高考数学专题13概率与统计教学案理

1、专题13 概率与统计【2018年tWj考考纲解读】高考对本内容的考查主要有：(1)抽样方法的选择、与样本容量相关的计算，尤其是分层抽样中的相关计算，A级要求.(2)图表中的直方图、茎叶图都可以作为考查点，尤其是直方图更是考查的热点，A级要求.(3)特征数中的方差、标准差计算都是考查的热点，B级要求.(4)随机事件的概率计算，通常以古典概型、几何概型的形式出现，B级要求.【重点、考点剖析】1 .概率问题(1)求某些较复杂的概率问题时，通常有两种方法：一是将其分解为若干个彼此互斥的事件的和，然后利用概率加法公式求其值；二是求此事件A的对立事件A的概率，然后利用 R A) = 1 R A)可得解；(

2、2)用列举法把古典概型试验的基本事件一一列出来，然后再求出事件 A中的基本事件，利用公式P(A)=mmt出事件A的概率，这是一个形象、直观的好办法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复，不遗漏；(3)求几何概型的概率，最关键的一步是求事件A所包含的基本事件所占据区域的测度，这里需要解析几何的知识，而最困难的地方是找出基本事件的约束条件.2 .统计问题(1)统计主要是对数据的处理，为了保证统计的客观和公正，抽样是统计的必要和重要环节，抽样的方法有三：简单随机抽样、系统抽样和分层抽样；(2)用样本频率分布来估计总体分布一节的重点是：频率分布表和频率分布直方图的绘制及用样本频率分布估计总体分布，考点是

3、：频率分布表和频率分布直方图的理解及应用；(3)用茎叶图优点是原有信息不会抹掉，能够展开数据发布情况，但当样本数据较多或数据位数较多时，茎叶图就显得不太方便了；(4)两个变量的相关关系中，主要能作出散点图，了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性或归方程系数或公式建立线性回归方程.【题型示例】题型一古典概型问题例1、2017山东，理8】从分别标有1,2,，9的9张卡片中不放回地随机抽取 2次，每次抽取1张.则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是5457(A) (B) (C) 5(D)18999【答案】C【解析】标有1, 2,，9的9张卡片中，标奇静的有5张，标偶数的有4张，所以的2张卡片上的数

4、奇偶性不同的概率是竽詈=1，选C.9x89【变式探究】(2015 江苏，5)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出 2只球，则这2只球颜色不同的概率为 .解析 这两只球颜色相同的概率为 1,故两只球颜色不同的概率为12二5.66 6答案56【变式探究】(2015 北京，16)A, B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：A组：10, 11, 12, 13, 14, 15, 16B组：12, 13, 15, 16, 17, 14, a假设所有病人的康复时间互相独立，从A, B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲， B组选出

5、的人记为乙.(1)求甲的康复时间不少于 14天的概率；(2)如果a=25,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(3)当a为何值时，A, B两组病人康复时间的方差相等？(结论不要求证明)解 设事件A为“甲是A组的第i个人”，事件B为“乙是B组的第i个人，i=1, 2,，7.由题意可1 ._知 RA) = P(B) = 7, 1=1, 2,，7. 由题意知，事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是 A组的第5人，或者第6人，或者第7人”，所以甲的康复时间不少于14天的概率是3P(AsU AU A7) =P(As) + RAO + P(A7) = 7.(2)设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时

6、间长”.由题意知，C= A4BU AB U AB UABU ARU A U A U A7 U A U A7氏因此 P(C) =P(A4B) + P(A5B) + P(AB) +RAB) + RAB) +曰为8)+RAB2) + RAR) +P(A6B6) +RAzR)=1010P(AB) =10P(A4)P(B1) = .49(3) a= 11 或 a= 18.18【感悟提升】1.古典概型的求解思路(1)正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常用到计数原理与排列组合的相关知识.(2)在求基本事件的个数时，要准确理解基本事件的构成，这样才能保证所求事件所包含的基本事件数的求法与基本事

7、件总数的求法的一致性.(3)根据公式m A中所含基本事件数一 rP(A)=n=基本事件总数求出【变式探究】某班级的某一小组有6位学生，其中4位男生，2位女生，现从中选取 2位学生参加班级志愿者小组，求下列事件的概率:(1)选取的2位学生都是男生；(2)选取的2位学生一位是男生，另一位是女生.破题切入点先求出任取2位学生的基本事件的总数，然后分别求出所求的两个事件含有的基本事件数,再利用古典概型概率公式求解.【解析】(D设4位男生的编号分另购123,4,2位女生的编号分别为5,6从6位学生中任取2位学生的所有 可能结果为(L2), a孙(L4), (1,5), a孙(Z3), (Z4), (Z5

