考研数学真题答案(数一)

1、2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一、选择题：18小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸.指定位置上.1、设函数f(x)在(-g,+ g)连续，其2阶导函数f “(x)的图形如下图所示，则曲线 y=f(x)的拐点个数为()(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3【答案】(C)【考点】拐点的定义【难易度】【详解】拐点出现在二阶导数等于0,或二阶导数不存在的点上，并且在这点的左右两侧二阶导数异号，因此，由f"(x)的图形可知，曲线 y = f(x)存在两个拐点，故选(C).2、设y = e2x +

2、I x - - lex是二阶常系数非齐次线性微分方程y+ay'+by = cex的一个特解，2.3则()(A) a = 3,b = 1,c = 1.(B) a=3,b=2,c = 1.(C) a = 3,b = 2, c = 1.(D) a=3,b=2,c=1.【答案】(A)【考点】常系数非齐次线性微分方程的解法【难易度】1 2x 1 x2【详解】e ,-ex为齐次方程的解，所以2、1为特征方程 九2+a九+b=0的根，从而2 3a=(1+2)=3,b=1M2=2,再将/I解 y=xex代入方程 y”3y' + 2y = cex得：c=-1.QOQO3、若级数 工an条件收敛，

3、则*=痣与乂=3依次为哥级数 工nan(x-1)n的： n 1nd(A)收敛点，收敛点(B)收敛点，发散点(C)发散点，收敛点(D)发散点，发散点【答案】(B)【考点】级数的敛散性【难易度】qQqQ【详解】因为工an条件收敛，故x = 2为哥级数£ an(x-1 )的条件收敛点，进而得 n 1n =1qQ£-an(x-1 ；的收敛半径为1,收敛区间为(0,2卜又由于哥级数逐项求导不改变收敛区间，故n 1z nan (x1 n的收敛区间仍为(0,2 ),因而x = J3与x=3依次为哥级数 工nan(x1)n的收敛 n 4n 1点、发散点.4、设D是第一象限中曲线 2xy =

4、1,4xy =1与直线y = x, y = 73x围成的平面区域，函数f (x, y)在D上连续，则 口 f (x, y)dxdy =D二1 .(A)2.dLsin尸 f (rcos; rsin 二)rdr42sin 2 1二1 .(C) 3dl sin产 f (rcosrsin ?)dr42sin 21【答案】(D)【考点】二重积分的极坐标变换【难易度】(B).2di si；271 f(rcosi,rsini)rdr42sin 2 ,二二 1(D) Mdaj's f(rcos日,rsin日)dr4J2sin2：i兀兀详解由y=x得，Ou；由y=J3x得，6 =由 2xy =1 得，2

5、r2 cossin 8 =1, r1, sin 2-由 4xy =1 得，4r2 cossin & =1, r1、. 2sin 2二 1所以 f(x, y)dxdy= 3d - si；2口 f (r cos'r sin：)rdrD42sin2115、设矩阵A= 1<11 c、a , b= d，若集合夏=1,2,则线性方程组2 .2a 1 d JAx = b有无穷多个解的充分必要条件为(A) a 1 ,d 1(B) a ''' 1, d - 1.1(C) a-J,d 【答案】(D)【考点】非齐次线性方程组的解法【难易度】1a -1a 一1 a 一21

6、 Id -1d -1 d-2111111【详解】lA,b】=12 a d0122_J 4 a d _0 0Ax =b有无穷多解 u R(A) =R(A,b) <3a a =1 或 a =2且 d =1 或 d = 22226、设一次型f(X1,X2,X3)在正交变换x = Py下的标准形为2y1 +丫2-丫3,其中P =(e e, 63),若Q =(e,-备,牝)，则f(X1,X2,X3)在正交变换x=Qy下的标准形为(A)2y： -y2 + y3( b) 2y2 + y2 - y3222222(C) 2V -y2 -y3(D) 2y1 +y2 +y3【答案】(A)【考点】二次型【难易度

