中考数学二次函数存在性问题及参考答案

1、1中考数学二次函数存在性问题及参考答案、二次函数中相似三角形的存在性问题1. 如图，把抛物线y=x2向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y = (x_h)2k.所得抛物线与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C,顶点为D.(1) 写出h、k的值；(2)判断 ACM形状，并说明理由；(3)在线段AC上是否存在点M使厶AOMb ABC若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.2. 如图，已知抛物线经过 A (-2, 0)，B (-3, 3)及原点0,顶点为C.(1) 求抛物线的解析式；(2) 若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且 A O D E为顶点的四边形是

2、平行四边形， 求点D的坐标；(3) P是抛物线上的第一象限内的动点， 过点P作PMx轴，垂足为M是否存在点P，使得以P、M A为顶点的三角形厶BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.二、二次函数中面积的存在性问题k3. 如图，抛物线y=ax?+bx(a>0 与双曲线y =匚相交于点A, B.已知点B的坐标为(一2, 2),点 A在第一象限内，且tan / A0冶4.过点A作直线AC/ x轴，交抛物线于另一点C.(1) 求双曲线和抛物线的解析式；(2) 计算 ABC的面积；(3) 在抛物线上是否存在点 。，使厶ABD的面积等于厶ABC的面积.若存在，请你写出点 D的坐标；

3、 若不存在，请你说明理由.4. 如图，抛物线y = ax2 + c (a>0)经过梯形ABCD勺四个顶点，梯形的底 AD在 x轴上， 其中 A ( 2,0 )，B ( 1, 3).(1) 求抛物线的解析式；(3分)(2) 点M为y轴上任意一点，当点M到A B两点的距离之和为最小时，求此时点 M的坐标；(2 分)(3) 在第(2)问的结论下，抛物线上的点 P使Sapad= 4Sabm成立，求点P的坐标.(4分) 在抛物线的BD段上是否存在点Q使三角形BDQ勺面积最大，若有，求出点 Q的坐标，若没有， 请说明理由。、二次函数中直角三角形的存在性问题5. 如图， ABC是直角三角形，/ ACB

4、=90,AC=BC,OA=1OC=4抛物线y = x? + bx + c经过A, B两点，抛物线的顶点为D.(1) 求b, c的值；(2) 点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A B除外)，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F, 当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；(3) 在(2)的条件下：求以点E、E、F、D为顶点的四边形的面积；在抛物线上是否存在一点P,使厶EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由4#四、二次函数中等腰三角形的存在性问题6. 如图，直线y=3x，3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C(3,0 ).求抛

5、物线的解析式；在抛物线的对称轴上是否存在点 0,使厶ABC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标; 若不存在，请说明理由五、二次函数中等腰梯形、直角梯形的存在性问题7. 如图，二次函数 y -x2 ax b的图像与x轴交于A1, 0)、B(2 , 0)两点，且与y轴交于点C;2(1) 求该拋物线的解析式，并判断厶ABC的形状；(2) 在x轴上方的拋物线上有一点 D,且以A CD B四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写 出D点的坐标；(3) 在此拋物线上是否存在点P,使得以A C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求 出P点的坐标；若不存在，说明理由。六、二次函数中菱形的存在性

6、问题8. 如图，已知抛物线经过原点 O和x轴上一点A(4，0)，抛物线顶点为E,它的对称轴与x轴交于 点D.直线y=- 2x - 1经过抛物线上一点B(- 2, m且与y轴交于点C,与抛物线的对称轴交于点F.(1) 求m的值及该抛物线对应的解析式；(2) P (x, y)是抛物线上的一点，若Saadp=Saadc求出所有符合条件的点P的坐标；(3) 点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动， 设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q A、E、M四点为顶点的四边形是菱形？若能，请直接写出 点M的运动时间t的值；若不能，请说明理由.1、【答案】解：(1)V由平

7、移的性质知，y=(x_h)2k的顶点坐标为D(-l,-4)二 h = _1, k = _4 o2（2）由（1）得 y= x 1-4 .O2当 y=0 时，（x+1 ）4=0 .解之，得 Xi=d, X2=1 A（弋 0）, B（1, 0）.又当 x = 0 时，y= x 1-4 = 0 1-4 = -3 , C点坐标为（0，- 3）o又抛物线顶点坐标D （- 1，- 4），作抛物线的对称轴x=-1交x轴于点E, DF丄y轴于点Fo易知在 Rt AED中, AD=22+42=20,在 Rt AOC中, aC=32+32=18,在 Rt CFD中, cD=12+12=2,二 AC + CD2= a