8、),包外(工力(3田，(4冉，(4，(5,6)?共15种.从6位学生中任取2位学生，所取的2位全是男生的方法数，即从4位男生中任取2个的方法数，共有6 种，艮设1m Q3L (I4), RJ), R4), (3用.所以选取的2位学生全是男生的概率为巧4=|-从6位学生中任取2位，其中一位是男生，而另一位是女生，其取法包括aa x的概率为（31aN+ 2T B.114-2711D；解析由|z|wi可得(x 1)2+y2x的部分为如图阴影所示,由几何概型概率公式可得所求概率为:P=12答案 B【变式探究】（2014 湖北）由不等式组x0,确定的平面区域记为Q1,不等式组y 一 x 一 2 w 0x

9、+y-2确定的平面区域记为 2.在Q 1中随机取一点，则该点恰好在Q 2内的概率为（）A.8 B.134 C. 4 D.【答案】D【解析】由题意作图，如图所示，Qi的面积为2X2X2= 2,图中阴影部分的面积为 2gx32*#：；,则74 7所求的概率P=- = -,故选D.2 8【感悟提升】几何概型的求解思路概率中的几何概型是一个重要内容，高考时经常考，题目不难，往往利用数形结合的方法求解，常考查几 何图形的面积、体积等，有时要用到转化的思想和对立事件求解概率的思维方法.求概率时，关键是试验 的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域.其 解析为

10、：（1）判断所求几何概型的类型；（2）分别确定相关的区域长度（面积与体积）；（3）代入公式计算.【变式探究】节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在 通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以 4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是（）1B.21A.4C.47D.8答案 C解析 设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为X、V，x、y相互独立，由题意可知0 x40 y4i x-y1 W2,如图所示. S正方形 一 2S/ ABC，两串彩灯第一次凫的时间相差不超过2秒的概率为 P(|xy|W

11、2) = Se方形14X4-2X -X2X2212 34X416-4.题型三、抽样方法例3、【2017天津，理16】从甲地到乙地要经过 3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口111遇到红灯的概率分别为-,-,-.2 3 4(I)设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望;(n)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.【答案】(I)见解析；(n) 11.48【解析】(I)解：随机变量 X的所有可能取值为 0,1,2,3.1=1 =23； 4.23.4/ 2.34 241.111 11_1,34 2 341241 1 1P X =3

12、 二2 3 4所以，随机变量X的分布列为X0123112424随机变量X的数学期望E（X ）=011113-1 2 - 3 二424（n）解：设 Y表示第一辆车遇到红灯的个数,424 12Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为PY Z=1 =PY=0,Z=1 PY=1,Z=0=PY=0PZ=1 PY=1PZ=01 11 11 111=X + X= 4 24 24 4 48名学生每周的自习时间（单位：小时20 , 22 . 5),22.5小时的所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为 U.48【变式探究】（2016 山东，3,易）某高校调查了 200【解析】由频率分布直方图可知，每周的自习

13、时间不少于22.5 小时的频率为(0.16 +0.08 +0.04) X2.5 =）,制成了如图0.7 ,所以每周的自习时间不少于22.5小时的人数是 200X0.7 = 140.【变式探究】（2015 陕西，2）某中学初中部共有110名教师，高中部共有 150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为 （）1初中部）vim女f高中部）6口%A. 167B. 137C. 123D. 93解析由题干扇形统计图可得该校女教师人数为:110X70 知 150X (1 60%)= 137.故选 B.答案 B【变式探究】（1）（2014 湖南）对一个容量为N的总体抽取容量为 n的样本，当选取简单随

14、机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1, P2, P3,则（）A. P1=P2Vp3B. P2= P3P1C. P1=P3vp2D. P1 = P2 = P3（2）（2014 广东）已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图和图所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2% 勺学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）50厂。小学初中高中年级 A. 200,20 B. 100,20C. 200,10 D. 100,10【命题意图】（1）本题主要考查统计中的抽样及其概念，意在考查考生对抽样方法概念的理解.（2）本题主

15、要考查样本容量和分层抽样的概念及计算.要完成本题的计算需要从扇形统计图和条形统计图中读出相关数据并进行计算，意在考查考生的数据处理能力.【答案】（1） D （2） A【解析】（1）根据抽样方法的概念可知，简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种抽样？每个个体被抽到的概率都是P=.故Pl=Pi=P故选工 （2）在扇形统计图中,根据抽取的比例计算样本容量，根据条形统计图计算抽取的高中生近视人数.该地区中小学生总人数为3 500+2 000 + 4 500=10 000,则样本容量为10 000X2%= 200,其中抽取的高中生近视人数为2 OOOX2%X50%=20,故选且【感悟提升】在解题时注意各种

