三角函数图像与性质知识点总结

1、函数图像与性质知识点总结、三角函数图象的性质1“五点法”描图y = sin x的图象在0,2 n 上的五个关键点的坐标为(0,0)3 n, l) (2 n, 0)y = cos x的图象在0,2 n 上的五个关键点的坐标为(0,1),仃,0 j, ( n, 1),忙,0 j, (2 n, 1)2.三角函数的图象和性质函数 性质'y = sin xy= cos xy = tan x定义域RRnx|xmk 冗+,k Z图象fe1io1irT r/O : it r :2值域1,11,1R对称性对称轴：x= kn +n2(k Z)；对称中心：(kn, 0)( k Z)对称轴：x= kn (k

2、Z)对称中心：n(kn+ , 0) (kZ)对称中kn J<2 , 0丿严心:(k Z)周期2 n2 nn单调增区间_2k n单调增区间nn2， 2k n + 2( k2 k n n ,2 k单调增区间 Z)；n (k Z);n单调性单调减区间单调减区间(k n , k n +2 k n , 2 k n +nJI2 k n + _- ,2 k n +y)(k Z)2n (k Z)3 n2 (k Z)奇偶性奇函数偶函数奇函数3. 般地对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x + T) = f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数 T叫

3、 做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期)4. 求三角.函.数值域一.(最值)的方法:(1) 利用.sin _ x y. cos x的有界性；关于正、余弦函数的有界性由于正余弦函数的值域都是1,1,因此对于？ x R,恒有一K sin x< 1，- 1< cos x< 1，所以 1 叫做 y = sin x，y= cos x 的上确界，一1 叫做 y = sin x，y= cos x的下确界.(2) ,形式复杂的函数应化为.y三Asin(土如土 k._ 的形式逐步分析x 土也的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；含参数的最

4、值问题，要讨论参数对最值的影响.(3) .换元法:把一 sin.x或cos x看作一个整体，可化为求.函数在区间上的值域(.最值) 问题，利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如：y = sin2x 4sin x+5. 令 t = sin x(|t|w 1),贝U y= (t 2)2+ 1> 1,解法错误.5.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如 y= Asin( 3 x +© ) (s >0) 的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出 x所在的区间.应特别注意，应在函数的定义域内考虑.注意区分下列两题的单调增区间不同；利用换元法求复合函数的单调区间（要

5、注意x系数的正负号）冗、n（1）y= sin 2x- - ; （2）y= sin &-2x .6、y = Asin（ 3 x+ © ） + B的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考 虑：A的确定：最咼点一最低点根据图象的最高点和最低点，即A2B的确定：最咼点+最低点根据图象的最咼点和最低点，即B23的确定:2 n结合图象，先求出周期，然后由T（ 3 >0）来确定3 ；3©的确定：把图像上的点的坐标带入解析式 y= Asin（ 3x+ © ） + B,然后根据 ©的范围确定©即可，例如由函数y= Asin（ 3 x+

6、69; ） + K最开始与x轴的交点 （最靠近原点）的横坐标为2（即令3 x+ © = 0 , X= 2）确定© .33二、三角函数的伸缩变化 先平移后伸缩向左（®>o）或向右（半<p）y =sin x的图象平移|个单位长度横坐标伸长（0< <1）或缩短（ >1）得 y 二sin（x 的图象1>到原来的2（纵坐标不变）co纵坐标伸长（A 1）或缩短（0< A<1）得y =sin（x的图象为原来的a倍（横坐标不变）得y =Asingx Z）的图象一凹縣器瓷迪得 y 二 Asin(x k 的图象.先伸缩后平移y =sin x的图象一 为原来的A!1横坐标不变AT/口甘宀横坐标伸长（0或M）或缩短（凶）得y=Asinx的图象到原来的