2018年宁夏银川一中高考数学一模试卷

1、、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. （5分）已知复数z=?1 - 2i （其中i为虚数单位），则|z|二（）丁1 ,LA. 375b. 3/2C. 2后D. 2/22. （5 分）设集合 A= （x, y） |x2+y2=1, B= （x, y） |y=3x,则 A n B 的子集 的个数是（）A. 4 B. 3 C. 2 D. 13. （5分）古代数学着作九章算术有如下问题： 今有女子善织，日自倍, 五日织五尺，问日织几何"意思是：女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别

2、织布多少”根据上题的已知条件,可求得该女子第3天所织布的尺数为（A.2031B.354. （5分）已知正三角形 ABC的边长为a,那么 ABC的平面直观图 A B' C的面积为（）A.亨a2 b.寻2 C.争2 D.*a25. （5分）阅读程序框图，如果输出的函数值在区间小1内，则输入的实数x的取值范围是（）D. 2, +oo)A. ( 8, - 2 B. -2, - 1 C. -1, 26. （5分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（%*、1U>/、*、事3A. 96 B. 80721 C,解+4（诋-1）n D. 6+4（

3、2aT）兀7. （5分）上海某小学组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的 6个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有（）A. A*A£种B.A3X54种030C. C"AaD.C?X54种S568. （5分）某单位安排甲、乙、丙三人在某月 1日至12日值班，每人4天. 甲说：我在1日和3日都有值班； 乙说：我在8日和9日都有值班；内说：我们三人各自值班的日期之和相等.据此可判断内必定值班的日期是A. 2日和5日B. 5日和6日 C. 6日和11日D. 2日和11日支-9. （5分）设x, y满足条件-3式寸-6<0 ,若目标函

4、数z=ax+by （a>0, b>0）的最大值为12,则工金的最小值为（）a bA.络B.匚 C.4D. 4o 3310. (5 分)设F1, F2是双曲线%=1 （a>0, b>0）的左、右两个焦点,若双曲线右支上存在一点P,使（屈+而）？H=0 （O为坐标原点）,且|PF1|=V3|PF2|,则双曲线的离心率为()A. 6； B. V2+1 C.、行;1 D. V3+11|' I -1.11. (5 分)在AABC 中，挹'BC =BC 匚A =CA AB 则 $访人：sinB： sinC=()321A. 5: 3: 4B. 5: 4: 3 C.近：

5、“：2 D.诋：2:M12. (5分)若函数f (x) =x3-3x在(a, 6-a2)上有最小值，则实数 a的取值范围是()A. (-V5, 1) B. -V5, 1) C. -2, 1) D. (-2, 1)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13. （5分）若 a=log43,贝U 2a+2 a=.14. （5分）函数 f （x） =2sin2 （千+x）-Vcos2x（千&x0三）的值域为.15. （5分）已知圆x2+y2=4,B（1,1）为圆内一点,P,Q为圆上动点,若/ PBQ=90 , 则线段PQ中点的轨迹方程为.16. （5分）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线

6、y2=2px （p>0）上任意 一点，M是线段PF上的点，且|PM|二2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为 .三.解答17. （12分）Sn为数列an前 n项和，已知 an>0, an2+2an=4Sn+3,（1）求an的通项公式；（2）设bn=,求数列bn的前n项和. anan+l18. （12分）人们常说的 幸福感指数”就是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间0, 10内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高.为了解某地区居民的幸福感情况， 随机对该地区的男、女居民各500人进行了调查，调查数据如表所示：幸福感指数0, 2)2, 4)4, 6

7、)6, 8)8, 10男居民人数1020220125125女居民人数1010180175125（1）在图中绘出频率分布直方图（说明：将各个小矩形纵坐标注在相应小矩形边的最上面），并估算该地区居民幸福感指数的平均值；（2）若居民幸福感指数不小于 6,则认为其幸福.为了进一步了解居民的幸福满意度，调查组又在该地区随机抽取 4对夫妻进行调查，用 X表示他们之中幸 福夫妻（夫妻二人都感到幸福）的对数，求 X的分布列及期望（以样本的频率 作为总体的概率）.0.150J00.05金捻指数19. (12 分)如图，在四棱锥 P- ABCD 中，PA，面 ABCD , AD/ BC, / BAD=90 ,AC

