高等数学等价无穷小替换极限的计算

1、西南石油大学高等数学专升木讲义讲义无穷小极限的简单计算【教学目的】1、理解无穷小与无穷大的概念；2、掌握无穷小的性质与比较会用等价无穷小求极限；3、不同类型的未定式的不同解法。【教学内容】1、无穷小与无穷大；2、无穷小的比较；3、几个常用的等价无穷小等价无穷小替换；4、求极限的方法。【重点难点】重点是掌握无穷小的性质与比较用等价无穷小求极限。难点是未定式的极限的求法。【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小 与无穷大的概念和性质的基础上，让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15 分钟）。【

2、授课内容】一、无穷小与无穷大1 .定义前面我们研究了 - 8数列4的极限、X - 8（Xf+O。、Xf XO）函数/（%） 的极限、X fX。（工->/+、X -，%-）函数/（X）的极限这七种趋近方式。下面 我们用Xf *表示上述七种的某一种趋近方式，即>8 XfS x > 4-00 X f CO X >X0 X> Xo+ X >定义：当在给定的Xf*下，/*）以零为极限，则称/*）是Xf *下的无 穷小，即 lim/（x） = 0。例如，limsinx = 0,.函数sinx是当x f0时的无穷小.lim 1 = 0,函数，是当x f s时的无穷小3 x

3、x11m !zl£=o,数列工是当 -s时的无穷小. nn【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何 非零常量都不是无穷小。定义：当在给定的Xf *下，|/（"无限熠大，则称/（X）是Xf *下的无 穷大,即吧/（x） = s。显然， 8时，3、都是无穷大量，【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷 小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如lim ex = 0 ,lim ex = +s ,所以屋当Xf -oo时为无穷小，当Xf+8时为无穷大。2 .无穷小与无穷大的关系：在自变量

4、的同一变化过程中，如果力为无穷大，17U)为无穷小；反之,如果/(X)为无穷小，且力W0,则7Q为无穷大。小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是 无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。3 .无穷小与函数极限的关系：定理1 lim /(x) = A = /") = A + a(x),其中c(x)是自变量在同一变化过X8程Xf(或X 8)中的无穷小.证：(必要性)设 lim /(x)= A，令 e(x) = /'(x) - A,则有 lim a(x) = 0,Jq/'(x) = A +

5、a(x).(充分性)设/。) = 4+。(外,其中2(工)是当工-*即时的无穷小，则lim f(x) = lim(A + a(x) = A+ lim a(x) = A.【意义】(1)将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小)；(2)给出了函数/(1)在小附近的近似表达式/(、)七A,误差为。(戈).3.无穷小的运算性质定理2在同一过程中，有限个无穷小的代数和仍是无穷小.【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.例如,-8时是无穷小，但个,之和为1不是无穷小 nn定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小.如：lim(1)" = 0 , lim xsin = 0 , lim sinx =

6、0”一>8X-8 X推论1在同一过程中，有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.二、无穷小的比较例如，当x - OH寸,x, x2, sin x, x2 sin -都是无穷小,观察各极限： X2lim =0,犬比3x要快得多；3 3x.lim型上=1, $山工与工大致相同； x) .1厂 sin一lim1 = lim sin -不存在.不可比.1° 尸 D X极限不同，反映了趋向于零的“快慢”程度不同.1 .定义：设。/是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且。工0.如果lim" = 0,就说尸是比a高

7、阶的无穷小,记作尸=。3); a(2)如果lim 2 = C( C=0),就说)与a是同阶的无穷小 a特殊地如果limS = 1,则称尸与。是等价的无穷小，记作a优 a(3)如果limg = C(C=0,& > 0),就说尸是a的阶的无穷小. a例1 证明：当X T 0时,4xtaifX为X的四阶无穷小.证：lim-t:，=4lim= 4,故当x->0时,4xtan'x为x的四阶无穷小. xT) X.t-MJ x例2 当x f 0时,求tanx-sin x关于x的阶数.解lim W心 =山】1（巴上1 岸.'）=_L,（anx-sinx为二的三阶无穷小. i

8、° x 厂 22 .常用等价无穷小:当工to时,(1) sinx x；(4) arctanx x ;尸(7) 1 -cosx - 2(2) arcsiiix x ;(5) ln(l + x) x ;(8) (l + x) l /戊(3) tanx x；(6) / 1 x(9) ax 1 ln«*x用等价无穷小可给出函数的近似表达式：, lim = 1, lim = 0,即 2 /7 = o(a),于是有 a = J3 + oa aa例如 sinx = x + o(x), cosx= 1 - x2 +o(x1).23.等价无穷小替换定理：a-ap- /7'Hlimli

9、m = lima9a af证：lim = lint ) = lim lim lim = lim a P9 a9 a p af a a9例 3(1) 求 lim -kU"A-. ；(2) lim -1° 1 一 COS XICOS X - 1解:(1)当x -0时，l-cosx 2tan 2x 2x.故原极限=lim管=8jo 1 。一厂2X?1(2)原极限lim -z _工2-Tam, 分 tanx-sinx 例 4 求 hm：.J。 sin32x错解： 当x -»。时，tan xX, sin xx.原式 =lim -=0 D (2x)3正解：当x f O时, s

