2019-2020年高一数学函数新课标人教版

1、2019-2020年高一数学函数新课标人教版一、函数的概念与表示1、映射(1)映射：设 A、B是两个集合，如果按照某种映射法则f,对于集合A中的任一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应(包括集合A、B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射，记作f : Z Bo(2)象与原象：如果给定一个从集合 A到集合B的映射，那么集合 A中的元素a对应的B中的 元素b叫做a的象，a叫做b的原象。注意点：(1)对映射定义的理解。(2)判断一个对应是映射的方法。2、函数(1)函数的定义原始定义：设在某变化过程中有两个变量x、y,如果于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值

2、与它对应，那么就称y是x的函数，x叫作自变量。近代定义：设 A、B都是非空的数的集合，f: x-y是从A到B的一个对应法则，那么从 A到B的映射f : A- B就叫做函数，记作 y=f(x),其中xw A, yw B,原象集合 A叫做函数的定义域，象集合 C叫做函数的值域。 CS B(2)构成函数概念的三要素定义域对应法则值域3、函数的表示方法解析法列表法图象法注意：强调分段函数与复合函数的表示形式。二、函数的解析式与定义域1、函数解析式：函数的解析式就是用数学运算符号和括号把数和表示数的字母连结而成的式子,简称“式”。(注意分段函数)(3)待定系数法(6)实际问题叫解析式，解析式亦称“解析表

3、达式”或“表达式”求函数解析式的方法：(1) 定义法(2)变量代换法(4)函数方程法(5)参数法2、函数的定义域：要使函数有意义的自变量x的取值的集合。求函数定义域的主要依据:(1)分式的分母不为零；(2)偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；(3)对数函数的真数必须大于零；(4)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;如果函数是由一些基本函数通过四则运算而得到的，那么它的定义域是由各基本函数定义域的 交集。3。复合函数定义域：已知 f(x)的定义域为xwla,b】,其复合函数flg(x)的定义域应由不等式a Wg(x) Wb解出。三、函数的值域1 .函数的值域的定义在函数y=

4、f(x)中，与自变量x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。2 .确定函数的值域的原则当函数y=f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y的集合；当函数y=f(x)用图象给出时，函数的值域是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合;当函数y=f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；当函数y=f(x)由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。3 .求函数值域的方法直接法：从自变量 x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围；二次函数法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域；反函数法：将求函数的值域转化为求它的反函数的值域；判别式法：运用

5、方程思想，依据二次方程有根，求出 y的取值范围；单调性法：利用函数的单调性求值域；不等式法：利用不等式的性质求值域；图象法：当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域；几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。四.函数的奇偶性1 .定义：设y=f(x) , xC A,如果对于任意x C A,者B有f (-x) = f (x),则称y=f(x)为偶函数。设y=f(x) , xCA,如果对于任意 x C A,都有f(x) = f(x),则称y=f(x)为奇函数。如果函数f (x)是奇函数或偶函数，则称函数y= f (x)具有奇偶性。2 .性质：函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称，y=f(

6、x)是偶函数 a y=f(x)的图象关于 y轴对称， y=f(x)是奇函数 u y=f(x)的图象关于原点对称，偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反，奇函数在定义域内关于原点对称 的两个区间上单调性相同，偶函数无反函数，奇函数的反函数还是奇函数，若函数f(x)的定义域关于原点对称，则它可表示为一个奇函数与一个偶函数之和1 1 f(x)=21f(x)f(-x) -f(x)-f(-x)奇土奇奇偶±偶=偶奇*奇=偶偶X偶二偶奇X偶制两函数的定义域Di , D, DAD要关于 原点对称对于F(x)=fg(x):若g(x)是偶函数，则F(x)是偶函数若g(x)是奇函数且f(x)是

7、奇函数，则F(x)是奇函数若g(x)是奇函数且f(x)是偶函数，则F(x)是偶函数3.奇偶性的判断看定义域是否关于原点对称看f(x)与f(-x)的关系五、函数的单调性1、函数单调性的定义；2、判断函数单调性(求单调区间)的方法：(1)从定义入手，(2)从图象入手，(3)从函数运算入手，(4)从熟悉的函数入手(5)从复合函数的单调性规律入手注：函数的定义域优先3“函数单调性的证明：定义法“取值一作差一变形一定号一结论”。4、一般规律(1)若f(x),g(x)均为增函数，则f(x)+g(x)仍为增函数；(2)若f(x)为增函数，则-f(x)为减函数；(3)互为反函数的两个函数有相同的单调性；(4)

8、设y = f gx 1是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则 y = f |g(x )在M上是减函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，则 y = f g(x J在M上是增函数。六、反函数1、反函数的概念：设函数 y=f(x)的定义域为 A,值域为C,由y=f(x)求出x = 9(y),若对于C中的每一个值v,在A中都有唯一的一个值和它对应，那么 x=(y )叫以y为自变量的函数，这个函数x = (y刑函数y=f(x)的反函数，记作x = f,(y ),通常情况下，一般用 x表示自变量，所以记作y = f(x)。注：在理解反函数的概念时应注意下列问题。(1)只有从定义域到值域

9、上一一映射所确定的函数才有反函数；(2)反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域；2、求反函数的步骤(1)解关于x的方程y=f(x),达到以y表示x的目的；(2)把第一步得到的式子中的x换成y, y换成x;(3)求出并说明反函数的定义域(即函数 y=f(x)的值域)。3、关于反函数的性质(1) y=f(x)和y=f-1(x)的图象关于直线 y=x对称；(2) y=f(x)和y=f-1 (x)具有相同的单调性；(3) y=f(x)和x=f-1(y)互为反函数，但对同一坐标系下它们的图象相同；(4)已知y=f(x),求f-1(a),可利用f(x)=a ,从中求出x,即是f-1(a)；(5)

