八上培优5-半角模型

1、八上培优5 半角模型方法：截长补短图形中，往往出现 90°套45°的情况，或者120°套60°的情况。还有 2套 的情况。求 证的结论一般是线段的和与差。解决的方法是：截长补短构造全等三角形。旋转移位造全等，翻折分割构全等。截长法，补短法。勤学早和新观察均有专题。勤学早在第49页，新观察在第34页，新观察培优也有涉及，在第27页2两个例题，29页有习题。这些题大同小异，只是图形略有变化而已。证明过程一般要证明两 次全等。下面是新观察第34页14题1如图，四边形 ABCD 中，Z A= Z C=90 °,Z D=60 AB=BC , E、F,分别

2、在 AD、CD 上, 且/ EBF=60 ° .求证：EF=AE+CF .DF分别在AD、DC的延长线上，其余条件不变，求证： AE=EF+CF .3如图，Za= Zb=90 ° , CA=CB=4, Z ACB=120 ° , Z ECF=60 °,AE=3, BF=2, 求五边形 ABCDE的面积EE4.如图1在四边形ABCD中.AB=AD，/ B+ / D=180 °, E、F 分别是边 BC、CD 上的点,且/ BAD=2 / EAF .(1) 求证：EF=BE+DF ;(2) 在(1)问中，若将 AEF绕点A逆时针旋转，当点 E、F分

3、别运动到BC、CD延长线上时,如图2所示，试探究EF、BE、DF之间的数量关系.3如图3,在四边形 ABDC中，/ B+ Z C=180 ° , DB=DC，/ BDC=120 °，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交 AB、AC于E、F两点，连接EF,探索线段BE、CF、EF之间的数量 关系，并加以证明.T-勤学早第40页试题1. (1)如图，已知 AB= AC, Z BAC=90Z MAN=45° ,过点C作NC丄AC交AN于点N，过点B作BM 垂直AB交AM于点M，当Z MAN在Z BAC内部时，求证:BM+CN =MN;证明：延长 MB 到

4、点 G,使 BG=CN,连接 AG ,证厶ABGACN(SAS),二 AN=AG,Z BAG= , Z NAC.L TZ GAM= Z GAB + Z BAM= Z CAN+ Z BAM=45 ° = L Z MAN, 证厶 AMN 也厶 AMG(SAS),'二 MN= MG= BM + BG= BM十 NC.证明二：(此证明方法见新观察培优第 27页例3)(1)的结论是否成立 巧青说明理由如图，在(1)的条件下，当 AM和AN在AB两侧时,解:不成立，结论是：MN=CN BM, 证明略.基本模型二120°套 60°2.如图， ABC 中,CA=CB, /

5、 ACB=120 ° ,E 为 AB 上一点，/ DCE=60 °，/DAE= 120 求证:DE=BE证明：（补短法）延长EB至点F,使BF=AD,连接。卩则厶CBF CAD , CED CEF,.DE- AD=EF- BF= BE.3如图, ABC 中,CA=CB, / ACB=120。，点 E 为 AB 上一点，/ DCE= / DAE= 60 求证:AD+DE= BE.E F B证明:（截长法）在BE上截取BF=AD,连接CF,易证 CBFCAD , CED 也 ACEF, DE= EF, AD+DE= BF+EF=BE.比较：新观察培优版 27页例4如 图， AB

6、C是边长为1的等边三角形， BDC是顶角，/ BDC= 120 °的等腰三角形， 以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交 AB、AC于M、N,连结MN,试求 AMN的周长. 分析：由于/ MDN=60 °，/BDC=120 ° ,所以/ BDM 十/ CDN=60 ° ,注意到 DB=DC ,考虑运用“旋转法”将/ BDM和/ CDN移到一起，寻找全等三角形。 另一方面, AMN的周长AM+AN +MN= AB+ AC+MN-BM- CN. 猜想MN= BM+CN,证三角形全等解决新观察培优68页 例5 如图， 点A、B(2,0)在x轴上原点

