数据模型和决策课程案例分析报告

1、数据模型与决策课程案例一生产战略一、问题提出好身体公司(BFI )在长岛自由港工厂生产健身练习器械。最近他们设计了两种针对家庭锻炼所广泛使用的举重机。两种机器都是用了BFI专利技术，这种技术提供给使用者除了机器本身运动功能之外的一些其他额外的运动功能。直到现在，这种功能也只有在很昂贵 的、应用于理疗的举重机上才可以获得。在最近的交易展销会上，举重机的现场演示引起了交易者浓厚的兴趣，实际上，BFI现在收到的订单数量已经超过了这个时期 BFI的生产能力。管理部门决定开始这两种器械的生产。这两种器械分别被 BFI公司命名为 BodyPluslOO和BodyPlus200 ,由不同的 原材料生产而成。

2、BodyPluslOO由一个框架、一个压力装置、一个提升一下拉装置组成。生产一个框架需要4小时机器制造和焊接时间，2小时喷涂和完工时间；每个压力装置需要2小时机器制造和焊接时间，1小时喷涂和完工时间，每个提升一下拉装置需要2小时机器制造和焊接 时间，2小时喷涂和完工时间。另外，每个BodyPluslOO还需要2小时用来组装、测试和 包装。每个框架的原材料成本是450美元，每个压力装置的成本是 300美元，每个提升一下拉装置是250美元。包装成本大约是每单位 50美元。BodyPlus200包括一个框架、一个压力装置、一个提升一下拉装置和一个腿部拉伸装置。生产一个框架需要5小时机器制造和焊接时间

3、，4小时喷涂和完工时间；生产一个压力 装置需要3小时机器制造和焊接时间，2小时喷涂和完工时间；生产每个提升一下拉装置需 要2小时机器制造和焊接时间，2小时喷涂和完工时间，另外，每个BodyPlus200还需要2小时用来组装、测试和包装。每个框架的原材料成本是650美元，每个压力装置的成本是400美元，每个提升一下拉装置是 250美元，每个腿部拉伸装置的成本是 200美元。包装成本大约是每单位75美元。在下一个生产周期，管理部门估计有 600小时机器和焊接时间，450小时喷涂和完工时间，140小时组装、测试和包装时间是可用的。现在的每小时劳动力成本是机器制造和 焊接时间20美元，喷涂和完工时间1

4、5美元，组装、测试和包装 12美元。虽然对于BFI但BodyPluslOO的市场建议BFI销售商可以以市场价格的BFI成为高端锻炼器械的领导来说由于新机器的独特功能可能还会获得一些价格的灵活性, 价格是2400美元，BodyPlus200是3500美元。授权的 70%来购买产品。BFI的总裁相信 BodyPlus200的独特功能可以帮助者。所以，他认为BodyPlus200的数量至少会占到整个生产数量的25%。管理报告分析BFI的生产问题，为公司的总裁准备一份报告，告诉他们你的发现和建议。报告 包括以下几个方面(不仅于此)：(1 ) BodyPluslOO和BodyPlus200的建议生产数量

5、是多少？(2 ) BodyPlus200的数量占生产数量至少25%的要求会怎样影响利润？(3 )为了增加利润应扩展哪方面的努力？把你的线性规划模型和图形解作为你报告的附录部分。（BFI ）两种器械产品BodyPlusWO 和根据案例对好身体公司BodyPlus200 的描述，用表格形式列举出该两种产品的各项基本信息，表格如下:零件产品原材料成本（美元）BodyPluslO 0BodyPlus20 0BodyPluslO 0BodyPlus20 0框架4254450650压力装置2132300400提升/下拉2222250250组装22腿拉200包装5075总共用时（h）85108总成本（美兀）

6、10501575机器/焊接（h）600劳动成本（美元/h）20喷涂/完工（h）45015组、测、包（h）14012售价（美元）24003500表1.1(1) BodyPluslOO和BodyPlus200的建议生产数量是多少？设BodyPlusWO的建议生产数量是 x1 , BodyPlus200的建议生产数量是 x2,总利润 是 Z, 则目标 函数： maxz=2400x1+3500x2 20(8x1+10x2) 15(5x1+8x2)12(2x1+2x2)=2141x1+3156x2约束条件： 8x1+10x2 W 6005x1+8x2W 4502x1+2x2W 140x1 , x2 2

7、0(2)BodyPlus200的数量占生产数量至少25%的要求会怎样影响利润？设BodyPlusWO的建议生产数量是 x1 , BodyPlus200的建议生产数量是 x2,总利润 是 Z, 则目标 函数： maxz=2400x1+3500x2 20(8x1+10x2) 15(5x1+8x2) 12(2x1+2x2)=2141x1+3156x2约束条件： 8x1+10x2 W 6005x1+8x2 < 4502x1+2x2 < 140x1 -3x2< 0x1 , x2 2 0三、模型求解与结果解释根据已经建立的模型，运用图解法对该问题进行求解。建立直角坐标系，用横轴代表 x1

