4|4|2= -27【方法2】根据题意0 A = B，即那么曲”从而旳丨=1迢=3计二-27【考点】线性代数一行列式一行列式的概念和基本性质线性代数一

10、矩阵一伴随矩阵，矩阵的初等变换1 1P(AB) = C)=-(14)设是随机事件，!互不相容，：贝 S仏 -x）dx +oj（纟-x）dx = 4/n2iAA* - AE123En本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持!KAB | C) =_。3【答案】习【解析】本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持!“互不相容，自然有，当然更有，所以【考点】概率论与数理统计一随机事件和概率一事件的关系与运算，概率的基本公式，事件的独立性三、解答题：】小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤。2于 _- 2cosxlim-(15)求极限疋【解析】【方法1】【方法2】2?P(C)P(AB) _2_3_P

11、(G_ 环盲lim e2 -2cosxx4戸 斗 -2 + 2cosx _lim e22ns J- limHTOX-*0 x4X2=lim -2 + 2 cos xX42x-2sin x=lim x-*04x3(等价无穷1 1=-lim -2x-*o(洛必达法则)本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持!_ 以-2 cos x- 2 + 2 cos工 _lim =-r-*0T4x4本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持!【方法3】值定理）【考点】高等数学一函数、极限、连续一无穷小量的性质及无穷-2 + 2 cos x=lim 4X2x -2sin x-lim x-*04x1(洛必达法则）公式）X- 2

12、+ 2 cos x=lim XTD等价无穷 J-2 + 2(1 + + o(/)2!4!v=lim-x-*0F（泰勒1x4+ 0的12 1=lim- = JT-*O/12X4x-0弋拉格朗日中本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持!1 6=-lim 2工*0 疋彳1x - sinx-x本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持!为边界的无界区域。【解析】Jxexdx o【考点】高等数学一一元函数积分学一不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法高等数学多元函数微积分学二重积分的概念、基本性质和计（17）某企业为生产甲、乙两种型号的产品投入的固定成本为10000（万且这两种产品的边际成本分别为X20 + -勺

13、万元/件）与白+y（万元/件). 求生产甲、乙两种产品的总成本函数 万元）；（II）当总产量为50件时，甲、乙两种产品的产量各为多少时可使IIexxydxdyt(16)计算二重积分1其中。是以曲线横及轴Jf exxydxdy idxi DJ el-x2)dxo元）。设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别是，件）和（件），1+ xe2Jexdxo本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持!总成本最小？求最小成本;(III)求总产量为50件且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释经济意义。【解析】x2y2C(xty) = 10000 + 20 x H- 6y +一总成本函数42(万元)(II)由题意知，求、在

14、二 E 时的最小值，构造拉格朗日函数2xyF(xtytX) = C(x,y) + y - 50) = 10000 + 20 x +- 6y +-F + y - 50)42txF =20+ + 几=6x2Ffy=6 + y + A = 0f b(x + y - 50) = CL因可能极值点唯一，且实际问题存在最小值，故总产量为50件时, 甲乙两种产品的产量分别是24,26时可使总成本最小，且此时投 入总费用242262C.(xty) = 10000+ 20 X 24 + + 6 x 26 + = 11118J7ICJ1、2 $4(万元)C(工/) 20 + (III)甲产品的边际成本函数：S 于

15、是，当总产量为50件且总成本最小时甲产品的边际成本其经济意义为：当甲乙两种产品的产量分别是24,26时，若甲的解方程组C(JQ7)= 20 +24 = 322本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持!产量每增加一件，则总成本增加32万元(18)证明：1 + X*xtn+ cos x 1 +/ - 1 x 1)1 -x2【解析】又因为f(o)= o,所以，当-ixo时，o；当0工 1+ 一X -1 x 1)即1-X2【方法2】记1一尤2,C-1 0-2x = x + xx + sin x【方法1】，则44尤，广(算)=-+-1 - cos X1-x2(1-x2)2当_1CXV1时，由于4 4fl +

16、cos x 0,从而单调增加。1 + XX2f(x) = xln-+ cos x - 1 -1-x本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持!T1 + x 2xf (x) = In-+- sinx -xtxE |0J)1 兀1-x21 -X由于1-x本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持!从而有/W o,XGC-IJ)有/(0) = 0则当-Kx 1 + X -1 x 11即1一疋2 【考点】高等数学一一元函数微分学一导数和微分的概念，导数和微分的四则运算，函数单调性的判别，函数的极值(19)已知函数几町满足方程广匕)+f&) - 2f(工)=0及求；的表达式;【解析】3 + d - 2fg =

17、0联立If(x)+fdx) = 2xJ得二-2ex,因此I 3dxf f*- I 3dx , Jf(x) = Q f I - 2exe+ C j =+ Ce3x代入；- j得所以fy = 2xexZedt + 1(II)的拐点(II)-t2)dt = J edto/(-鬥加y0本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持!y = 2x + 2(1 + Zx2)ex2j e dt o当x0时，y 0,对(0) = 0,所以曲线的拐点为门【考点】高等数学一一元函数微分学一导数和微分的概念，导数和微分的四则运算，函数单调性的判别，函数图形的凹凸性、拐点及渐近线计算行列式| ;(II)当实数为何值时，方程组；-

18、有无穷多解，并求其通解【解析】按第一列展开(II)当11 = 时，方程组Ax= P有无穷多解，由上可知 =1或如果匚=ri1111r11们100 11 -1nl-11100-1 01 0TU 01 0Lo J-1-2 1亡)=3”心)=乞方程组无解，舍去 当时，0a 00a+心1严1 a 0101 a1 aA = 1010 0本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持!组通解为叮丄w为任意常数【考点】线性代数一线性方程组一线性方程组有解和无解的判定, 非齐次线性方程组的通解(II)求正交变换 将,化为标准形。【解析】因为1 1，对做初等行变换r 101 1J011Ja + 1A =J- 10a0 a0

19、0hfi-1_dl所以，当口二_1时，口月)=2(II)由于】，所以矩阵的特征多项式为A-20-22E 才0 A 2. 2=久(久一Z)(久一6)-2-2久一411001-100101 10-101-10001-1000110 100101011011T11-10011-1001101-10-101-10-1001-10_001-1 000-110100()00F(A)= 3 =F(A),方程组有无穷多解，取为自由变量，得方程r 101 *0-1101a0a-1(21)已知(I)求实数阴的值;，二次型的秩为2本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持!于是的特征值为-1当久L 2时，由方程组= 0,可得到属于久1 = 2的一个单 冃刍(人-lt0)T位特征向量当丑=6时，由方程组= (),可得到属于丑=6的一个单位特征向量；当无时，由方程组=(),可得到属于兀=0的一个单 亠d丄位特征向量。则在正交变换，；下的标准形为”=绒 +6yl【考点】线性代数一矩阵一矩阵的特征值和特征向量的概念、性 质线性代数一二次型一二次型的标准形和规范形，用正交变换和配方法化二次型为标准形(22)设二维离