16、抽样方法的特点及适用范围，利用各种抽样都是等概率抽样.（1）在系统抽样的过程中，要注意分段间隔，需要抽取几个个体，样本就需要分成几个组，则分段间隔即为Nn（N为样本容量），首先确定在第一组中抽取的个体的号码数，再从后面的每组中按规则抽取每个个体.（2）在分层抽样中，要求各层在样本中和总体中所占比例相同.【变式探究】从编号为 001,002,，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007,032 ,则样本中最大的编号应该为 （）A. 480 B. 481C. 482D. 48325,所以 7+(k 1) - 25W500,【答案】C 【解析】因为系

17、统抽样是等距抽样，且抽样的样本中最小两个编号的差为 .一 518解得kk)0.0500.0100.001k3.8416.63510.8282,2n(ad -bc)K 二(a b)(c d)(a c)(b d)【答案】(1) 0.4092; (2)见解析；(3) 52.35(kg).C表示事件“新养殖法的箱产量不低于【解析】(1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg 50kg ”由题意知PA=PBC =PBPC旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为(0.040 0.034 0.024 0.014 0.012) 5=0.62故P(B )的估计值为0.62新养殖法的箱产量不低于 50kg的频率为

18、(0.068 0.046 0.010 0.008) 5=0.66故P (C )的估计值为0.66200 62 66 -34 38100 100 96 104因此，事件A的概率估计值为0.62x0.66 = 0.4092箱产量50kg箱产量50kg旧养嫡法6238新/广殖法3466(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表K2215.705由于 15.705 6.635故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图面积为 (0.004 + 0.020 + 0.044 产 5 = 0.34 0.5 ,箱产量低于55kg的直方图面积为0

19、.004 0.020 0.044+0.068 5 =0.68 0.5故新养殖法箱产量的中位数的估计值为50+0.5-0.340.068之52.35(kg).【变式探究】（2015 安徽，6）若样本数据xi,X2,，xi0的标准差为8,则数据2xi 1,2x21,，2xi01的标准差为（）A. 8 B . 15 C . 16 D . 32解析 法一 由题意知 , 期+右+X10=lgK冯一工尸+G才)?+(和一丈力, , 1则 y =fi(2xi-l) + (2x2-1)+. + (2xio-1)1 _=疝2(11+为+ + xio) n=2兀- 1 所以&= J(2当一 1一 y尸+(2/ -

20、1 )尸+ Qa一 1一 y力-JKix)21(/)*=公】，故选 C 10 答案C【变式探究】（2015 湖南，12）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示：13 003-156688914 1112223344555667815 01 2 2 3 3 3若将运动员按成绩由好到差编为135号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间139,151上的运动员人数是.解析 由题意知，将135号分成7组，每组5名运动员，落在区间139 , 151的运动员共有4组，故由系统抽样法知，共抽取 4名.答案 4题型五变量间的相关关系及统计案例例5. （2015 新课标全

21、国H,31）根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图.以下结论不正确的是 （）2 7002 6002 5M2印曲2 3002 2002 LOO2 HOCI WK)A.逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著Z4KM年现净年2皿隼到？玮年EM年2D蚱加11用插I痒加产年B. 2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C. 2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D. 2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关解析 从2006年，将每年的二氧化硫排放量与前一年作差比较，得到200年二氧化磕排放量与Z007年排 放量的差最大，A选项正确f2007年二氧

22、化硫排放量较2006年降低了很多，B选项正确孑虽然2011年二氧化硫排放量较2010年多一些J旦自2006年以来，整体呈递激趋势，即C选项正确宁目2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，D选项错误，故选D.答案D【变式探究】（2015 福建，4）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表:收入x（万元）8.28.610.011.311.9支出y（万元）6.27.58.08.59.8A.根据上表可得回归直线方程y = b x+ a ,其中b = 0.76 , a =y- bx.据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为（）A. 11.

23、4万元B. 11.8万元C. 12.0万元D. 12.2万元解析回归直线一定过样本点中心（10, 8） , b =0.76, a =0.4,由y = 0.76x+ 0.4得当x= 15万元时，y =11.8万元.故选B.答案 B【举一反三】（2015 新课标全国I ,19）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i = 1, 2,，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.20小附60402()00SD 6ft55555434 36 3S 40 42 44 46 4& 50 52 54 56*年