浙教版七年级数学下册因式分解的应用

1、第九讲因式分解的应用思维导图闪式分家田应用解 元二次方程.一次不处方程多项式的除也重难点分析重点分析：因式分解的应用极其广泛，因式分解的实质是把和或差化成积的一种代数变换.应用因式分解解决数学问题或实际问题是一种常用的数学基本方法和运算技巧，对后续分式、一元二次方程等知识有很大帮助.本节中主要涉及数的计算、多项式除法、代数的求值或恒等变形以及解一 些简单的二次方程等. 难点分析：因式分解法解方程主要是将方程分解为“ A-B=0'的形式， 即“若A-B=0,则有A=0或B=0' 应用因式分解法解决数学问题或实际问题时要注意结合换元法、配方法、待定系数法等重要的数学方法.例题精析例

2、1、计算：(1) (m+n 2-4 (m-n) 2 + ( 3n-m); (a-2b) 2-4 (a-2b) +4 + ( a-2b-2 ).思路点拨：关键在于对被除式进行因式分解，分解后与除式之间的关系就显而易见解题过程：(1)原式=(m+n+2m-2r) (m+n-2m+2n + (3n-m) = ( 3m-n) (3n-m) + (3n-m) =3m-n. (2)原式=(a-2b-2 ) 2+ ( a-2b-2 ) =a-2b-2.方法归纳：我们现在所接触的多项式除以多项式都是利用因式分解来解决的，都是能整除的情况.易错误区：因式分解时，注意应用去括号或添括号法则时符号的变化例2、解方程

3、：(1) 2x2-3x=0 ;(2) x (2x-3) =4x-6 ;(3) 16 (x+1) 2=25 (x-2 ) 2.思路点拨：借助因式分解来解一元二次方程，把所有项移到等式左边进行因式分解，再依据“如果若干个数之积为零，那么至少有一个数为零”这一性质求解.事实上就是把一元二次方程转化为两个一元一次方程，达到降次的目的，实现从未知到已知的转化 解题过程：(1) .,2x2-3x=0,，x ( 2x-3 ) =0.n 3 .x1=0, x2=.2. x (2x-3) =4x-6 , - x (2x-3) -2 (2x-3) =0.3(x-2) (2x-3 ) =0. 1-x 1=2, x2

4、=.2(3) 16 (x+1) 2=25(x-2) 2,16 (x+1) 2-25 (x-2) 2=0.(4x+4+5x-10) (4x+4-5x+10 ) =0.( 9x-6 ) (14-x) =0. 1. x 1 = , x2=14.2方法归纳：因式分解在解一元二次方程或一元高次方程中有很好的应用.对于第(3)题也可以直接用开平方的方法，这时会出现两种情况：4 (x+1) =5 (x-2)或4 (x+1) =-5 (x-2).一般情况下，一元二次方程要有解就会有两个解，分别用xi和x2表示.易错误区：对于方程(3),不能简单地两边同时除以 2x-3得到x=2,这样会造成没有考虑2x-3=0

5、这一情况而导致漏根.例 3、在学习中，小明发现：32-12=9-1=8=1X8 ; 5 2-1 2=25- 1=24=3X8 ; 112-1 2=121-1=120=15X 8; 17 2-1 2=289- 1=288=36X 8,于是小明猜想：当n为任意正奇数时，n2-1的值一定是8的倍数，你认为小明的猜想正确吗？ 请简要说明你的理由.思路点拨：用2k+1表示奇数，再对 n2-1因式分解，分析因式分解结果中的因式，判断是不是8的倍数.解题过程：小明的猜想正确.理由：.丁为奇数，可设 n=2k+1 (k为自然数).n2-1= (2k+1) 2-1= (2k+1+1) (2k+1-1 ) = (

6、2k+2) x 2k=4k ( k+1).k为自然数，k, k+1是两个相邻的自然数. .k, k+1中必有一个是偶数，一个是奇数. .k ( k+1)必定是2的倍数.，4k ( k+1)必定是8的倍数.故当n为任意正奇数时，n2-1的值一定是8的倍数.方法归纳：本题考查了因式分解的应用，先猜想结论，再进行验证.数的奇偶性判断是本题的难点.易错误区：k与k+1是相邻的两个整数，必定是一奇一偶，所以 4k (k+1)不仅仅是4的倍数 还是8的倍数.例4、如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为 m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为 n宽为n的小长方形， 且

7、 m> n.(1)观察图形，可以发现代数式2m+5mn+2K可以因式分解为；(2)若每块小长方形的面积为 10,四个正方形的面积之和为 58,试求图中所有 裁剪线(虚线部分)长之和.思路点拨：(1)据图由长方形面积公式将代数式2m+5mn+2K因式分解即可；(2)根据四个正方形的面积之和为 58,以及每块小长方形的面积为 10,得出等式求出 m+n进一步得到图中 所有裁剪线(虚线部分)长之和即可.解题过程：(1) 2m+5mn+2K可以因式分解为(m+2n) (2m+ri).(2)依题意，得 2m+2n2=58, mn=1Q . .m 2+n2=29.( m+n) 2=n2+2mn+K,