8、DoA ACD是 直角三角形(3) 存在.作OM BC交AC于M M点即为所求点由(2)知， AOC为等腰直角三角形，/ BAG450, AC 18 =3 2由厶AOMb ABC 得 A° 。即 3=AM , AM =3OG=A-AG=- - 。又点44 2AB AC 4 32467过M点作MGLAB于点G,贝U AG=M94#3M在第三象限，所以M (-,4#2、【答案】解：(1)设抛物线的解析式为y =ax2 bx c a = 0 ,4a-2b c=0a=1抛物线过 A (- 2 , 0) , B (- 3 , 3) , O (0 , 0)可得 9a -3b c=3 ,解得 b=

9、2。c=0c=0抛物线的解析式为y=x2,2x o(2)当AE为边时，t A、OD E为顶点的四边形是平行四边形，二DE=AO=2 #则D在x轴下方不可能，二D在x轴上方且DE=2贝U D (1, 3), D2 (- 3, 3)。 当A0为对角线时，则DE与A0互相平分。点E在对称轴上，且线段A0的中点横坐标为-1,由对称性知，符合条件的点 D只有一个，与点C重合，即C (- 1,- 1)。 故符合条件的点D有三个，分别是 D (1, 3), D2 ( - 3, 3), C (- 1,- 1)。(3)存在，如图：B (- 3, 3), C (- 1，- 1),根据勾股定理得：B0=18, c0

10、=2, bC=20,. b0+c0=bC.A BOC是直角三角形。假设存在点P,使以P, M A为顶点的 三角形与厶BOC相似，设 P( x , y )，由题意知 x >0, y >0,且 y 2 x2 , 若 AMMA BOC则如。BO CO即 x+2=3 ( x2+2x，得：X1=】, 3去).当 x 二1 时，y = 7，即 P (1,-)3939 若 PMMA BOC则，匹=理。CO BO即: x +2x=3 ( x+2)得：X1=3,当 x=3时，y=15, 即卩 P (3, 15).故符合条件的点P有两个，分别是P (1 , 7 )或(3, 15)。393、【答案】解：

11、(1)把点B (-2,- 2)的坐标代入y得，一2二兰，. k = 4。x-2双曲线的解析式为：y =里。x设A点的坐标为(m n). v A点在双曲线上， mn= 4。又T tan / AO冷4,.错误！未找到引用源。 =4, 即卩 m= 4n。二 n? = 1 , n=± 1。v A点在第一象限， n= 1, m= 4。二A点的坐标为(1, 4)。fa 亠 b 二 4把A、B点的坐标代入y=ax2 bx得，a b，错误！未找到引用源。解得，a二1, b.a -2b - -2抛物线的解析式为：x2 3x(2)v AC/ x轴，点C的纵坐标y= 4,代入y=x23x得方程，x23x-

12、4=0，解得x 1 = 一 4, X2= 1 （舍去） C点的坐标为（一4, 4）,且AO 5。又 ABC的高为6,仏ABC的面积=错误！未找到引用源。X 5X 6= 15（3）存在D点使 ABD的面积等于 ABC的面积。理由 如下：过点C作CD/ AB交抛物线于另一点 D,此时 ABD的面 积等于 ABC的面积（同底：AB等高：CD和 AB的距离）。直线AB相应的一次函数是：y =2x 2，且CD/ AB可设直线CD解析式为y =2x p ,把C点的坐标（-4, 4）代入可得，p=12。直线CD相应的一次函数是：y=2x 12。1 2解方程组y=x 3x，解错误！未找到引用源。得，x=3。y

13、 =2x +12=18错误！未找到引用源。点D的坐标为（3, 18）。（1）、因为点A、B均在抛物线上，故点A、B的坐标适合抛物线方程x10x#4a c = 0 a c 二 -3解之得:a =1c = _4故y = x2 -4为所求x#（2）如图2,连接BD,交y轴于点M则点M就是所求作的点x#x#设叩的解析式为y”b，则有2k b：03k =1b = -2，故BD的解析式为y=x-2 ；令x=0,则y =-2，故M （0,-2）、如图3,连接AM BC交y轴于点N,由（2）知，OM=OA=OD,= . AMB = 90易知 BN=MN=,易求 AM -2.2, BM =2S、abm =2 2