8、XBD, BC=1, AD=PA=2, E, F 分别为 PB, AD 的中点.(1)证明：ACXEF;(2)求直线EF与平面PCD所成角的正弦值.20. (12分)已知椭圆三彳三=1 (a>b>0)的离心率e=-,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.(1)求椭圆的方程.(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点 A, B,已知点A的坐标为(-a, 0), 点Q (0, yo)在线段AB的垂直平分线上，且 金薪=4,求yo的值.21. (12分)已知函数 f (x) =lnx-ax2+ (a-2) x.(1)若f (x)在x=1处取得极值，求a的值;(2)求函数y=f (x)在a2,

9、 a上的最大值.请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4:坐标系与参数方程22. (10分)在直角坐标系xOy中，曲线Ci的参数方程为产”及口三口( 口为参 y=2sin<l数)，曲线C2的参数方程为P=3cosP =( B为参数),以。为极点，x轴的正半 轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线Ci和曲线C2的极坐标方程；(2)已知射线li: 8=H0<a<萼)，将射线li顺时针旋转詈得到射线12； 8=a-且射线11与曲线C1交于O, P两点，射线|2与曲线C2交于O, Q两点，求|OP|?|OQ的最大值.选彳4-5;不等式选讲23. 设

10、不等式-2<|x-1|-|x+2|<0的解集为M,且a, bCM.(1)证明：层a*b|<不 J O 4(2)比较|1-4abpf 2|a-b|的大小,并说明理由.2018年宁夏银川一中高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的.1. （5分）已知复数z= - ' - 2i （其中i为虚数单位），则|z|二（）A. 3百B. 3V2C. 2VSD. 2匣【解答】 解：z=l - 2i= J 呼二A、 - 2i=3 - i - 2i=3 - 3i,3+1（3+i J

11、（3-iJ则忆|二蚯,故选：B.2. (5 分)设集合 A= (x, y) |x2+y2=1, B= (x, y) |y=3x,则 A n B 的子集 的个数是()A. 4 B. 3C. 2 D. 1【解答】解：. A= (x, y) |x2+y2=1, B= (x, y) |y=3x, fx2+y2=l.AnB= (x, y) | 式 * Z如图：由图可知，APB的元素有2个，则AH B的子集有22=4个.故选：A.3. （5分）古代数学着作九章算术有如下问题：今有女子善织，日自倍,五日织五尺，问日织几何"意思是：女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这

12、女子每天分别织布多少”根据上题的已知条件,可求得该女子第3天所织布的尺数为（）4尺,则数列an是等比数列，公比q=2.2-12031=5,解得&4. （5分）已知正三角形 ABC的边长为a,那么 ABC的平面直观图 A B' C 的面积为（）A. a2 B.噜 a2 C .惜a2 D.+2【解答】解：由于斜二测画法规则是在已知图象中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O,画直观图时，画出相应的x轴和y轴，两轴相交于O',且使/ x，O, y，或51350,它们确定的平面表示水平面，已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画出平行于x轴和y轴的 线段，已知图形中平

13、行于x轴的线段在直观图中长度保持不变，平行于y轴的线段长度 变成原来的一半，.ABC的平面直观图 A B'的底边长不变，高变为 叵3 Jx返=a, 2228.ABC的平面直观图 A B的面积S=-乂4乂丑自近相.2二：16故选：D.5. （5分）阅读程序框图，如果输出的函数值在区间5内，则输入的实数x的取值范围是()A. ( 8, 2 B. -2, - 1 C. -1, 2 D. 2, +8)【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数f (x) = 2' Xt J，' 2的函数值.2,xE(-g, -2)U(2,

14、+8)又丁输出的函数值在区间L, L 内， 42x -2, - 1故选：B.6. (5分)如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视【解答】解：由三视图可知几何体为边长为 4的正方体挖去一个圆锥得到的，圆锥的底面半径为2,高为2, 圆锥的母线长为2向. 几何体的平面部分面积为 6X42- ttX 22=96-4兀圆锥的侧面积为=4 =4 2乂 2近=4,反叮.几何体的表面积为96-4 7+42万.故选：C.7. （5分）上海某小学组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的 6个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有（）A. A£