7、】010-12 0【详解】由 X = Py,故 f =xtAx = yT(PTAP)y = 2y12 + y2y；且：PTAP= 0 1 0 0TT T222所以 f =X Ax =y (Q AA)y =2y1 -y2 y3,故选7、若A, B为任意两个随机事件，则(A) P(AB) <P(A)P(B) (B) P(AB) >P(A)P(B)(C) P(AB)mPAB)(D) p(abvPAB)【答案】(C)【考点】【难易度】【详解】P(A) - P(AB),P(B) - P(AB).P(AB) J网，故选(C)8、设随机变量 X,Y 不相关，且 EX =2,EY=1,DX =3,

8、则 E X (X+Y 2 )=(A) -3(B) 3(C) -5(D) 5【答案】(D)【考点】【难易度】【详解】二、填空题：914小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸 指定位置上.c , Incosx9、 lim z-=x 0 x2-1【答案】2【考点】极限的计算【难易度】1 2 xln cosx ln(1 cosx-1) cosx -121【详解】lim2=hm2 =lim2 =hm = x )0 xxt。xx-0x x )0 x210、2：(n-2 1 cosx十 |x )dx =【答案】【考点】积分的计算【难易度】【详解】2(一2sin x1 cosx+|x)dx =20xd

9、x =JI11、若函数 z=z(x,y)由方程 ez+xyz+x+cosx =2确定，则 dz(0,1)=【答案】【考点】隐函数求导【难易度】【详解】令 F (x, y, z) =ez+xyz+x+cosx-2 , 贝U Fx'= yz +1 -sin x , Fy = xz , Fz又当x=0,y =1时，z=。，所以Gx (0,1)FFzf、一一=一一；=0 ,因而 dzF(0,1)1 z(0,1)xy ，-dx12、设口是由平面x+y+Z=1与三个坐标平面所围成的空间区域，则入 1【答案】-4【考点】三重积分的计算【难易度】12 -(1- z)2.所以【详解】由轮换对称性，得 其

10、中Dz为平面z = z截空间区域 W所得的截面，其面积为2 0 川0 2-1 2 HI0 2013、n阶行列式00 III220 HI -1 2 =【答案】2n1 -2【考点】行列式的计算【难易度】【详解】按第一行展开得 14、设二维随机变量(X,Y)服从正态分布 N(1,0,1,1,0),则P(XYY<0)=入 1【答案】12【考点】【难易度】【详解】：(X,Y)N(1,0,1,1,0),，XN(1,1),YN(0,1)，且 X,Y 独立:.X -1 N(0,1) P <XY -Y <0= P(X -1)Y <0三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答牌纸,

11、指定位置上.解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤.15、(本题满分10分)设函数 f (x) =x+aln(1+x)+bx sin x , g(x) = kx3,若 f (x)与 g (x)在 xt 0 是等价无穷小,求a , b , k值。【考点】等价无穷小量，极限的计算【难易度】【详解】f (x) =x aln(1 x) bx sin x，f(x)与g(x)=kx3是等价无穷小16、(本题满分10分)设函数在f (x)定义域I上的导数大于零，若对任意的X0W I ,曲线y=f(x)在点(X0, f (x0)处的切线与直线x =x0及x轴所围成的区域的面积为 4,且f(0) =2,求f(

12、x)的表达式 .【考点】微分方程【难易度】【详解】如下图：x = x0处的切线方程为 l： y = f'(x0)(xx0) + f (x°)l 与 x轴的交点为：y = 0 时，x = x0 - "X0),则 AB = "x°)= x - x0, f'(x。)(x。)一，,11 f(xQ y 1因此，S=-AB f (x0)= 3 f (x0)=4 .即满足微分方程： 与=一，解得：22西)y 81 1=-x c.y8又因 y(0) =2 ,所以 c=l,故 y =-8.24 -x17、(本题满分10分)22已知函数f (x, y) =x