7、两侧，C在y轴正半轴上，0C平分/ACB.(1) 求A点坐标；如图1, AQ在/ CAB内部，P是AQ上一点，满足ZACB= Z AQB, AP=BQ .试判断 CPQ的形状，并予以证明；如图2. BD丄BC交y轴负半轴于 D. Z BDO=60 ° , F为线段AC上一动点，E在CB延长线上， 满足Z CFD+ Z E=180 ° .当F在AC上移动时，结论：CE+CF值不变；CE- CF值不变，其中 只有一个正确结论，请选出正确结论并求其值分析:(1)由 Z A0C BOC 得 AO= BO=2, A(- 2,0).由 ACP BCQ 得 CP=CQ.由BD丄BC, Z

8、 BDO=60 °，可证得等边 ABC.由角平分线和 DB_丄BC的条件，运用对称性知 DA丄AC,连结 DA,加上条件Z CFD+ Z E=180 °，可证得厶 ADF BDE,于是 CE+CF=2AC= 2AB= 8.基本模型三4.(1)如图1，在四边形 ABCD中， AB=AD, Z B+ Z D=180 ° , E,F分别是 BC,CD上的点，且/1EAF= Z BAD,求证:EF= BE+ DF;2(2) 如图2,在(1)的条件下，若将 AEF绕点A逆时针旋转，当点E,F分别运动到BC,CD延长线上时,则EF,BE,DF之间的数量关系是 EF=BE- D

9、F解:(1)EF=BE+DF,延长 FD 到点 G,使 DG=BE,连接 AG,证厶 ABE ADG (SAS), AE = AG,1Z BAE= Z DAG , vZ EAF= Z BAD,2 Z GAF= Z DAG+ Z DAF= Z BAE+ Z DAF= Z BAD- Z EAF= Z EAF, /-Z 'EAF= Z GAF,证厶 AEF 也厶 GAF(SAS),./ EF= FG, v FG=DG+ DF=BE+ DF , EF=BE +DF;(2)EF=BE DF .外地试题：4.探究：如图，点 E、F分别在正方形 ABCD的边BC、CD上，/ EAF=45 °

10、;，连结 EF，求 证：EF=BE+DF .应用：如图，在四边形 ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，AB=AD，/ B+ / D=90 °，/1EAF= / BAD，若 EF=3, BE=2，贝U DF=.25通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的下面是一个案例，请补 充完整.原题：如图1,点E、F分别在正方形 ABCD的边BC、CD上，/ EAF=45 °，连接EF,求证：EF=BE+DF .(1 )思路梳理/ AB=AD ,把 ABE绕点A逆时针旋转 90°至厶ADG，可使AB与AD重合./ ADG= / B=90 ° ,

11、/ FDG= / ADG+ / ADC=180 °，则点 F、D、G 共线.根据，易证 AFG也，从而得EF=BE+DF ;(2 )类比引申如图2,四边形 ABCD中，AB=AD , / BAD=90 °点E、F分别在边 BC、CD上，/ EAF=45 ° .若/ B、/ D都不是直角，但当/ B与/ D满足等量关系时，仍有EF=BE+DF ,请给出证明；(3 )联想拓展如图 3，在 ABC 中，/ BAC=90 ° , AB=AC，点 D、E 均在边 BC 上，且/ DAE=45 °，猜想 BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程.7

12、. ( 1)如图1,在四边形 ABCD中，AB=AD，/ B= / D=90 ° , E、F分别是边 BC、CD上的点，1且AE=AF，/ EAF= / BAD .现有三种添加辅助线的方式：延长 EB至G,使BG=BE，连接2AG;延长FD至G，使DG=BE，连接AG ;过点A作AG丄EF，垂足为G;选择其中一种方 法添加辅助线，求证：EF=BE+FD ;1(2) 如图 2,在四边形 ABCD 中，AB=AD，若/ B+ / D=180。，/ EAF= / BAD，证明(1)2中结论是否还成立？(3) 如图3,在四边形 ABCD中，AB=AD，/ B+ / ADC=180 °

