普通物理实验误差理论

1、1 1 测量与误差测量与误差1误差误差 测量值真值测量值真值 误差特性：普遍性、误差是小量误差特性：普遍性、误差是小量由于真值的不可知，误差实际上很难计算由于真值的不可知，误差实际上很难计算（有时可以用准确度较高的结果作为约定（有时可以用准确度较高的结果作为约定真值来计算误差）真值来计算误差）测量误差与数据处理的基础知识测量误差与数据处理的基础知识21. 绝对误差绝对误差 测量结果与被测量的真值的差为测量误差，又测量结果与被测量的真值的差为测量误差，又称绝对误差。称绝对误差。0ix 实际运用中实际运用中,将测量的算术平均值当作约定真值将测量的算术平均值当作约定真值.2. 相对误差相对误差E%1

2、00 E3. 偏差偏差 xixxxii 4. 标准误差标准误差 测量列中某次测量的标准误差测量列中某次测量的标准误差.21()limniinxn 为测量次数无穷时的平均值。为测量次数无穷时的平均值。35. 标准偏差标准偏差此式称为贝塞耳公式。此式称为贝塞耳公式。假定对一个量进行了假定对一个量进行了n次测量，测得的值为次测量，测得的值为xi ，可以用多次测量的算术平均值作为被测量的最可以用多次测量的算术平均值作为被测量的最佳估计值佳估计值单次测量的标准偏差为单次测量的标准偏差为1)(12 nxxSniix用标准偏差用标准偏差 S 表示测得值的分散性表示测得值的分散性Sx大，表示测得值很分散，测量

3、的精密度低；大，表示测得值很分散，测量的精密度低；Sx小，表示测得值很密集，测量的精密度高；小，表示测得值很密集，测量的精密度高；46.平均值的标准偏差平均值的标准偏差多次测量的算术平均值多次测量的算术平均值 作也是随机变量，也有误作也是随机变量，也有误差差x21()(1)nixixxxSSn nn例：例：用用50分度的游标卡尺测某一圆棒长度分度的游标卡尺测某一圆棒长度L，6次测量结次测量结果如下（单位果如下（单位mm）：）：250.08，250.14，250.06, 250.10, 250.06, 250.10。求该测量列的最佳估计值和标准偏差。求该测量列的最佳估计值和标准偏差。mm09.2

4、50 LL解：解：测得值的最佳估计值为测得值的最佳估计值为5621()0.03mm 61iiLLS 测量列的标准偏差为测量列的标准偏差为7.仪器误差限仪器误差限仪器的最大允许误差仪器的最大允许误差长度测量工具取其最小分度值的一半长度测量工具取其最小分度值的一半( (游标卡游标卡尺，螺旋测微器有另外的约定尺，螺旋测微器有另外的约定) )；取天平的最小分度为仪器误差限；取天平的最小分度为仪器误差限；取秒表的最小分度为仪器误差限；取秒表的最小分度为仪器误差限；6指针式电压表、电流表指针式电压表、电流表mA % 仪仪电阻箱近似取为电阻箱近似取为R % 仪仪水银、酒精温度计的仪器误差限取最小分度的值一半

5、；水银、酒精温度计的仪器误差限取最小分度的值一半； 是表的准确度等级是表的准确度等级, ,可从仪器面板或铭牌上找到可从仪器面板或铭牌上找到. .Am是测量时所用量程是测量时所用量程.R为电阻测量值为电阻测量值.例例.用用0.2级电压表级电压表,量程量程10V,则则若量程用若量程用100V,则则量程不同量程不同, ,仪仪不同不同. .为减小误差影响为减小误差影响, ,选用量程时选用量程时, ,应尽应尽量使指针偏转达满度值的量使指针偏转达满度值的2/32/3以上以上. .0 2% 100.02V . .仪仪0 2% 1000.2V . .仪仪7定义：在重复性条件下，对同一被测量进行无限次测量定义：