15、 6A BX54种C. C "A &种 D. C ?X54种 D0【解答】解：根据题意，分2步进行分析：，在6个年级中任选2个，去参观甲博物馆，有C62种选法，剩下4个年级中每个年级都可以在剩下的 5个博物馆中任选1个参观，都有5种选法，则剩下4个年级有5X5X5X5=54种选法，则一共有C62X 54种方案；故选：D.8. （5分）某单位安排甲、乙、丙三人在某月 1日至12日值班，每人4天.甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班；内说：我们三人各自值班的日期之和相等.据此可判断内必定值班的日期是（ ）A. 2日和5日B. 5日和6日 C. 6日和11日D

16、. 2日和11日【解答】解：由题意，1至12的和为78,因为三人各自值班的日期之和相等，所以三人各自值班的日期之和为 26,根据甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班，可得甲在 1、3、10、12 日值班，乙在 8、9、2、7 或 8、9、4、5,据此可判断内必定值班的日期是 6日和11日，故选：C.9. （5分）设x, y满足条件-0 ,若目标函数z=ax+by （a> 0, b>0） y0的最大值为12,则的最小值为（）A.孕B.三 C.马D. 4633【解答】解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，6)时，目标函数z=ax+by (a>0, b&g

17、t;0)取得最大 .4a+6b=12,即 2a+3b=6,.&JL= (J-4-2 ) X 2/3b =!(122!>4 a b a b66a b当且仅当史理时，的最小值为4 a ba b故选：D.7 / 一x / z r-y-h2=0Av-v-6=0/-2210. (5分)设F1, F2是双曲线号-J=1 (a>0, a/ b12,b>0）的左、右两个焦点,当直线ax+by=z （a> 0, b>0）过直线x - y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,若双曲线右支上存在一点 P,使（5?+正）净版=0 （O为坐标原点）,且|PFi|=V3|PF2|

18、,则双曲线的离心率为（）A. '宁 1 B. V2+1 C. 'I D. V3+1【解答】解：PF PF2的中点A,则赤+可=2亩V （OP+of；）苞f=0, 血布尸=0.O是F1F2的中点OA / PFi ,PFi±PF2, .|PFi|=. ；|PF2|, .2a=|PF|PF2|=(61) |P冏，|PFi|2+|PF2|2=4c2, .c=|PF2|,e-=-J=V5+1a M3-1故选：D.1|' I -1.11. (5 分)在AABC 中，艇BC,=BCCA=CAAB ,则 $访人：sinB: sinC=()$21A. 5: 3: 4B, 5:

19、4: 3 C.近：灰：2 D.诋：2: V3【解答】解： ABC中，: APBC=g；0=CAAB 321. ABBC85(兀-B) -BCCAs式兀Y)CAAB。口式0-A)3=1'即加七口初=止'8式=bL85A.321'2 , 2 v2 l 2,. 22,2 , 22即- - =- =bc? 3 2ac 2 2ab2k '即 2a2+2c2 - 2b2=3a2+3b2 - 3c2=6b2+6c2 - 6a2,设 2a2+2c2 - 2b2=3a2+3b2 - 3c2=6b2+6c2 - 6a2=k,求得 a2=5k, b2=3k, c2=4k,a=J 卜,

20、b= I , c=.；YZ=21 I ,由正弦定理可得 a： b: c=sinA: sinB: sinC=/5： JI： 2, 故选：C.12. (5分)若函数f (x) =x3-3x在(a, 6-a2)上有最小值，则实数 a的取值 范围是()A.(-近,1) B. -V5, 1) C. -2, 1) D. (-2, 1)【解答】解：由题意可得：函数f (x) =x3 - 3x,所以 f'(x) =3x2- 3.令 f'(x) =3x2-3=0可得，x=±1;因为函数f (x)在区间(a, 6- a2)上有最小值，其最小值为f (1), 所以函数f (x)在区间(a,

21、 6-a2)内先减再增，即f'(x)先小于0然后再大于 0,所以结合二次函数的性质可得：a< 1<6-a2,且 f (a) =a3- 3a>f (1) = - 2,且 6 a2 a>0,联立解得：-2&a< 1.故选：C.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13. (5分)若 a=log43,则 2a+2 a= J【解答】解：= a=log43,可知4a=3,即 2a=:所以2a+2"=丘+=尊.故答案为：誓.14. (5分)函数 f (x) =2sin2 (-+x) -V3cos2x (-<x<-)的值域为 1 , 2L

