二次函数翻折规律和题目

1、翻折规律1 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于 x 轴对称2 2y =axbx c 关于x轴对称后，得到的解读式是y - -ax -bx - c ;2 2y =a x h i 亠 k 关于 x 轴对称后，得到的解读式是y - -a x h -k ;2. 关于y轴对称2 2y =axbx c 关于y轴对称后，得到的解读式是 y =ax -bx c；2 2y =a x h j 亠 k 关于 y 轴对称后，得到的解读式是y = a x h- k ；3. 关于原点对称y =ax2 bx - c 关于原点对称后，得到的解读式是y = -ax2bx-c ；2 2y =a

2、x - hk 关于原点对称后，得到的解读式是y - -a x h -k ；4.关于顶点对称= ax2bx c 关于顶点对称后，得到的解读式是2 2y =a x -h 亠 k 关于顶点对称后，得到的解读式是y - -a x - h 亠 k5.关于点 m , n 对称2 2y=ax-hLk 关于点 m ,n 对称后，得到的解读式是y =-a x h-2m 厂2n-k根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生 变化，因此a永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或 方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知 的抛物线)的顶点坐标及开口方向

3、，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方 向，然后再写出其对称抛物线的表达式.操练：5. (2014?娄底 27.( 10 分)如图甲，在 ABC 中，/ ACB=90 AC=4cm，BC=3cm .如果点 P 由点 B 出发沿 BA 方向向点 A 匀速运动，同时点 Q 由点 A 出发沿 AC 方向向点 C匀速运动，它们的速度均为1cm/s .连接 PQ，设运动时间为 t (s)( 0vtv4)，解答下列问题：(1 )设厶 APQ 的面积为 S，当 t 为何值时，S 取得最大值？ S 的最大值是多少？(2) 如图乙，连接 卩 6 将厶 PQC 沿 QC 翻折，得到四边形 PQP C，当四边形 P

4、QP C 为菱形时，求 t 的值；(3) 当 t 为何值时， APQ 是等腰三角形？2b2y _ax - - bx c _ 2a相似形综合题(1)过点 P 作 PH 丄 AC 于 H，由 APH sABC，得出，从而求出 AB，再BC AB根据.=，得出 PH=3 - t，则 AQP 的面积为：AQ?PH=t (3 - t),最后进行35整理即可得出答案；(2) 连接 PP交 QC 于 E,当四边形 PQP C 为菱形时，得出 APEABC , ，求出 AE= - t+4，再根据 QE=AE - AQ , QE=QC 得出-t+4= - t+2，再求 tAC AB即可；(3)由( 1) 知,

5、PD= - t+3，与(2)同理得：QD= - t+4，从而求出PQ=在厶 APQ 中，分三种情况讨论：当AQ=AP，即 t=5 - t,当 PQ=AQ，即- =t，当 PQ=AP，即=5 - t,再分别计算即可.解解：(1)如图甲，过点 P 作 PH 丄 AC 于 H ,答：/ C=90 AC 丄 BC , PH / BC , APH ABC ,PR=APBC AB/ AC=4cm , BC=3cm , AB=5cm ,P H_t5， PH=3-t, AQP 的面积为：2S= AQ PH=X X(3-t)= -yr(t-)+ 芳,丄 Uo当 t 为秒时，S 最大值为 cm2.8(2)如图乙，

6、连接 PP , PP交 QC 于 E ,当四边形 PQP C 为菱形时，PE 垂直平分 QC ,即 PE 丄 AC , QE=EC , APEABC ,.AE_AP反-逅， AEU= 二-1+4AB5QE=AE AQ- t+4 t= t+4 ,QE=QC= (4 - t) = t+2 , t+4= t+2 ,解得：t=,139(/ Ov二v4,13当四边形 PQP C 为菱形时，t 的值是丄 s;13此题主要考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、勾股定 理、三角形的面积公式以及二次函数的最值问题， 关键是根据题意做出辅助线， 利 用数形结合思想进行解答.217.( 2014

7、年河南)(23. 11 分)如图，抛物线 y= x +bx+c 与 x 轴交于 A(-1,0),B(5,0)两3点，直线 y=x+3 与 y 轴交于点 C,与 x 轴交于点 D.点 P 是 x 轴上方的抛物线上一动点，过点 P 作 PF 丄 x 轴于点 F，交直线 CD 于点 E.设点 P 的横坐标为 m。(3)由(1)知，PD= t+3，与(2)同理得： QD=AD AQ= t+4_PQ=- i二 | - = i-一在厶 APQ 中，当AQ=AP ,当PQ=AQ,即 t=5 - t 时，解得：ti=；即当 PQ=AP，| : - - .-.t 时，解得：t2= , t3=5 ；5_即：.=5

8、- t时，解得：t4=0, t5=；/ Ovtv4,二t3=5 , t4=0 不合题意，舍去,是等腰三角形.(1)求抛物线的解读式;(2)若 PE =5EF,求 m 的值;(3)若点 E/是点 E 关于直线 PC 的对称点、是否存在点 P,使点 E，落在 y 轴上？若存在,请直接写出相应的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由。解：抛物线 y= x2+bx+c 与 x 轴交于 A (-1,0) , B(5,0)两点,0= _(_ 1)2_b+c2I 0= -5 5b+cb=4c=5抛物线的解读式为2 . -y=x+4x+5.(2)点 P 横坐标为 m.23则 P(m, m + 4m+ 5) ,E

9、(m,m+3), F(m,0),4点 P 在 x 轴上方，要使 PE=5EF,点 P 应在 y 轴右侧,0mv5.23219PE=m+4m+5(4m+3)=一m+J +2分两种情况讨论:3当点 E 在点 F 上方时，EF= 3m+ 3.42193-PE=5EF，一m + m+ 2=5(m+ 3)44213即 2m 17m + 26=0，解得 m1=2, m2=(舍去)23当点 E 在点 F 下方时，EF= m 3.4,2193-PE=5EF，一m + m+ 2=5( m 3),44即 m2 m 17=0，解得 m3= -69, m4=1-69(舍去)，2 21 + m 的值为 2 或-2111I,(3),点 P 的坐标为P1(，一 ),P2(4 , 5), P3(311, 2、113)24【提示】 E 和匕关于直线 PC 对称，/ E/CP= / ECP。又 PE / y 轴，EPC= / E/CP= / PCE