8、(m+n) 2=29+2X 10=49.m+n> 0, I- m+n=7.，图中所有裁剪线(虚线部分)长之和为2(m+2n)+2(2m+n)=6(m+n)=42.方法归纳：本题主要考查了因式分解的应用、列代数式以及完全平方公式的应用，根据已知图 形得出是解题关键.易错误区：解题时要注意(m+n)2=49时，m+n是49的平方根，结果有两个，但涉及实际问题，要将负的值舍去，要明确平方根与算术平方根的区别与联系例5、如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，我们就把这样的自然数叫做“和谐数”.例如：自然数64746从最高位到个

9、位排出的一串数字是6, 4, 7, 4, 6,从个位到最高位排出的一串数字也是6, 4, 7, 4, 6,所以64746是“和谐数” .再如：33, 181 , 212, 4664等都是“和谐数”.(1)请你直接写出3个四位数的“和谐数”，猜想任意一个四位数的“和谐数”能否被 11整除，并说明理由；(2)已知一个能被11整除的三位数的“和谐数”，设个位上的数字为x (1<x<4, x为自然数)，十位上的数字为 V,写出y与x之间的关系式(用 x表示y).思路点拨：(1)根据“和谐数”的定义写出3个四位数的“和谐数”；设任意四位数的“和谐数”的形式为：abba (a, b为自然数)，

10、则这个四位数为 aX103+bx 102+bx 10+a=1001a+110b通过提取公因式可判断任意四位数的“和谐数”都可以被 11整除；(2)设能被11整除的三位数的"和谐数"为：xX 102+yX 10+x=101x+10y,由于 101x_l£y =9x+y+2xy ,根据整数的 1111整除性得到2x-y=0,于是可得y与x之间的关系式.解题过程：(1)四位数的“和谐数”：1221, 1331, 1111 , 6666.任意一个四位数的“和谐数”都能被 11整除，理由如下：设任意四位数的“和谐数”的形式为：abba ( a , b为自然数)，则 ax 1

11、03+bx 102+bx 10+a=1001a+110b.1001a+110b=11(91a+10b),.四位数的“和谐数” abba能被11整除.任意四位数的“和谐数”都可以被11整除.(2)设能被11整除的三位数的“和谐数”为： xyx ,则xX102+yX10+x=101x+10y,101x 10y c 2x y贝U = =9x+y+L .,. Kx< 4, 101x+10y 能被 11 整除,2x-y=0.1. y=2x (1<x<4).方法归纳：本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题.灵活利用整数的整除

12、性.易错误区：一要注意十进制多位数的正确表示方法，二要注意x, y的取值.探究提升例、已知整数a, b满足6ab=9a-10b+16 ,求a+b的值.思路点拨：运用因式分解法把原来的等式变形为(3a+5) (2b-3) =1,再根据两个整数的乘积是1,只有1X1和(-1 ) x ( -1 )两种情况，再进一步解方程组即可.解题过程： 由 6ab=9a-10b+16 ,得 6ab-9a+10b-15=16-15.(3a+5) (2b-3) =1.3a 5 1,3a 5 -1,.3a+5, 2b-3都为整数，或2b-3 12b-3 -1.3或a -2,b 1.a -2,. a, b 为整数，故 a

13、+b=-1.b 1.方法归纳：因式分解法是解高次不定方程的重要方法，要注意本题的方法与因式分解解一元二次方程的方法的区别，解一元二次方程一般方程右边变为零，而解不定方程的右边只要为整数，然后分析整数的约数即可.易错误区：A-B=1且A和B均为整数，则有 A=1, B=1或A=-1 , B=-1 ,不要漏掉两个都是-1 这种情况.专项训练走进重高1 .【杭州】设a, b是实数，定义 勺一种运算如下：ab=(a+b) 2- (a-b) 2,则下列结论： 若 ab=0 则 a=0 或 b=0;a( b+c) =ab+a<©不存在实数 a, b,满足 ab=0+5b2;设 a, b是长

14、方形的长和宽，若长方形的周长固定，则当 a=b时，ab<大.其中正确的是()A.B.C.D.2 .数348-1能被30以内的两位数(偶数)整除，这个数是.3 .【遂宁】阅读下面的文字与例题.将一个多项式分组后，可提取公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法.例如：(1) am+an+bm+bn=(am+bm + (an+bn) =m (a+b) +n (a+b) = (a+b) (m+力；(2) x2-y2-2y-1=x 2- (y2+2y+1) =x2- (y+1) 2= (x+y+1 ) (x-y-1 ).试用上述方法分解因式：a2+2ab+ac+bc+b2=.4.【杭州】设y=kx ,是否存在实数 k,使得代数式(x2-y 2) (4x2-y 2) +3x2 (4x2-y2)能化简为 x4?若能，请求出所有满足条件的k的值；若不能，请说明理由.高分夺冠1 .已知a2(b+c)=b2(a+c)=2015,且 a, b, c互不相等，贝Uc2(a+b