《复变函数教学资料》复变函数与积分变换新大纲.doc

1、复变函数与积分变换课程教学大纲课程编号： 09J70360课程中文名称：复变函数与积分变换课程英文名称： Functions of a Complex Variable and Integral Transforms开课学期：春、秋季学分 / 学时： 2. 5/40先修课程：数学分析 / 高等数学，课程名称，数学分析 / 高等数学，线性代数建议后续课程：傅立叶变换适用专业 /开课对象：工科， 2 年级本科住团队负责人： 责任教授： 执笔人：滕岩梅核准院长 :一、课程的性质、目的和任务复变函数与积分变换是工科院校最重要的基础课之一，是工科电气、电子、通讯、 自动化、 勘查、测绘等许多专业的必修课

2、，也是物理、力学、石油工程等专业一些后继课程的必要基础，其内容丰富，实用性强。复变函数理论这个新的数学分支统治了十九世纪的数学，当时被公认是最丰饶的数学分 支和抽 彖科学中最和谐的理论Z一。二T?世纪初，复变函数理论又有了很大的进展，开拓了复变函数理论更广阔的研究领域。复变函数的理论和方法在数学、口然科学和，程技术中有着广泛的应用，是解决诸如电磁学、热学、流体力学、弹性理论中的平而问题的有力工具 , 它的基础内容己成为理工科很 多专业的必修课程。积分变换主要是傅立叶变换和拉普拉斯变换，它是通过积分运算把一个函数变成另一个函数的变换。积分变换的理论与方法不仅在数学的许多分支中，而H.在自然科学和

3、工程技术领域中均有着广泛的应用，已经成为不可缺少的运算工具。通过对该课程的学习，既为后继专业课程的学习奠定了基础，亦为数学应用开拓了空间，同时对培养学牛?的逻辑思维能力、分析解决问题能力、数学建模能力尤为重要。学习本课程必须先修高等数学课程。二、课程内容、基本要求及学时分配第一章复数（ 5 学时）1. 复数及其代数运算；复数的儿何表示；复数的乘幕与方根 ;2. 区域；曲线; 复球面。基本要求：1. 掌握复数的三种表示式及运算。2. 了解区域，单连域，多连域的概念。3. 了解复球而与无穷远点。第二章 解析函数（ 5 学时）1. 复变函数的定义及映射概念；复变函数的极限和连续性；复变函数的导数与微

4、分；2. 解析函数的概念；函数解析的充耍条件；3. 初等函数：指数函数、对数函数、幕函数、三角函数。基本耍求：1. 了解复变函数的极限、连续、导数、微分的概念。2. 理解复变函数解析的概念。3. 掌握函数可导或解析的充要条件，会熟练运用充要条件来判定函数的可导性、解析 性。4. 掌握各个初等函数的意义及主要性质，会运算。第三章复变函数的积分（ 8 学时）1. 复变函数积分的概念及计算；2. 单连通域和多连通域的柯西积分定理；3. 柯西积分公式和高阶导数公式；了解柯西不等式和刘维尔定理；4. 解析函数与调和函数的关系。基本要求：1. 了解复变函数积分的定义及性质，掌握复积分的参数方程计算方法。2

5、. 理解柯西基本定理及推论。3. 理解多连通区域柯西积分定理。4. 掌握柯西积分公式与高阶导数公式，会熟练使川这两个公式计算闭路积分。5. 理解解析函数与调和函数的关系，会从解析函数的实（焜）部求其虚（实）部。第四章级数（ 8 学时）复数项级数；1. 幕级数；2. 泰勒（ Taylor ） 级数；3. 洛朗 （ Laurent） 级数；4. 孤立奇点分类。基本要求 :1. 了解复数项级数收敛、发散、绝对收敛等概念。2. 理解幕级数收敛的概念，掌握幕级数的收敛半径和收敛圆域，了解幕级数在其收敛 圆域内的 基本性质。3. 会用直接法求初等函数在英解析圆域内的泰勒级数展开式。4. 掌握ez,sinz

6、,cosz,ln （l + z） , （1 + z） a的马克劳林（Maclaurin）展开式。会用间接法 求复变函数在其解析圆域内的泰勒展开式。5. 熟练使用间接法求简单复变函数在其解析圆环内的洛朗级数展开式。6. .理解判别孤立奇点类型方法。笫五章留数（ 2 学时）1. 留数及留数定理（包括无穷远点处的留数）；2. 用留数计算闭路积分。基木要求1 ?理解留数概念，掌握留数计算法。（包括无穷远点处的留数）2 . 理解留数定理，会熟练运用留数计算闭路积分。笫六章Fourier变换 （6学时）1. Fourier 积分与 Fourier 变换；2. Fourier变换的性质与卷积；3. Four

