三个枪手的博弈

1、三个枪手的博弈彼此痛恨的甲、乙、丙二个枪手准备决斗。甲枪法最好，十发八中；乙枪法次之，十发六中；丙枪法最差，十发四中。先提第一个问题：如果三人同时开枪，并且每人只发一枪；第一轮枪战 后，谁活下来的机会大一些？一般人认为甲的枪法好，活下来的可能性大一些。但合乎推理的结论是，枪法最糟糕的丙活下来的几率最大。 我们来分析一下各个枪手的策略。枪手甲一定要对枪手乙先开枪。因为乙对甲的威胁要比丙对甲的威胁更 大，甲应该首先干掉乙，这是甲的最佳策略。同样的道理，枪手乙的最佳策略是第一枪瞄准甲。乙一旦将甲干掉，乙 和丙进行对决，乙胜算的概率自然大很多。枪手丙的最佳策略也是先对甲开枪。乙的枪法毕竟比甲差一些，丙

2、先把 甲干掉再与乙进行对决，丙的存活概率还是要高一些。我们计算一下三个枪手在上述情况下的存活几率： 甲：24%（被乙丙合射 40% X 60% = 24%）乙：20%（被甲射 100% - 80% = 20%）丙：100%（无人射丙）通过概率分析，我们发现枪法最差的丙存活的几率最大，枪法好于丙的 甲和乙的存活几率远低于丙的存活几率。但是，上面的例子隐含一个假定，那就是甲乙丙三人都清楚地了解对手 打枪的命中率。但现实生活中，因为信息不对称，比如枪手甲伪装自己 ，让枪手乙和丙认为甲的枪法最差，在这种情况下，最终的幸存者一定 是甲。所以，无论是历史，还是现实，那些城府很深的奸雄往往能成为 最后的胜利

3、者。这样的例子，对你的职场生涯或者官场生涯是否很有启 发呢？我们继续假定，甲乙丙三人互相不了解对手的枪法水平。在这种情况下，甲被乙射、甲被丙射、甲被乙丙射及甲不被乙丙射的机率各为25%,按贝氏（Bayes定理计算甲的存活率：甲活率：31 %（被乙射：25% X 40% = 10% + 被丙射：25 % X 60% = 15% + 被乙丙射：25% X 40% X 60% = 6% ）。乙活率：23%（被甲射：25% X 20% = 5% + 被丙射：25% X 60%=15% + 被甲丙射：25% X20% X60% = 3% ）。丙活率：17%（被甲射：25% X 20% = 5% + 被乙

4、射：25% X 40% =10% + 被甲乙射：25% X 20% X 40% = 2% ）。在枪手互相不知道对手命中率的信息的情况下，这时命中率最高的枪手 甲存活的几率最大，枪法最差的丙存活的可能性最小。我们现在回到甲乙丙都知道对手命中率的情形，进行第二轮枪战的分析。在第一轮枪战后，丙有可能面对甲，也可能面对乙，甚至同时面对甲与 乙，除非第一轮中甲乙皆死。尽管第一轮结束后，丙极有可能获胜（即 甲乙双亡），但是第二轮开始，丙就一定处于劣势，因为不论甲或乙， 他们的命中率都比丙的命中率为高。这就是枪手丙的悲哀。能力不行的丙玩些花样虽然能在第一轮枪战中暂 时获胜。但是，如果甲乙在第一轮枪战中没有双

5、亡的话，在第二轮枪战 结束后，丙的存活的几率就一定比甲或乙为低。第二轮枪战中甲乙丙存活的几率粗算如下：(1)假设甲丙对决：甲的存活率为60 %，丙的存活率为 20%。 假设乙丙对决：乙的存活率为60 %，丙的存活率为 40%。这似乎说明，能力差的人在竞争中耍弄手腕能赢一时，但最终往往不能 成事。我们现在用严格的概率方法计算一下两轮枪战后，甲乙丙各自的 存活的几率。第一轮：甲射乙，乙射甲，丙射甲。甲的活率为24%( 40% X 60%)，乙的活率为 20% (100 % - 80% )，丙 的活率为100 % (无人射丙)。第二轮：情况1:甲活乙死(24% X 80% = 19.2%)甲射丙，丙