13、; , E、F分别是边 BC、CD延长1线上的点，且/ EAF= / BAD , (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请2写出它们之间的数量关系，并证明.& (1)如图1,在四边形 ABCD中，AB=AD，/ B= / D=90 ° , E、F分别是边 BC、CD上的点，1且/ EAF= / BAD .求证：EF=BE+FD .2(2) 如图2,在四边形 ABCD中，AB=AD，/ B+ / D=180 ° , E、F分别是边 BC、CD上的点，1 一且/ EAF= / BAD , (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出线段E

14、F、2BE、FD它们之间的数量关系，并证明.(3) 如图3,在四边形 ABCD中，AB=AD，/ B+ / ADC=180 ° , E、F分别是边 BC、CD延长1线上的点，且/ EAF= / BAD , (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请2写出线段EF、BE、FD它们之间的数量关系，并证明.半角模型问题放到平面直角坐标系中是什么样子?1如图1在平面直角坐标系中， AOB为等腰直角三角形，A(4，4)/ FDC+ / DCF=90 ° ,/ ACF= / FDC ,又/ DFC= / AEC=90 ° , DFC CEA (AAS ), EC

15、=DF=4 , FC=AE ,A ( 4, 4), AE=OE=4 , FC=OE ,即 OF+EF=CE+EF , OF=CE , OF=DF, / DOF=45 ° , AOB为等腰直角三角形， / AOB=45 ° , / AOD= / AOB+ / DOF=90 °囲1.區2图？(1 )求B点坐标；(2) 如图2,若C为x正半轴上一动点，以 AC为直角边作等腰直角 ACD，/ ACD=90。，连 接OD，求/ AOD的度数；(3) 如图3,过点A作y轴的垂线交y轴于E, F为x轴负半轴上一点，G在EF的延长线上，以EG为直角边作等腰 RtA EGH，过A作

16、x轴垂线交EH于点M ,连FM，等式AM=FM+OF是 否成立？若成立，请说明；若不成立，说明理由.解：(1 )如图所示，作 AE丄OB于E,A (4, 4),OE=4 , AOB为等腰直角三角形，且 AE丄OB, OE=EB=4 , OB=8 ,- B (8, 0 )；(2 )如图所示，作 AE丄OB于E, DF丄OB 于F, ACD为等腰直角三角形， AC=DC，/ ACD=90 °即/ ACF+ / DCF=90 ° , >"0Eb i0B s(3) AM=FM+OF 成立，理由：如图所示，在 AM 上截取 AN=OF，连EN .A (4, 4)， A

17、E=OE=4 ,JLlkV4AX又/ AEO=90 °， / AEN+ / OEM=45 ° / NEM=45 ° = / FEM , 又: EM=EM ,又/ EAN= / EOF=90 ° , AN=OF , NEM FEM (SAS), EAN EOF ( SAS )， / OEF= / AEN，EF=EN， 又 EGH为等腰直角三角形, MN=MF , AM-MF=AM-MN=AN , AM-MF=OF ,/ GEH=45 °，即/ OEF+ / OEM=45 ° ,即 AM=FM+OF ;【点评】本题考查三角形综合题、全等三

18、角形的判定、等腰三角形的性质和坐标与图形性质的综 合应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型.2.如图，直线L交x轴、(1 )求A、B两点坐标；(2) C为线段AB上一点,y 轴分别于 A、B 两点，A (a, 0) B (0, b),且(a-b) 2+|b-4|=0C点的横坐标是3，P是y轴正半轴上一点，且满足/ OCP=45。，求P点坐标；(3 )在(2 )的条件下，过B作BD丄OC,交OC、OA分别于F、D两点，E为OA上一点，且/ CEA= / BDO，试判断线段 OD与AE的数量关系，并说明理由.(1 )解：( a-b) 2+|b-4|=0， a

19、-b=0， b-4=0， a=4, b=4, A (4, 0), B ( 0, 4);(2)3.如图，已知 A (a, b), AB丄y轴于B ,且满足|a-2|+ ( b-2) 2=0,(1 )求A点坐标；(2) 如图1,分别以AB , AO为边作等边三角形 ABC和厶AOD，试判定线段 AC和DC的数 量关系和位置关系，并说明理由；(3) 如图2，过A作AE丄x轴于E,点F、G分别为线段 OE、AE上两个动点，满足/ FBG=45 ° : 试探究OF AG的值是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，请说明理由.FG2017-2018江汉期中如图点 PABC的外角/ BCD的平分