6、在重复性条件下，对同一被测量进行无限次测量过程中所得结果的平均值与被测量的真值之差。过程中所得结果的平均值与被测量的真值之差。1.系统误差系统误差特征：系统误差以确定性规律表现出来。特征：系统误差以确定性规律表现出来。产生原因：由于测量仪器、测量方法、环境带入产生原因：由于测量仪器、测量方法、环境带入分类及处理方法：分类及处理方法：已定系统误差：必须修正。已定系统误差：必须修正。如：如：电表、螺旋测微计电表、螺旋测微计的零位误差；的零位误差； 伏安法测电阻电流表内接、外接由于忽伏安法测电阻电流表内接、外接由于忽略表内阻引起的误差。略表内阻引起的误差。未定系统误差：要估计出分布范围。如：螺旋测微

7、未定系统误差：要估计出分布范围。如：螺旋测微计的螺纹公差等（大致与计的螺纹公差等（大致与 B 类不确定度类不确定度UB 相当）相当）。82. 随机误差随机误差 产生原因：实验条件和环境因素无规则的起伏变化，产生原因：实验条件和环境因素无规则的起伏变化，引起测量值围绕真值发生涨落的变化。引起测量值围绕真值发生涨落的变化。测量结果与测量平均值之差。测量结果与测量平均值之差。在多次重复测量中绝对值和符号以不可预知方式变化。在多次重复测量中绝对值和符号以不可预知方式变化。特点：特点：例如：电表轴承的摩擦力变动、螺旋测微计测力在例如：电表轴承的摩擦力变动、螺旋测微计测力在一定范围内随机变化；操作读数时的

8、视差影响。一定范围内随机变化；操作读数时的视差影响。小误差出现的概率比大误差出现的概率大；小误差出现的概率比大误差出现的概率大；多次测量时分布对称，具有抵偿性多次测量时分布对称，具有抵偿性因此取因此取多次测量的平均值有利于消减随机误差。多次测量的平均值有利于消减随机误差。9211( )exp22xf x f (x)x小小大大正态分布：大量相对独立因素共同作用下得到的随正态分布：大量相对独立因素共同作用下得到的随机变量服从正态分布。物理实验中多次独立测量得机变量服从正态分布。物理实验中多次独立测量得到的数据一般可以近似看作服从正态分布。到的数据一般可以近似看作服从正态分布。 表示表示 x 出现概

9、率最大的值，消除系统误差后，出现概率最大的值，消除系统误差后， 通常通常就可以得到就可以得到 x 的真值。的真值。称为标准差，决定了称为标准差，决定了f(x)曲曲线线的宽窄。的宽窄。10置信概率置信概率P表示随机变量表示随机变量 x 在在x1，x2区间出现的概率，称区间出现的概率，称为置信水平或置信概率。为置信水平或置信概率。 2limlimiinnxxnn 0.68220.95330.99xPxPxP 21 dxxPfxx 实际测量的任务是通过测量数据求得实际测量的任务是通过测量数据求得 和和 的值。的值。11 不确定度的权威文件是国际标准化组织不确定度的权威文件是国际标准化组织(ISO)、

10、国际测量局国际测量局(BIPM)等七个国际组织等七个国际组织19931993年联合推出年联合推出的的 测量不确定度表示指南测量不确定度表示指南ISO1993(E) ) 不确定度表示由于测量误差存在而对被测量值不不确定度表示由于测量误差存在而对被测量值不能确定的程度。不确定度是一定概率下的误差限值。能确定的程度。不确定度是一定概率下的误差限值。 不确定度反映了可能存在的误差分布范围，即不确定度反映了可能存在的误差分布范围，即随随机误差分量机误差分量和和未定系统误差未定系统误差的联合分布范围。的联合分布范围。 由于真值的不可知，误差一般是不能计算的，它由于真值的不可知，误差一般是不能计算的，它可正

11、、可负也可能十分接近零；而不确定度总是不为可正、可负也可能十分接近零；而不确定度总是不为零的正值，是可以具体评定的。零的正值，是可以具体评定的。12总不确定度分为两类不确定度：总不确定度分为两类不确定度：标准不确定度标准不确定度：置信概率为：置信概率为68%时的不确定度；时的不确定度；扩展不确定度扩展不确定度：其它置信概率时的不确定度。：其它置信概率时的不确定度。（实验教学中一般用总不确定度，置信概率取（实验教学中一般用总不确定度，置信概率取95%）22BAUUU A类分量类分量UA ：多次重复测量时与随机误差有关的分量；：多次重复测量时与随机误差有关的分量；B类分量类分量UB ：未定系统误差