6、射甲甲的活率为60%，丙的活率为20%。情况2:乙活甲死(20% X 76% = 15.2%)乙射丙，丙射乙乙的活率为60%，丙的活率为40%。情况3:甲乙皆活(24% X 20% = 4.8%)重复第一轮。情况4:甲乙皆死(76% X 80% = 60.8%)枪战结束。甲的活率为12.672 %(19.2 % X 60% ) + (4.8% X 24% ) = 12.672%乙的活率为10.08 %(15.2% X 60% ) + (4.8% X 20% ) = 10.08%丙的活率为75.52 %(19.2 % X 20% ) + (15.2% X 40% ) + (4.8% X 100%

7、 ) + (60.8% X 100 %) = 75.52%通过对两轮枪战的详细概率计算，我们仍然发现枪法最差的丙存活的几 率最大，枪法较好的甲和乙的存活几率仍远低于丙的存活几率。对于这样的例子，有人会发出英雄创造历史，庸人繁衍子孙”的感叹。我们现在改变游戏规则，假定甲乙丙不是同时开枪，而是他们轮流开一 枪。在这个例子中，我们发现丙的机会好于他的实力，丙不会被第一枪 干掉，并且他可能极有机会在下一轮中先开枪。先假定开枪的顺序是甲、乙、丙，甲一枪将乙干掉后(80%的几率)，就轮到丙开枪，丙有 40%的几率一枪将甲干掉。即使乙躲过甲的第一枪 ，轮到乙开枪，乙还是会瞄准枪法最好的甲开枪，即使乙这一枪干

8、掉了 甲，下一轮仍然是轮到丙开枪。无论是甲或者乙先开枪，乙都有在下一 轮先开枪的优势。如果是丙先开枪，情况又如何呢？丙可以向甲先开枪，即使丙打不中甲，甲的最佳策略仍然是向乙开枪。但是，如果丙打中了甲，下一轮可就是乙开枪打丙了。因此，丙的最佳 策略是胡乱开一枪，只要丙不打中甲或者乙，在下一轮射击中他就处于 有利的形势。我们通过这个例子，可以理解人们在博弈中能否获胜，不单纯取决于他 们的实力，更重要的是取决于博弈方实力对比所形成的关系。在上面的例子中，乙和丙实际上是一种联盟关系，先把甲干掉，他们的 生存几率都上升了。我们现在来判断一下，乙和丙之中，谁更有可能背 叛，谁更可能忠诚？任何一个联盟的成员

9、都会时刻权衡利弊，一旦背叛的好处大于忠诚的好 处，联盟就会破裂。在乙和丙的联盟中，乙是最忠诚的。这不是因为乙 本身具有更加忠诚的品质，而是利益关系使然。只要甲不死，乙的枪口 就一定会瞄准甲。但丙就不是这样了，丙不瞄准甲而胡乱开一枪显然违 背了联盟关系，丙这样做的结果，将使乙处于更危险的境地。合作才能对抗强敌。只有乙丙合作，才能把甲先干掉。如果，乙丙不和，乙或丙单独对甲都不占优，必然被甲先后解决。先看赤壁之战的例子。那时，曹操势力最强，孙权次之，刘备最弱。为了抵抗强大的曹操，孙 刘两家只有联合起来，取胜的几率才比较大。孙权就相当于前面例子中 的乙，是孙刘联盟中最卖力的成员。在赤壁之战中，孙权出力最多，文U 备实际上没出多少力。三国演义夸大了诸葛亮对赤壁之战的贡献， 当时孙刘联军的统帅实际上是周瑜，周瑜在赤壁之战的功劳远大于诸葛 亮。再看蒙古联合南宋灭金的例子。当时，蒙古军事实力最强，金国次之，南宋武力最弱。本来南宋应该和 金国结盟，帮助金国抵御蒙古的入侵才是上策，或者至少保持中立。但 是，当时的南宋采取了和蒙古结盟的政策。南宋当局先是糊涂地同意了 拖雷借道宋地伐金。1231年，蒙古军队在宋朝的先遣队伍引导下，借道 四川等地，北度汉水歼灭了金军有生力量。1233年，南宋军队与蒙古军队合围蔡州，金朝