22、- -【解答】 解：函数 f (x) =2sin2 (+x) - V3cos2x= - cos ( +2x) 42卜；cos2x+1=sin2x - ： ；cos2x=2sin （2x-也） 31兀x w2当乂=昱L时，函数取得最大值为:122.函数取得最小值为:1.所以函数的值域为：1, 2.故答案为：1, 2.15. (5分)已知圆x2+y2=4,B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上动点,若/ PBQ=90 , 则线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0 .【解答】解：设PQ的中点为N (x, y),在 RtzXPBQ 中，|PN|=|BN|,设O为坐标原点，则ONXPQ,所以

23、|OP2=|ON|2+|PN二|ON|2+|BN|2,所以 x2+y2+ (x1) 2+ (y 1) 2=4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2- x- y - 1=0.故答案为：x2+y2 - x - y - 1=0.16. (5分)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px (p>0) 意 一点，M是线段PF上的点，且|PM|二2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为【解答】解：设P (2pt, 2pt), M (x, y),则上JL 2上2 36V3当且仅当t二一时取等号，2t直线OM的斜率的最大值为 亨.故答案为：* 三.解答17. (12分)Sn为数列an前 n 项和,

24、已知 t>0, an2+2an=4Sn+3,(1)求an的通项公式；(2)设bn=i,求数列bn的前n项和. anan+l【解答】解：(1) &>0, an2+2an=4Sn+3,n)2时，a_1+2an-1=4Sn-1+3,相减可得：an2+2an -(陵 +2an 1)=4an, an-l，化乂J: (&+an-1)(怎an -1 - 2) =0, a>0, 分a 一 2=0,即 an an 1=2,又+2%=4曰+3, a>0,解得 a1二3.数列an是等差数列，首项为3,公差为2.an=3+2 (n- 1) =2n+1.h 111 r 11.(2

25、) bn=-=-,%日的 Qn+l)(2n+3)2 l2n+l 2"3 ''数列bn的前n项和4Ci4)+44)+.+(_i_)Z o o rznTl zntj=6n+9 .18. （12分）人们常说的 幸福感指数”就是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间0, 10内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高.为了解某地区居民的幸福感情况， 随机对该地区的男、女居民 各500人进行了调查，调查数据如表所示:8, 10125125幸福感指数0, 2)2, 4)4, 6)6, 8)男居民人数1020220125女居民人数1010180175（

26、1）在图中绘出频率分布直方图（说明：将各个小矩形纵坐标注在相应小矩形 边的最上面），并估算该地区居民幸福感指数的平均值；（2）若居民幸福感指数不小于 6,则认为其幸福.为了进一步了解居民的幸福 满意度，调查组又在该地区随机抽取 4对夫妻进行调查，用 X表示他们之中幸 福夫妻（夫妻二人都感到幸福）的对数，求 X的分布列及期望（以样本的频率 作为总体的概率）.频率八 藕0.25- Q.沙 0.150.100.05-T I幸福最旨数【解答】解：（1）频率分布直万图如右图.所求的平土讥S为X 2X1 + X2X3+ X2X5+X2X7+X2X9=,（2）男居民幸福的概率为：=.女居民幸福的概率为： 当

27、栾祖=， 500故一对夫妻都幸福的概率为：x=,因此X的可能取值为0, 1, 2, 3, 4,且XB (4,)于是P (X=k)X的分布列为4321 O-K(k417 -1(k3k 4cA璋是 频组J一二十II I 一尸一M- 5 Q 5 o 2 2 11 d - o o o o幸福晟旨数19. （12 分）如图，在四棱锥 P- ABCD 中，PA，面 ABCD , AD/ BC, / BAD=90 ,ACXBD, BC=1, AD=PA=2, E, F 分别为 PB, AD 的中点.(1)证明：ACXEF;(2)求直线EF与平面PCD所成角的正弦值.P D【解答】解：(1)易知AB, AD,

28、 A P两两垂直.如图，以A为坐标原点，AB, AD, AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.设 AB=t,则相关各点的坐标为：A (0, 0, 0), B (t, 0, 0), C (t, 1, 0), D (0, 2, 0), P (0, 0, 2),呜,0, 1)F (0,1, 0).(2分) 从而而=L / 1, T),应=(t, 1, 0),廊=(-t, 2, 0).因为ACLBD,所以庭痂=-t2+2+0=0.解得tS或t=S （舍去）.（4分）于是面上（迹，1, 1）,麻=（叵,1,0）. 2因为菽?而=-1+1+0=。，所以菽，而，即ACLEF.（6分）（2）由

