实验矩阵与线性程组

1、实验矩阵与线性程组作者:日期:实验7矩阵与线性方程组实验目的：1 .掌握matlab求矩阵的秩命令.2 .掌握matlab求方阵的行列式命令.3 .理解逆矩阵概念，掌握matlab求逆矩阵命令.4 .会用matlab求解线性方程组.实验内容：1 .矩阵的秩指令rank(A)将给出矩阵A的秩.例 1: a=3 2 -1-3 -2;2 -1 3 1 -3;7 0 5-1 -85322-170ran k(a)ans =2-1-3-231-35-1-82 .方阵的行列式.指令det(A)给出方阵A的行列式.例2:b=1 2 3 4;234 1;34 1 2;4 1 23;det(b) ans =160

2、det(bf)ans =160c=b;c(:,1)=2*b(:,1);det(c) ans =320det(b(:,3 2 1 4) ans =-160d=b;d(2,:);det(d) ans =160你能解释上例中的运算结果吗？在这里我们实际上验证了行列式的性质.3 ,逆矩阵/指令inv(A)给出方阵A的逆矩阵，如果A不可逆，则inv(A)给出的矩阵的元 素都是Inf.1 2 3A22 1例3:设343，求人的逆矩阵.解：输入指令:A=1 2 3;2 2 1;3 4 3;B=i nv(A)B =-2.00002.5000-1.00001.00003.0000-1.5000-3.00001.

3、0000 1.0000还可以用伴随矩阵求逆矩阵，打开m文件编辑器，建立一个名为companm的M-文 件文件内容为：fun cti on y=compa nm (x) n, m=size(x);forj=1: n;a=；for i=1: n;x1 = det(x(1:i-1 ,i+1: n,1:j-1 ,j+1: n)*(-1)A(i+j);a=a,x1;endy=y;a；end利用该函数可以求出一个矩阵的伴随矩阵.输入命令：C=1/det(A)*compa nm(A)C =1.00003.0000-2.0000-1.5000-3.00002.50001.00001.0000-1.0000利用

4、初等变换也可以求出逆矩阵，构造n行2n列的矩阵(A E),并进行行初等变换，当把A变为单位矩阵时，E就变成了A的逆矩阵,利用matlab命令rref可以求出矩阵的行简化阶梯形.输入命令：D=A,eye(3) D =12312210134300rref(D) ans =1.0000Ax*001.00000001.00000-1.50001.00001.00003.0000-2.0000-3.00002.50001.0000-1.0000A可逆时，给出唯一解这时矩阵除A B相当于inv (A) *B ；当n m时，矩阵除给出方程的最小二乘解；当n m时，矩阵除给出方程的最小范数解.m n线性方程组

5、AXB的求解是用矩阵除来完成的，XXi X2 X3 2X4 1Xi X2 2X3 X4 1Xi X2 X3 2例4:解方程组X3 X4 1 解：输入命令：a=1 -1 1 2;1 1-2 1;1 1 1 0;1 0 1-1; b=1； 1; 2;1;x=abx =0.83330.75000.41670.2500输入命令：z=inv (a)*b0.83330.75000.41670.25002xiX2X3 X4 2X5Xi X22X3 X4 Xs例 5:解方程组：2x1 3X2 4X3 3X4 X5 8解：方程的个数和未知数不相等，用消去法，将增广矩阵化为行简化阶梯形，如果系数 矩阵的秩不等于增

6、广矩阵的秩，则方程组无解；如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩， 则方程组有解，方程组的解就是行简化阶梯形所对应的方程组的解输入命令：a=2 11-1-2 2;1 -12 1-1 4;2 -3 4 3-1 8; rref(a) ans =0000-1-110-1由结果看出，X4-5为自由未知量，方程组的解为：221X2 X4 X5X3 2 X5XiX2X3x40XiX2X33X40XiX2X40X2 2X3 3X4 0-1-2 3;例6:解方程组：X1解：输入命，令：1 -1 1;1 -1 1 - -1 0-13；1 -10-1001-20 00000008由结果看出，Xi 0方程组的解为:X32X4练习1 .求下列矩阵的秩.a=1 - rref(a) ans =25 31 17 4375 94 53 13275 94 54 134X2 X4为自由未知量,1 200 1 1 123(2)2532 20 482 .求下列矩阵的行列式，如可逆，试用不同的方法求其逆矩阵.1245(1)8212342 3121111(2)1 1。2 6111 1111 1111 1 111 11111132 1 04323 设1=1254 解下列线性方程组.2xi 2x2 X3X4 44xi 3x2 x3 2X468x1 3X23x3 4x412 3xi 3x2 2X2 2x4