14、 22=2 ;设 P(x,x2-4),依题意有:AD収一4 =4況2 ,即:?><4妝2 4| =恥2解之得：x=22, x=0 ,故符合条件的P点有三个:yt图3x11R(2©,4), P2(2©,4),巳(0,/)4. 解答：解：(1)由已知得：A (- 1, 0), B (4, 5),二次函数 y=x2+bx+c的图象经过点 A (- 1, 0), B (4, 5), 讪+芒=0l16 + c 5解得：b=- 2, c=- 3;(2)如图：直线 AB经过点 A (- 1, 0) , B (4 , 5),直线AB的解析式为：y=x+1 ,二次函数 y=x -

15、 2x- 3 ,设点 E (t, t+1 ),则 F (t , t2-2t - 3),当 t=时,EF的最大值为薯12#点E的坐标为（,.）;（3）如图：顺次连接点E、B F、D得四边形EBFD315可求出点F的坐标（：-），点D的坐标为（1, - 4）(4-_)+_ X . X(_ - 1)菇；i）过点E作a丄EF交抛物线于点P ,设点P （m吊-2m- 3） 则有：m- 2m- 2=, 解得：m二 , m,1）, P2（,，）,P3,设 P3 (n, n2- 2n-3)ii）过点F作b丄EF交抛物线于 贝U有：n2- 2n 2= 解得：ni=-，n2=（与点F重合,二 R （_，），13#

16、综上所述：所有点P的坐标：Pi）P屮），P2（=，1 15),P3 m，可）能使 EFP组成以EF为直角边的直角三角形.y=3当 y =0 时，x = - i# A (- 1, 0)，B (0，3) C (3, 0)1分设抛物线的解析式为y=a ( x +1) ( x - 3) 3=ax 1X(-3)-a= 1此抛物线的解析式为y=-( x + 1 ) ( x - 3) =-x2+2x+32分#（2）存在14x抛物线的对称轴为:=1错误！未找到引用源1 ox如图对称轴与x轴的交点即为Q, OA = OQ1，BO 丄 AQ 1 AB = Q 1 B- Q1 (1, 0)当Q2 A = Q2 B时

17、，设Q 2的坐标为(1, m 2解(1)根据题意，将乂-丄,0) , B(2 , +m2 =12 + (3 - m 2 m=1(1, 1)当Q3A=AB 时，设 Q 3 (1, n)1 ox1 ox2 2 2-2 +n =1 +3-n=错误！未找到引用源。 Q3 (1,错误！未找到引用源。)Q3 (，错误！未找到引用源。) 10分符合条件的Q点坐标为Q1 (1, 0), Q2 (1, 1),1 ox1 ox7、答案:，解1 1 _0)代入 y= -x2+ax+b 中，得 C4 _20 i_4 +2a +b = 01 ox这个方程，得a=3 , b=1,.该拋物线的解析式为y= -x - x 1

18、，当x=0时，y=1,2 2点 C 的坐标为(0 , 1)。在 AOC中, AO .OA2 OC2在厶 BOC中, BC= OB2 OC2 = , 22 12 = , 5。 AB=OAOB=1 2= 5 AC2 BC2=- 5=5=AB2, ABC是直角三角形。2244点D的坐标为(3 , 1)。2存在。由(1)知，ACBC。若以BC为底边，则BC/ AP,如图1所示，可求得直线BC的解析式为y= -x 1,直线AP可以看作是由直线21 o若 Saad =SaadcBC平移得到的，所以设直线 AP的解析式为y= Zx-b,2把点冷,0）代入直线AP的解析式，求得b= -!,直线AP的解析式为y

19、= dx 1。：点P既在拋物线上，又在直线 AP上,24点P的纵坐标相等，即x2+?x+仁 tx丄，解得Xi=£2242X2= -!（舍去）。当 x=5 时，y= -3，点 P（§，- 3）2 2 2 2 2若以AC为底边，则BP/ AC如图2所示。 可求得直线AC的解析式为y=2x1。 直线BP可以看作是由直线AC平移得到的， 所以设直线BP的解析式为y=2x b，把点B（2，0）代 入直线BP的解析式，求得b= -4，直线BP的解析式为y=2x4。：点P既在拋物线 上，又在直线BP上，点P的纵坐标相等， 即-X2 3x 1=2x-4，解得 Xi= -5，X2=2（舍去）。2 2当x= -5时，y= -9，a点P的坐标为（上，-9）。2 2综上所述，满足题目条件的点P为（-，-3）或（-5，-9）2 2 28.解：（1）：点 B （- 2，m 在直线 y=- 2x- 1 上 m=3 即 B （- 2，3） 又：抛物线经过原点0设抛物线的解析式为y=ax2+b