10、f1f(x)=x;(6)若点P(a,b)在y=f(x)的图象上，又在 y=f-1(x)的图象上，则 P(b,a)在y=f(x)的图象上；(7)证明y=f(x)的图象关于直线 y=x对称，只需证得y=f(x)反函数和y=f(x)相同；七.二次函数1 .二次函数的解析式的三种形式(1) 一般式：f(x)=ax 2+bx+c(aw0),其中a是开口方向与大小，c是Y轴上的截距，而 -b是 2a对称轴。(2)顶点式(配方式)：f(x)=a(x-h)2+k其中(h,k)是抛物线的顶点坐标。(3)两根式(因式分解)：f(x)=a(x-x1)(x-x 2),其中x1,x2是抛物线与x轴两交点的坐标。求一个二

11、次函数的解析式需三个独立条件，如：已知抛物线过三点，已知对称轴和两点，已知顶点和对称2轴。又如，已知 f(x)=ax +bx+c(aw0),方程f(x)-x=0的两根为x1,x2,则可设f(x)-x= f (x )x = a(x x1 jx x2 )或 f (x )= a(x - x1 (x x2 )+ x。22 .二次函数f(x)=ax +bx+c(a w0)的图象是一条抛物线，对称轴x =二b ,顶点坐标 2ab 4 ac -b 2(一 ,)2 a4a(1) a>0时，抛物线开口向上，函数在b上单调递减，在b 上单调递增,(-, , )2 a2a乂=乎时，f(x). _4ac -b2

12、m in2a4 a(2) a<0时，抛物线开口向下，函数在(,_】上单调递增，在_b_,+oc)上单调递减, , 2 a2a ,-b 时 、x 二，f ( x) m ax2 a4ac - b 24a次函数f(x)=ax 2+bx+c(a w 0)当 = b2 _ 4ac >0时图象与x轴有两个交点M(xi,0),M 2(x2,0)M iM 2xi x2二(xi, x 2 ) 2 - 4 xi x 24.二次函数与二次方程关系方程ax2 +bx +c =0(a #0)的根为二次函数f(x)=ax2+bx+c(a w 0) y = 0的x的取值。二次函数与一元二次不等式的关系一元二次不

13、等式ax2 + bx + c > 0( < 0)的解集为二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a w。) y >0(< 0)的 x 的取值范围。二次函数情况,兀一次方程一兀二次不等式解集、，2,，一、Y=ax +bx+c (a>0)=b2-4acax2+bx+c=0 (a>0)ax2+bx+c>0 (a>0)ax2+bx+c<0 (a>0)图 象 与 解 >0b -7 &xx < xx :> x2 q x < x < x2xi2ab + J x2 2a 二0bxi x2 -_2ax x # x0

14、1町息13f <0方程无解Rc*八.指数式与对数式1.哥的有关概念n个(i)正整数指数哥an=aa,a，w (n w N”)，(2)零指数哥a°=i (a # 0) 负整数指数哥_n1八 一(a #0,n w N)(4)正 a分数指数哥am (a >0,m,nw N*,n >1 )；m(5)负分数指数哥a "n =1m an1. an m,a0,m,n N ,n . 1(6)0的正分数指数哥等于 0,0的负分数指数哥没有意义.2 .有理数指数哥的性质rs=a a 0,r,s Q(1 jaras =ar*(a >0,r,s三 Q) r r.r3 ab

15、=a b a 0,b 0,r Q3 .根式(1)根式的定义：一般地，如果xn =a，那么x叫做a的n次方根，其中(n a 1,n w N"n/a叫做根式，n叫做根指数，a叫被开方数。(2)根式的性质：当n是奇数，则njan =a；当n是偶数，则Van = a负数没有偶次方根,零的任何次方根都是零4 .对数(1)对数的概念如果ab =N(a >0,a *1),那么b叫做以a为底N的对数，记b = log a N (a a 0,a # 1)(2)对数的性质：零与负数没有对数 log a 1 = 0 log a a = 1对数的运算性质 log a MN = log a M + lo

16、g a N log aM = loga M - log a N N log a M n = nlog a M 其中 a>0,a 丰 0,M>0,N>0(4)对数换底公式：log a N10g m ' (N > 0,a > 0且 a # 1,m > 0且m # 1) logm a(5)对数的降哥公式：log m N n = log a N(N A0,a >0且 a#1)aam九.指数函数与对数函数1、指数函数y=ax与对数函数y=log ax (a>0 , a w1)互为反函数，从概念、图象、性质去理解它们的区别和联系名称指数函数对数函数一

17、般形 式Y=ax (a>0 且 aw1)y=log ax (a>0 , a w 1)定义域(-8,+ OO)(0,+ 8)值域(0,+ 8)(-8,+ OO)过定点(0, 1)(1,。)图象指数函数y=a与对数函数y=log ax (a>0 , aw 1)图象关于 y=x对称果底数相同，可利用指数函数的单调性；指数相同，可以利用指数函数的底数与图象关系 （对数式比较大小同理）记住下列特殊值为底数的函数图象：尸】稣。£2X3、研究指数，对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制4、指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题，讨 论复合函数的单调性是解决问题的重要途径。十.函数的图象1、作函数图象的基本方法有两种：描点法：1、先确定函数定义域，讨论函数的性质（奇偶性，单调性，周期性）（注意特殊点，如：零点，最大最小，与轴的交点）1 ,y =x十一的图象.3、描点，连线如:2、列表作出函数x图象变换法:平移变换：对称变换:利用基本初等函数变换作图（左正右负，上正下负）即y = f y = f（对称谁，谁不变，对称原点