12、有关的未定系统误差有关的分量。分量。这两类分量在相同置信概率下用方和根方法合成：这两类分量在相同置信概率下用方和根方法合成：13不确定度的不确定度的简化处理方法简化处理方法由于测量次数小，数据离散度大，测量结果将不符合正由于测量次数小，数据离散度大，测量结果将不符合正态分布，而是符合态分布，而是符合t 分布（分布（t 分布也叫学生分布，分布也叫学生分布， n 小时，小时，t 分布偏离正态分布较多。分布偏离正态分布较多。n 大时趋于正态分布大时趋于正态分布）。）。UA与与t 分布的关系分布的关系:xpASntU n23456789101520nt8.982.481.591.241.050.930

13、.840.770.720.550.47n96. 1当当 5 n 10时，可简化认为时，可简化认为 UA=Sx（置信概率置信概率95%）B 类分量类分量UB 主要由仪器的误差特点来决定主要由仪器的误差特点来决定.均匀分布，置信概率为均匀分布，置信概率为95%时时1.963BU 仪仪2222222()ABxxUUUtnSS 仪仪仪仪不确定度的合成：不确定度的合成：140(SI)xxU （x= x0 U 表示被测对象的真值落在表示被测对象的真值落在(x0 U ，x0 U )范围内的概率很大，范围内的概率很大， U的取值与一定的的取值与一定的置信概率相联系。置信概率相联系。)完整的测量结果应表示为：完

14、整的测量结果应表示为：包括：包括： 测量结果测量结果 测量对象的量值测量对象的量值 测量的不确定度测量的不确定度 测量值的单位测量值的单位15测测 量的分类量的分类测量分为直接测量和间接测量测量分为直接测量和间接测量直接测量指无需对被测的量与其它实测的量进行函直接测量指无需对被测的量与其它实测的量进行函数关系的辅助计算而可直接得到被测量值的测量；数关系的辅助计算而可直接得到被测量值的测量；间接测量指利用直接测量的量与被测量之间的已知间接测量指利用直接测量的量与被测量之间的已知函数关系经过计算从而得到被测量值的测量。函数关系经过计算从而得到被测量值的测量。任何测量都可能存在误差（测量不可能无限准

15、确任何测量都可能存在误差（测量不可能无限准确)。16 结果表示：结果表示： 以测量列以测量列 x 的平均值的平均值 再修正掉已定系统误差项再修正掉已定系统误差项 得到被测对象的量值。得到被测对象的量值。()xxU U是由是由A、B 类不确定度合成类不确定度合成的的总不确定度总不确定度 .简化处理简化处理情况下情况下22xUS 仪仪17例：用螺旋测微计测某一钢丝的直径，例：用螺旋测微计测某一钢丝的直径，6次测量值次测量值xi分别为：分别为：0.249, 0.250, 0.247, 0.251, 0.253, 0.250; 同时同时读得螺旋测微计的零位读得螺旋测微计的零位x0为：为：0.006,

16、单位单位mm，已知，已知螺旋测微计的仪器误差为螺旋测微计的仪器误差为仪仪=0.004mm，请给出完整，请给出完整的测量结果。的测量结果。00.2500.0060.244(mm)xxx 621()0.002mm61iixxS 2222220.0020.0040.005mmABUUUs 仪仪解解：测得值的最佳估计值为：测得值的最佳估计值为测量列的标准偏差测量列的标准偏差则则：测量结果为：测量结果为 x=0.2440.005mm18 222222lnlnlnxyxxyzF xFFFUUUUxyxUFFFUUUxyz ，y y，z z，和和差差形形式式乘乘、除除、指指数数形形式式mkyxyxyxyx或

17、222222xyyxyxUUUUUUxyUUUkmxy 不确定度传播公式：不确定度传播公式：192.依据关系依据关系 求出求出 或或( , , ,.)F x y z Fx lnFx 3. 用用 或或 求求 或或2xFUUx 2lnxUFUx U U U 1. 先写出各直接测量量先写出各直接测量量 x 的不确定度的不确定度Ux4.最后表示结果为最后表示结果为20 结果结果 V=9.440.08cm3 3222122436. 9575. 2)880. 2600. 3(4)(4cm hDDV2222212ln,DV=DD- D 122121-2ln=,-DVDDD ln1=Vhh 212122222