8、 ，纵轴代表x2 o(1) BodyPluslOO和BodyPlus200的建议生产数量是多少？根据问题(1 )约束条件：作 8x1+10x2 = 600 直线，令 x1=0 ,贝1J x2=60 ；令 x2=0 ,贝lj x1=75同理，作 5x1+8x2=450,2x1+2x2=140 两直线得图形如下：1802x1+2x2= 14013590OX145 90 135 1808x1+10x2 = 6005x1+8x2= 450图1.1x1 =150/7 , y=300/7 时，z 最大，此时maxz=181135.7可得最优解为：x1 =150/7 , y=300/7综上所述，建议生产Bo

9、dyPluslOO产品21台，生产 BodyPlus200产品43台。该生产建议下各项约束条件情况如下：约束条件耗费时间可用时间机器/焊接(h)598600喷涂/完工(h)449450组、测、包(h)128140表1.2(2)BodyPlus200的数量占生产数量至少25%的要求会怎样影响利润？根据问题(2)的约束条件，即在问题(1)的基础上增加X1-3X2 <0这一项约束条 件。因此，我们在图1.1的基础上增加x1-3x2=0直线, 令 x1=0 ,贝1J x2=0 ；令 x1=90 ,贝1J x2=30 得到图形如下：xl-3x2=045-A.5x1+8x2=450由图可知，阴影部分

10、即为可行域范围。对比图 1.1和图1.2可行域范围明显减小。当由此约束条件的情况下，当x1=150/7, y=300/7时，z最大，此时maxz=181135.7 可得最优解为：x1 =150/7 , y=300/7此时的建议生产量仍为BodyPluslOO产品21台，生产 BodyPlus200产品42台。综上所述，有BodyPlus200的产量比例约束时最大利润无影响。(3)为了增加利润应扩展哪方面的努力？根据表1.2,在最优解情况下各项约束条件情况来看，可以得出如下结论：1 .机器/焊接所用时间仅比可用时间少2小时；2 .喷涂/完工所用时间仅比可用时间少1小时；3 .组、测、包所用时间比

11、可用时间少12个小时，在其他条件允许的情况下可以再组 装6台器械。针对上述结论，为增加利润提出如下建议：1 .增加机器制造和焊接时间的可用时间；2 .增加喷涂和完工的可用时间。四、参考文献2012侯文华等译，数据、模型与决策：管理科学篇.北京：机械工业出版社,数据模型与决策课程案例二投资战略一、问题提出J.D.威廉姆斯公司是一个投资质询公司，为大量的客户管理高达1.2亿美元的资金。公司运用一个很有价值的模型，为每个客户安排投资，分别投资在股票增长基金、收入基金 和货币市场基金。为了保证客户投资的多元化，公司对这三种投资的数额加以限制。一般来 说，投资在股票方面的资金占总投资20%-40%之间，

12、投资在收入基金上的资金应确保在20%-50%之间，货币市场方面的投资至少应该占30% o此外，公司还尝试着引入了风险承受能力指数，以迎合不同投资者的需求。比如，威廉姆斯的一位新客户希望投资800000美元。对其风险承受能力进行评估得出其风险指数为 0.05 o公司的风险分析人员计算出，股票市场的风险指数是0.10,收入基金的风险指数是0.07,货币市场的风险指数是 0.01 o整个投资的风险指数是各项投资所占总投资的百分率 与其风险指数乘积的代数和。此外公司预测，股票基金的年收益率是18%,收入基金的收益是12.5%,货币市场基 金的收益是7.5% o现在，基于以上信息，公司应该如何安排这位客

13、户的投资呢？建立数字 模型，求出使总收益最大的解，并根据模型写出管理报告。管理报告（1）如何将800 000美元投资于这3种基金。按照你的计划，投资的年收益是多少？（2 ）假设客户的风险承受指数提高到0.055 ,那么在投资计划更改后，收益将增加多 少？（3）假设客户的风险承受指数不变，仍然是0.05 ,而股票成长基金的年收益率从18%下降到14%,那新的最佳投资方案是什么？（4）假设现在客户认为投资在股票方面的资金太多了，如果增加一个约束条件即投资 于股票增长基金的资金不可以超过投资于收入基金的资金，那么新的最佳方案是什么？（5 ）当遇到预期收益变化时，你所建立的线性规划模型应该可以对客户的