29、（1）知，|PC=（版,1, -2）, PD= （0, 2, -2）.设£ （x, y, z）是平面PCD的一个法向量，则&*l2h。 ZyHZwO令"衣，则:=（1,衣,、回）.（9分）设直线EF与平面PCD所成角为9,则sin 81cos曰，而|.5即直线EF与平面PCD所成角的正弦值为（12分）20. （12分）已知椭圆三匹二1 （ab0）的离心率ejl,连接椭圆的四个 ” d2顶点得到的菱形的面积为4.（1）求椭圆的方程.（2）设直线l与椭圆相交于不同的两点 A, B,已知点A的坐标为（-a, 0）,点Q （0, y0）在线段AB的垂直平分线上，且QA?&#

30、174;=4,求y0的值.【解答】解：（1）由e事应,得3a2=4c2. a 2再由 c2=a2 - b2,解得 a=2b.由题意可知 X2aX2b=4,即ab=2.a解方程组 卜'2b得a=2, b=i.此二22所以椭圆的方程为亍+ /二1.（2）由（I ）可知点A的坐标是（-2, 0）.设点B的坐标为（xi, yi）,直线l的斜率为k. 则直线l的方程为y=k （x+2）.尸k（H2）于是A、B两点的坐标满足方程组J土消去 y并整理，得(1+4k2) x2+i6k2x+ (16k2-4) =0.9得工产生笑.从而341 1“芹1 l+4k2所以1的二（_令x=0,解得吗。（8;二个

31、Y IHk21十以上1十4K设线段AB的中点为M,2则M的坐标为（，" 编） l+4k2以下分两种情况：当k=0时，点B的坐标是（2, 0）,线段AB的垂直平分线为y轴,于是赢=2, -yQ）, ®=（2，-y0）由欣，诬二4,得y广土班.当kw0时，线段AB的垂直平分线方程为)2k 1,，8k"y 5"=i(工"91+4 k2 卜 l+4k?6ky(i=-2l+4kJ由 QA-(-2, -y0)，QB=(QA*QB=-2i1 -yQ Cy t -yc)=-，： I1H4£l+4k? l+4k2 l+4k24(161?十 15k2-1

32、)(1+4/整理得7k2=2.故依士半所以2后 旷士飞一.,2VR 3土飞一 '二 土 2y 或21. (12分)已知函数 f (x) =lnx-ax2+ (a-2) x.(1)若f (x)在x=1处取得极值，求a的值；(2)求函数y=f (x)在a2, a上的最大值.【解答】解：(1) f (x) =lnx - ax2+ (a-2) x, .函数的定义域为(0, +8).f'(x) = - - 2ax+ (a- 2) =-5-口( a肝 1.X工f (x)在x=1处取得极值，即 f'(1) =- (2-1) (a+1) =0, a= - 1.当 a=- 1 时，在(争

33、 1)内 f'(x) <0,在(1, +oo)内 f，(x) >0,.x=1是函数y=f (x)的极小值点. a= - 1.(2) s2<ai,0<a< 1.f，(x) = - 2ax+ (a-2) =一'*1)(型岂).Xxx (0, +oo),ax+1 >0, .f (x)在(0,那上单调递增；在(+ OO)上单调递减,当0a0丁时,f (x)在a2, a单调递增, fmax (x) =f (a) =lna J+a2 2a；当，即一a孚时，f (x)在(a2, I)单调递增，在(2，a)单2调递减，fmax (x) =f () = - l

34、n2 - -+=-=- - 1 - ln2 ； 24 24当a2,即苧&a< 1时，f (x)在a2, a单调递减， fmax (x) =f (a?) =2lna a'+a 2a?.综上所述，当0<a0时，函数y=f (x)在a2, a上的最大值是lna-3+a2-2a； 当二<2<等时，函数y=f (x)在a2, a上的最大值是录T - ln2；当T时, 函数y=f (x)在a2, a上的最大值是2lna-a5+a3-2a2.请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4:坐标系与参数方程22 . （10分）在直角坐标系x