10、in 2x 2xy tan.r-sin x = tanx(l -cosx) 2-X3故原极限=吧!官了=正【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以进 行等价无穷小替换。itan5x-cosx + l例 5 求 hm-.i° sin 3x解：*/ tanx = 5x + r?(x), sin3x = 3x + o(x), l-cosx = a2 +o(x1). 251 + 心)+ § +。(马5 +必+ 3 + 原式=lim= lim=-=-,-。3x+o(x)J。3三、极限的简单计算1 .代入法：直接将X-%的X。代入所求极限的函数中去，若/（X

11、。）存在，即为其极限，例如吧丁 j若小。）不存在，我们也能知道属于v2 - o哪种未定式,便于我们选择不同的方法。例如,就代不进去了,但我 们看出了这是一个9型未定式，我们可以用以下的方法来求解。2 .分解因式，消去零因子法r2 -9例如,lini = lim (x + 3)= 6。.一3 X 313(J/ + 5 3yx? + 5 + 3卜2工 + 1 +、疗)3 .分子（分母）有理化法XI v G +5-3例如,lini -,- = lirn 7-%n+ 5+312 J2x + 1 - >/5 12 (j2x +1 一 J2x +1 + 同行=lim 匚12x 4=lim.j2(x

12、+ 2)(x-2)2屋2)4.化无穷大为无穷小法Q7 3H O例如，lim J= lim_1r =大，实际上就是分子分母同时除以一i2jt-x + 4 j, 1 . 42乙X 厂这个无穷大量。由此不难得出11m工"入“+&/I+=40, n > ms, n < m又如，躯袋（分子分母同除6）。2rt _5” 再如，吧不，2丫 lim" G J一 1=-1,（分子分母同除5”）。+ 15 .利用无穷小量性质、等价无穷小量替换求极限例如，lim1）=0,（无穷小量乘以有界量）。3 3厂 +X+1又如，求li叫 ' 1XT1 x + 2x-3解：.li

13、m（1+2x-3） =0,商的法则不能用KT1v2 1 9 Y 0又 lim(4x-l) = 3 W 0, lim -=011 4x-l 3Z1 V - 1由无穷小与无穷大的关系居吧 kr-再如，等价无穷小量替换求极限的例子见本节例3例5o6 .利用两个重要极限求极限(例题参见§ 1.4例3一例5)7 .分段函数、复合函数求极限例如，设/*) = > ；，求 lii”/(x). 厂 +1, x>0 J。解：户0是函数的分段点，两个单侧极限为lim /(x) = lim (1-x) = 1, lim /(x) = lim (x2 +1)=1, x->0-x->0

14、-x-MTx-O*左右极限存在且相等，故lim/*) = L【启发与讨论】解：取/=-(k = 0,123,)2k九 + 土2)(%) = 2k兀+ y,当&充分大时，y(x0) > M.无界， 乙(2)取用=(女=0,123,)2k九当攵充分大时,/ <5,但)=2攵%sin2攵乃=OvM.不是无穷大.结论：无穷大是一种特殊的无界变量，但是无界变量未必是无穷大.思考题2:若/(幻>0,且lim/(x) = A,问：能否保证有A>0的结论？试举例 说明.解：不能保证.例 /*) = Vx>0,f(x) = ->0lim/(x) =XXI也lim =

15、A = 0.思考题3:任何两个无穷小量都可以比较吗？解：不能.例如当xfxo时/(x) = Lg=三竺都是无穷小量XX但lim -= lim sinx不存在且不为无穷大，故当犬f+co时/和g(x)不能比 r (x)较.【课堂练习】求下列函数的极限e -cosx解：原极限=limx-M)e - cosx=吧,1 -COSX ,+ lim= 1求吧3siiix + x2cos-!- X(1 + cosx) ln(l + x)【分析】 3”型，拆项。解：原极限=lim*5)3sinx + x- cosx2x二吧3sinx +2x, 1尸 cosX2x_3"22x - 4x + 1【分析】

16、“抓大头法”，用于二型O0；,或原极限=im5+y + y3 解：原极限=lim T-二(4) lim(vx2 +x - x); .1+8【分析】分子有理化解：原极限=lim,v->+»y/x2 +X + X=lim.1日1 _ 1Jl + 1/x +1 2吧一【分析】8-8型，是不定型，四则运算法则无法应用，需先通分，后计算。刻 1 / x 、 r x x 2 . x +1 3解：hm(- -) = lun； = lim12 厂 4 x-2 I r4Tx + 2 4(6) lim ,、' 一-7 & +9-3【分析】型，是不定型，四则运算法则失效，使用分母有理化消零因 子。解：原极限=limN&2：9+3)=6 3 厂 12(7) 求 lim(H7 +-).ir tr 犷解：fS时，是无穷小之和.先变形再求极限.1 /I、, 1 21 + 2 +2，?，?+ r " I 1Inn ( + + + ) = lim ； = lun - = lim (1 + )=. 廿 ir ir ir 30 ir，30 ir 廿 2 n 2【内容小结】一、无穷小(大)的概念无穷小与无穷大是相对于过程而言的.1、主要内容：两个定义泗个定理;三个推论.2、几点注意：（1） 无穷小（大）