14、投资方案作 出修改，那么这个模型的适用范围是什么？二、问题分析与模型建立根据案例对J.D.威廉姆斯公司三种基金股票增长基金、收入基金和货币市场基金的描 述，用表格形式列举出三种基金的各项基本信息，表格如下：基金类型年收益率风险指数股票基金18%0.10收入基金12.5%0.07货币基金7.5%0.01投资限额总投资额总风险指数20%-40%8000000.0520%-50%2 30%1 ）如何将800 000美元投资于这 3种基金。按照你的计划，投资的年收益是多少？设三种投资基金的数量分配分别为x1 , x2, X3 （单位为百万），投资的年收益为z,则maxz=0.18x1 +0.125x2

15、+0.075x3约束条件：x1+x2+x3< 0.8 0.16 < x1 < 0.32 0.16x2< 0.4x3 2 0.240.125x1 +0.0875x2+0.0125x3=0.05（2 ）假设客户的风险承受指数提高到0.055 ,那么在投资计划更改后，收益将增加多少？设三种投资基金的数量分配分别为x1 , x2, X3 （单位为百万），投资的年收益为z,则目标函数 maxz=0.18x1 +0.125x2+0.075x3约束条件：x1+x2+x3< 0.80.16 - 0.320.16 < x2< 0.4x3 2 0.240.125x1 +0

16、.0875x2+0.0125x3=0.055（3）假设客户的风险承受指数不变，仍然是0.05 ，而股票成长基金的年收益率从18%下降到14%,那新的最佳投资方案是什么？设三种投资基金的数量分配分别为x1 , x2, X3 （单位为百万），投资的年收益为z,则目标函数 maxz=0.14x1+0.125x2+0.075x3约束条件：X1+X2+X3 < 0.80.16 - 0.320.16 < x2< 0.4x3 2 0.240.125x1 +0.0875x2+0.0125x3=0.05（4）假设现在客户认为投资在股票方面的资金太多了，如果增加一个约束条件即投资于股票增长基金的

17、资金不可以超过投资于收入基金的资金，那么新的最佳方案是什么？设三种投资基金的数量分配分别为x1 , x2, x3 （单位为百万），投资的年收益为z,则maxz=0.18x1 +0.125x2+0.075x3约束条件：x1+x2+x3< 0.80.16 < x1 <0.320.16 < x2< 0.4x3 2 0.24 x1 或 x20.125x1 +0.0875x2+0.0125x3=0.05（5）当遇到预期收益变化时，你所建立的线性规划模型应该可以对客户的投资方案作出 修改，那么这个模型的适用范围是什么?根据该问题的描述，可以理解为当预期收益率在一定范围内变化时

18、，最佳投资方案是否 改变，即对目标函数的系数进行敏感度分析，确定当最优解不变时的预期收益率的范围。因此可基于问题（1）的模型，运用LINGO软件对其作敏感度分析，求解出该模型适 用的范围。设三种投资基金的数量分配分别为x1 , x2, X3 （单位为百万），投资的年收益为z,则目标函数 maxz=0.18x1 +0.125x2+0.075x3约束条件:x1+x2+x3 < 0.80.16 W x1 W 0.320.16 < x2< 0.4 x3 2 0.240.125x1 +0.0875x2+0.0125x3=0.05三、模型求解与结果解释（1）如何将800 000美元投资于

19、这3种基金。按照你的计划，投资的年收益是多少?根据问题（1 ）的约束条件，利用LINGO软件对（1 ）的模型求解可得:根据软件运行结果可知，该条件下三种基金最近分配方案为：基金类型股票基金收入基金货币基金投资额（万美元）0.2490.160.391即当 x1 =0.249 , x2=0.16 , x3=0.391 时，z 最大，满 maxz=0.9413 （万美元）（2）假设客户的风险承受指数提高到0.055,那么在投资计划更改后，收益将增加多 少？根据问题（2）的约束条件，利用LINGO软件对（2）的模型求解可得:基金类型股票基金收入基金货币基金投资额（万美元）0.2930.160.347即

20、当 x1 =0.293 , x2=0.16 , x3=0.347 时，z 最大，满 maxz=0.988 （万美元）根据软件运行结果可知，该条件下三种基金最近分配方案为：仍然是（3）假设客户的风险承受指数不变，0.05 , 而股票成长基金的年收益率从18%下降到14%,那新的最佳投资方案是什么？根据问题（3）的约束条件，利用UNGO软件对（3）的模型求解可得:根据软件运行结果可知，该条件下三种基金最近分配方案为：基金类型股票基金收入基金货币基金投资额（万美元）0.160.2930.347即当 x1=0.16 , x2=0.293 , x3=0.347 时，z 最大，满 maxz=0.8507 （万美元）（4）假设现在客户认为投资在股票方面的资金太多了，如果增加一个约束条件即投资于股票增长基金的资金不可以超过投资于收入基金的资金，那么新的最佳方案是什么？ 根据问题（4）的约束条件，利用LINGO软件对（4）的模型求解可得：根据软件运行结果可知，该条件下三种