18、22212122()()()() 0.0081DDVhDUDUUUVDDDDh 带带入入数数据据39.4360.00810.08cmVVUUVV cm004. 0600. 32Dcm004. 0575. 2h例：例：已知金属环的外径已知金属环的外径 内径内径 高度高度求环的体积求环的体积V 及其不确定度及其不确定度V。cm004. 0880. 21D解解:求环体积求环体积求偏导求偏导合成合成求求UV21在实验中我们所测的被测量都是含有误差的数值，在实验中我们所测的被测量都是含有误差的数值，对这些数值不能任意取舍，应反映出测量值的准确对这些数值不能任意取舍，应反映出测量值的准确度。所以在记录数据

19、、计算以及书写测量结果时，度。所以在记录数据、计算以及书写测量结果时，应根据测量误差或实验结果的不确定度来定出究竟应根据测量误差或实验结果的不确定度来定出究竟应取几位有效位数应取几位有效位数。有效数字由准确数字和存疑数字组成。有效数字由准确数字和存疑数字组成。22读有效数字时要注意：读有效数字时要注意：小于五舍、大于五入、逢五凑偶小于五舍、大于五入、逢五凑偶对误差和不确定度对误差和不确定度,只入不舍只入不舍（1）一般在最小分度内估计一位）一般在最小分度内估计一位(除特殊例外除特殊例外)；（2）有效数字的位数与小数点无关；）有效数字的位数与小数点无关；（3）常用科学记数法。）常用科学记数法。例例

20、: 0.0123例例: 332.60m=0.33260km=3.3260102m=3.3260104cm例例: 0.023644三位三位0.023621.1350四位四位21.1413.0501三位三位13.012.3000三位三位 六位六位23(1)直接测量量（原始数据）的读数应直接测量量（原始数据）的读数应反映仪器的精确度反映仪器的精确度游标类器具游标类器具（游标卡尺、分游标卡尺、分光计度盘、大气光计度盘、大气压计等压计等）读至游）读至游标最小分度的整标最小分度的整数倍，即不需估数倍，即不需估读。读。24数显仪表及有数显仪表及有十进步式标度十进步式标度盘的仪表盘的仪表（电电阻箱、电桥、电阻

21、箱、电桥、电位差计、数字电位差计、数字电压表等压表等）一般应）一般应直接读取仪表的直接读取仪表的示值。示值。25指针式仪表及指针式仪表及其它带刻度器其它带刻度器具具，读数时估读数时估读到仪器最小读到仪器最小分度的分度的1/21/10，或使估，或使估读间隔不大于读间隔不大于仪器基本误差仪器基本误差限的限的1/51/3。26注意指针指注意指针指在整刻度线在整刻度线上时读数的上时读数的有效位数。有效位数。应估读一位。应估读一位。27(1)加减运算加减运算.结果末位以参与运算的末位最高的数为准。结果末位以参与运算的末位最高的数为准。如如 11.4+2.56=14.0 (2)乘除运算乘除运算.以参与运算

22、的有效位数最少的数为准以参与运算的有效位数最少的数为准.考虑考虑乘法可能进位乘法可能进位,结果可多取一位。结果可多取一位。如如 40009=3.610475-10.356=652.0000.99=2.0规则规则:存疑数与存疑数运算是存疑数；存疑数与准确数运存疑数与存疑数运算是存疑数；存疑数与准确数运算是存疑数；准确数与准确数运算是准确数；结果算是存疑数；准确数与准确数运算是准确数；结果保留一位存疑数。保留一位存疑数。实际运算按如下方法进行实际运算按如下方法进行. .285.测量结果表达式中的有效位数测量结果表达式中的有效位数总不确定度总不确定度U的有效位数：的有效位数：一般取一位一般取一位.