13、 + y+xy ,曲线C ： x +y + xy = 3 ,求f (x, y)在曲线C上的最大方向导数.【考点】方向导数，条件极值【难易度】【详解】根据方向导数与梯度的关系可知，方向导数沿着梯度方向可取到最大值且为梯度的模.,故故f (x, y)在曲线C上的最大方向导数为 (1+y f+(1 + x)2 ,其中x, y满足x2 + y2 + xy = 3 ,即就求函数z = (1+y)2+(1+x)2在约束条件x2 +y2 +xy 3 = 0下的最值.xy -3)构造拉格朗日函数 F(x, y, ) = (1 y)2 (1 x)2' (x2 y2=2(1 x) 2 , x y = 0e

14、x令f=2(1 +y) +2机+儿x = 0可彳导(1,1),(-1,-1),(2,-2),(-1,2)y方 22=x +y +xy3=0其中 z(1,1) =4,z(1,-1) =0,z(2,1) =9 = z(1,2)综上根据题意可知 f(x,y)在曲线C上的最大方向导数为 3.18、(本题满分10分)(I)设函数u(x),v(x)可导，利用导数定义证明(n)设函数 u1(x), u2(x).un(x)可导，f (x) = u1(x)u2(x).un(x)，写出 f (x)的求导公式【考点】导数定义【难易度】【详解】19、(本题满分10分)已知曲线L的方程为,z = exJy起点为A(0,

15、J2,0),终点为B(0,-V2,0),计算曲线积 z = x,分 I = L(y z)dx (z2 -x2 y)dy (x2 y2)dz【考点】曲线积分的计算【难易度】x =cosB,【详解】曲线L的参数方程为y = J2sin6,日从已到土22z =cos6,20、(本题满分11分)设向量组%,。2，%是3维向量空间LI 3的一个基，4=2%+2内3 , % ="2 ,久=% +(k +1)%。(I)证明向量组团久，久是U3的一个基；(n)当k为何值时，存在非零向量 在基%,4,气与基文，久，久下的坐标相同，并求出所有的to【考点】线性无关，基下的坐标【难易度】201 ,【详解】

16、(I)小， P3) = (%,%,5) 020郃 0 k”20因为022k 0二22k=4 ¥0 ,所以月邛2,03线性无关,01, 02, 03是U 3的一个基。201(n)设P=|。20 , P为从基 由42,0(3到基21,22,23的过渡矩阵，又设之在基12k 0 k + 1)%,%, 1a 3下的坐标为X =(X，X2，X3)T ,则工在基P1，3了3下的坐标为P'X，1由 x = P x ,得 Px = x，即（P - E）x =0由P E102k12k-10 ,c为任意常数。从而C = -31 +33,c为任意常数。21、(本题满分11分)0 2设矩阵A = -

17、13<1 -2-3-3相似于矩阵B =a /10<0-2 0b 03 1(I)求a,b的值.1(n)求可逆矩阵P ,使得P AP为对角阵.【考点】相似矩阵，相似对角化【难易度】，023、1 2 0、-13-3相似于B =0 b 0<12 a /<0 3 b【详解】由A =0 +3 +a =1 +b +1-3-3-2当,1 - 2 =1,( '1 E - A) -解得 a =4,b =5-23、1 -2 3-23T00 02 。、00 011-1特征向量1-30-2当-3 =5,( E - A)<50；12-3则特征向量 3 3-1<1所以P =( 1, 2,3)=,得 P,AP =22、(本题满分11分)设随机变量X的概率密度为对X进行独立重复的观测，直到第 2个大于3的观测值出现时停止，记 Y为观测次数.(I)求Y的概率分布;(n)求【考点】【难易度】EY.P'：x 3)=二 c 12 ln dx =8(I) P1Y =k =C：127k21 2 7 k -2-)(-)=(k -1)(二)(二),k 2,3,4.8888K =2k -