20、线上一点， PA=PB(1)(2)(3)求证：/ PAC=z PBC作 PEI BC于 E,若 AC=5 BC=11,求 SA PCE SA PBE若M N分别是边AC BC上的点，且/ MPN=l / APB则线段AM MN BN之间有何数量关2系，并说明理由.D,解：(1)如图1,过点P作PE丄BC于E, PF丄AC于F,DV/ PC 平分/ DCB , PE=PF,在 Rt PAF 和 Rt PEB 中,PF = PEPA = PB, Rt PAFB Rt PEB, / PAC=Z PBC,(2)如图 2，过点 P作PF丄AC于F ,/ PE丄BC , CP是/ BCD的平分线, PE=

21、PF,Z PCF= / PCE,/ PC=PC, PCFA PCE, CF=CE,由(1)知，Rt PAF也 Rt PEB , AF=BE ,/ AF=AC+CF , BE=BC-CE , AC+CF=BC-CE , 5+CF=11-CE , CE=CF=3,/ PFCA PEC,PFC = S“ PEC ,/ Rt PAFB Rt PEB,-Sa PAF = Sa PEB ,.Sa pce : Sapbe =Sapfc : Sa pfa11=CF X PF:AC X PF22=CF : AC=3 : (3+5) =3: 8;.PM=PQ，/ MPA=QPB ,/ APM+ / QPA= /

22、APQ+ / QPB ,即：/ APB= / MPQ ,/ 1 /MPN= / APB ,21./ MPN= _ / MPQ ,2(3)如图3,在BC上截取BQ=AM , 在厶PMA和厶PQB中， / MPN= / QPN, 在厶MPN和厶QPC中，PN= PNMPN = QPNMP= QP, MPN QPC, MN=QN , BN=AM+MN .PA= PBPAM= PBQMA= BQ,【点评】此题是三角形综合题,主要考查了全 等三角形的判定和性质，角平分线定理和角平 分线的定义，解(1)的关键是判断出 PE=PF， 解(2)的关键是求出 CE=CF=3，解(3)的关 键是构造全等三角形判断

23、出/APB= / MPQ ,是一道中等难度的中考常考题.2015-2016江岸八上期末 已知在 ABC中，AB=AC ,射线BM、BN在/ ABC内部，分别交线段 AC于点G、H .(1) 如图 1,若/ ABC=60。、/ MBN=30。，作 AE 丄BN 于点 D,分别交 BC、BM 于点 E、F. 求证：CE=AG ; 若BF=2AF，连接CF，求/ CFE的度数；(2) 如图2,点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF,若/ BFE= / BAC=2 / CFE，直接写出 VABF= VACF【分析】(1)由AB=AC，/ ABC=60 °得到 ABC为等边三角形，根据等

24、边三角形的性质得 到/ BAC= / ACB=60 ° , AB=CA，求得/ BFD= / AFG=60 °，推出 / EAC= / GBA 证得 GBA EAC ,根据全等三角形的性质即可得到结论；如图1，取BF的中点K连接AK ,由BF=2AF ,【解答】 解：(1)T AB=AC , Z ABC=60 ABC为等边三角形，则 Z BAC= Z ACB=60 ° , AB=CA ,/ AD 丄 BN , Z MBN=30 ° , Z BFD= Z AFG=60 ° , tZ ABF+ Z BAF=60 ° , Z BAF+ Z EAC=60 ° Z EAC= Z GBA 在厶GBA与厶EAC中，Z GBA = Z EACAB = CAZ GAB = Z ECA, GBA EAC , CE=AG ;如图1，取BF的中点K连接AK ,/ BF=2AF ,方法二：只要证明厶ADB BFC即可解决问 题；取BK=AF，连接AK ,1推出 FAK是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到/FAK= / FKA，求得