23、.前两位前两位都小于都小于5时时, ,可取两位可取两位. .例例 ：估算结果：估算结果 U=0.548mm时，取为时，取为U=0.6mm U=1.37 时，时， 取为取为U=1.4 用计算器进行计算时用计算器进行计算时,中间结果可不作修约或适当多取中间结果可不作修约或适当多取几位几位(不能任意减少不能任意减少),但最后一定要修约。但最后一定要修约。(3)乘方开方乘方开方.结果的有效数字位数与原数相同结果的有效数字位数与原数相同.(4)函数运算函数运算.以运算数据最末位的一个单位为误差以运算数据最末位的一个单位为误差,求出结求出结果误差果误差,再根据误差决定取到哪一位再根据误差决定取到哪一位(简

24、化方法参看讲义简化方法参看讲义).例例.y=ln23.710.10.00423.7yxx 故故 y=3.1652932122436. 9)(4cmhDDV 30.08cmVU 被测量值有效位数的确定：被测量值有效位数的确定：xx0U中，被测量值中，被测量值 x0 的末位要与不确定度的末位要与不确定度U的的末位对齐（求出末位对齐（求出 x0后先多保留几位，求出后先多保留几位，求出U，由，由U决决定定 x0的末位）的末位）例：例：环的体积环的体积不确定度分析结果不确定度分析结果最终结果为：最终结果为： V=9.440.08cm3即：不确定度末位在小数点后第二位，测量结果的即：不确定度末位在小数点后

25、第二位，测量结果的最后一位也取到小数点后第二位。最后一位也取到小数点后第二位。30 作图法可形象、直观地显示出物理量之间的函数关系，也作图法可形象、直观地显示出物理量之间的函数关系，也可用来求某些物理参数，因此它是一种重要的数据处理方法。可用来求某些物理参数，因此它是一种重要的数据处理方法。作图时要作图时要先整理出数据表格先整理出数据表格，并，并要要用坐标纸作图用坐标纸作图。U (V )0.741.522.333.083.664.495.245.986.767.50I (mA)2.004.016.228.209.75 12.00 13.99 15.92 18.00 20.011.选择合适的坐标

26、分度值，确定坐标纸的大小选择合适的坐标分度值，确定坐标纸的大小 坐标分度值的选取应能反映测量值的有效位数，一般以坐标分度值的选取应能反映测量值的有效位数，一般以 12mm对应对应于测量仪表的最小分度值或对应于测量值的次末位数）。于测量仪表的最小分度值或对应于测量值的次末位数）。 根据表数据根据表数据U 轴可选轴可选1mm对应于对应于0.10V，I 轴可选轴可选1mm对应于对应于0.20mA，并可定并可定坐标纸的大小（略大于坐标范围、数据范围）坐标纸的大小（略大于坐标范围、数据范围） 约为约为130mm130mm。作图步骤作图步骤：实验数据列表如下实验数据列表如下. 表表1：伏安法测电阻实验数据

27、：伏安法测电阻实验数据312. 标明坐标轴：标明坐标轴： 用粗实线画坐标轴，用粗实线画坐标轴，用箭头标轴方向，标坐标用箭头标轴方向，标坐标轴的名称或符号、单位轴的名称或符号、单位,再按顺序标出坐标轴整分再按顺序标出坐标轴整分格上的量值。格上的量值。I (mA)U (V)8.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.000 02.004.006.008.0010.001.003.005.007.009.004. 连成图线：连成图线： 用直尺、曲线板等把用直尺、曲线板等把点连成直线、光滑曲线。点连成直线、光滑曲线。一般不强求直线或曲线通一般不强求直线或曲线

28、通过每个实验点，应使图线过每个实验点，应使图线线正穿过实验点时可以在线正穿过实验点时可以在两边的实验点与图线最为接近且分布大体均匀。图两边的实验点与图线最为接近且分布大体均匀。图点处断开。点处断开。3.标实验点标实验点： 实验点可用实验点可用“ ”、 “ ”、“ ”等符号标等符号标出（同一坐标系下不同曲出（同一坐标系下不同曲线用不同的符号线用不同的符号）。）。 32I (mA)U (V)8.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.000 02.004.006.008.0010.001.003.005.007.009.00B(7.00,18.58)A(1.00,2.76)由图上由图上A、B两点可得被测电阻两点可得被测电阻R为：为：)k(379. 076. 258.1800. 100. 7ABABIIUUR5.标出图线特征：标出图线特征： 在图上空白位置标明在图上空白位置标明实验条件或从图上得出的实验条件或从图上得出的某些参数。如利用所绘直某些参数。如利用所绘直线可给出被测电阻线可给出被测电阻R大小：大小：从从所绘所绘直线直线上读取两点上读取两点 A、B 的坐标就可求出的坐标就可求出 R 值。值。6.标出图名：标出图名： 在图线下方或空白位在图线下方或空白位置写出图线的名称及某些置