7、ier变换的应用。基本要求：1 .掌握Fourier积分定理，注意间断点悄况。2 .理解Fourier变换定义及性质计算函数的 Fourier变换。3 . 掌握卷积定理，会用卷积定理的各种形式计算Fourier 变换及其逆变换。4 . 了解用Fourier变换求微分、积分方程的-?般方法。笫七章 Laplace 变换 （6 学时）1. Laplace 变换的概念; Laplace 变换的性质；2. Laplace 变换的逆变换； Laplace 变换的卷积3. Laplace 变换的应用基本耍求：1、了解Laplace变换的存在定理。会用定义及性质计算函数的Laplace变换。2、 掌握用留数

8、计算反演积分的 -般方法，重点是两种特殊惜况。3、掌握卷积定理，会用卷积定理求函数的Laplace逆变换。4、理解微分方程的Laplace变换解法三、课内外教学环节及基本要求本课程课内学时缺少，采取多媒体与板书相结合的教学方式，并配以适量大班习题 课。课 堂讲课采用启发式，既要引导学生注意到本课程与先修课高等数学的联系，乂要突出 它们的区别和 木课程的发展，激发学生听课和求知的积极性。在习题课上，纠正学生作业中 的错误，加深学生对 概念、理论的认识，介绍解题技巧和推理论证方法。通过木课程的教学 ，使学生在以F三个方而有 所收益。1 .获得复变函数与积分变换的基本理论和基本方法，了解其在工程上的

9、简单应用2 .使先修课高等数学的有关知识进一步得到巩固。3 .在思维能力和逻辑推理方面受到一？些训练。课后习题分两类。第一类以基木题为主，要求每位学生必须完成，定期上交，作业成绩计入学期总分数（占20%） o学习本课程，至少完成60道习题。选择合适课外题目，随堂 测验，检杳学 生木阶段学习情况（占20%） o第二类包括：思考题、概念题、证明题、其他 行一定难度的题，要 求学生在复习课程内容的基础上思考，演算，（不必上交，不计成绩），提倡学生口觉学习的良好学习。作业：10(3) (5), 7, 8, 10, 3 (2) (4), 4, 5, 6(4) 3 (1) (2) (6) 412, 16

10、(1)(2) (3) (5),17(5) (3) (4),7, 8, 9, 10,11, 14,(2) (3) 7,8, 9, 14, 15,17 (1),习题 11, 3,4, 5, 6, 9,习题 2 1, 2,4, 5, 6 习题 3 1 (1) (3)(4), 2,17 (4)习题 4 1 (2) (4), 2 (3)(3) (5) (6) 18, 19习题 5 1 (1) (4) (6) 2 (1) (2) (4) (6)习题 7 3, 4, 5 (1), 8 (1) (3) (4), 9, 10, 12 (3), 13习题 8 1 (2) (3) (5), 2 (1) (3) (4

11、), 4 (1) (3) (5) (6) (7) 7 (1) (3), 8 (2)(4) (7) (8), 9 (2) (4) (7), 12 (1) (3) (4) (6) (8) (10) (12)四、考核方式及成绩评定作业成绩占20%,随堂测验占20%,期末考试（闭卷考试）占60%.五、教材和参考资料教材：复变函数与积分变换，高宗升、滕岩梅，北京航空航天大学出版社，2007年7月，笫2版参考资料：11复变函数，钟玉泉，高等教育出版社，2004年1刀，笫三版2 Fundamentals of Complex Analysis with Applications to Engineering

12、 and Science, E. B. Saff, A. D. Snider,机械工业出版社,2004 年 10 月，The Third Edition 六、其它复变函数教学日历（40学时）学时内容要求笫2复数的各种表示及其运算重点为三介表示法（ 远点要讲模，辐角）复球面，无穷早2区域，复变函数，极限，连接单连通多连通域讲清楚，极限的儿何意义第3导数，解析函数，解析的充要条件重点为解析（一点处）概念Cauchy-Riemann条件早3指数，三角，对数，幕函数的定义及 主 要性质掌握初等函数的性质，会求十的值；双曲 函数不讲，平面场复势不讲第4积分，Cauchy-Coursat基本定理及有关定理

13、，复合闭路定理定SL,二2二八正Cauchy-Coursat 证早4Cauchy积分公式，高阶导数公式， 解析 函数M调和函数的关系定理均要证明，掌握从解析函数的实（虚） 部 求虚（实）部的方法第四3复数项级数收敛，发散，绝对收敛， 幕 级数，Abel定理，收敛圆与收敛半 径， Tayloi ?级数收敛半径的求法，不做*号，Abel定理，Taylor 定理均作证明，重点是Taylor定理早4Taylor级数展开举例，Laurant级数及 展开证明OW 屣 MaclaurinWbW 仔，(l + z)n O第五-Vr.早3孤立奇点分类，极点阶数的判定毓酬定 阳极点处锻跚法利用留 U傅闭矜盼无穷远点处性态可讲可/、讲（不作规定）重点极点阶数的判定和极点处留数的求法第3Fourier积分定理，古典和广义Fourier 变换，非周期函数频谱Fourier积分定理背景略述，强调间断点悄 况,