最新201X学年九年级数学下册第1章二次函数1.4二次函数与一元二次方程的联系练习（新版）湘教版

1、二次函数与一元二次方程的联二次函数与一元二次方程的联系系知知| |识识| |目目| |标标1 通过回顾一元二次方程的判别式与根的关系， 理解二次函数图象与x轴交点的个数可以通过一元二次方程的判别式判别2 通过列表或电脑作图， 能用图象法读取或求取一元二次方程的近似根或确定根的取值范围3利用数形结合，能根据自变量(函数值)的取值范围确定函数值(自变量)的取值范围目标一目标一掌握抛物线与掌握抛物线与 x x 轴的交点情况和一元二次方程的根的关系轴的交点情况和一元二次方程的根的关系例 1 教材“探究”拓展 已知(m，0)，(n，0)是抛物线yx22(a1)xa21 与x轴的两个不同的交点(1)求a的

2、取值范围；(2)若(m1)(n1)10，求a的值【归纳总结】用根的判别式判断二次函数图象与x轴的交点情况：(1)抛物线与x轴的交点：对于二次函数yax2bxc(a，b，c是常数，a0)，b24ac决定抛物线与x轴的交点个数：当b24ac0 时，抛物线与x轴有两个不同的交点两个交点的坐标为bb24ac2a，0与bb24ac2a，0；当b24ac0 时，抛物线与x轴有两个重合的交点这个交点即为顶点，坐标为b2a，0；当b24ac0 时，抛物线与x轴没有交点(0 个交点)(2)抛物线yax2bxc(a0)与x轴有交点的条件是b24ac0.(3)抛物线yax2bxc(a0)的顶点在x轴上的条件是b24

3、ac0.目标二目标二能用图象法求一元二次方程的近似解能用图象法求一元二次方程的近似解例 2 教材例题变式求一元二次方程x22x100 的近似解(精确到 0.1)【归纳总结】利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的步骤：(1)将方程转化为函数，即将ax2bxc0(a0)转化为yax2bxc(a0)；(2)画出函数yax2bxc(a0)的图象；(3)找出二次函数图象与x轴交点的横坐标(不是整数的取近似值)， 即可得到一元二次方程的近似根目标三目标三能根据函数值能根据函数值( (或取值范围或取值范围) )，求对应的自变量的值，求对应的自变量的值( (或取值范围或取值范围) )例 3 教材补充例题二

4、次函数的部分图象如图 141 所示，回答下列问题：(1)当x取什么值时，y0?(2)当x取什么值时，y随x的增大而减小？(3)当x取什么值时，y3?图 141【归纳总结】已知函数值(或取值范围)，求对应的自变量的值(或取值范围)：(1)解决此类题的基本思想：已知函数y的值，将二次函数转化为一元二次方程求对应的x的值，将二次函数图象与一元二次方程联系起来(2)常见的求自变量取值范围的种类：抛物线与直线相交图象交点的横坐标抛物线yax2bxc(其中a0)与x轴相交交点的横坐标分别为p，q当xp或xq时，y0；当pxq时，y0抛物线yax2bxc(a0)与直线ym相交当xp或xq时，ym；当pxq时

5、，ym抛物线y1ax2bxc(a0)与直线y2kxn相交当xp或xq时，y1y2；当pxq时，y1y2知识点一知识点一二次函数二次函数 y yaxax2 2bxbxc c 的图象与的图象与 x x 轴交点的横坐标轴交点的横坐标抛物线yax2bxc与x轴交点的横坐标即为一元二次方程_的根知识点二知识点二二次函二次函数数y yaxax2 2bxbxc c的图象的图象与与x x轴交点的个数与一元二次方轴交点的个数与一元二次方程程axax2 2bxbxc c0 0的根的个数之间的关系的根的个数之间的关系(1)一元二次方程ax2bxc0 有两个不相等的实数根(即0)抛物线yax2bxc与x轴有_交点；(

6、2)一元二次方程ax2bxc0 有两个相等的实数根(即0)抛物线yax2bxc与x轴有_交点；(3)一元二次方程ax2bxc0 没有实数根(即0)抛物线yax2bxc与x轴_交点知识点三知识点三利用二次函数的图象求一元二次方程的根的近似值利用二次函数的图象求一元二次方程的根的近似值利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的步骤如下(1)作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；(2)由图象与直线 yh 的交点的位置确定交点横坐标的范围；(3)观察图象求得方程的根或根的取值范围点拨 (1)利用图象法解方程是将“数”的问题转化为“形”来解决，体现了数形结合的思想；(2)图象越准确，所得的方程的解

7、越精准；(3)同一个一元二次方程可以作出不同的二次函数的图象求近似解，比如当 a0 时，一元二次方程 ax2bxc0 的近似解可以通过作二次函数 yax2bxc 的图象求解， 也可以通过作函数 yax2与 ybxc 的图象求解， 或者通过作函数 yax2c 与 ybx 的图象求解知识点四已知二次函数的值，通过一元二次方程求对应的自变量的值已知二次函数的值，通过一元二次方程求对应的自变量的值将二次函数的值代入 yax2bxc 中，先化简，然后解关于 x 的一元二次方程，求出对应的 x 的值已知抛物线 yx2mxm1 与 x 轴交于点 A(x1，0)，B(x2，0)，且与 y 轴的负半轴相交若x1

8、2x22x1x27，求 m 的值解：由题意，可知 x1，x2是一元二次方程 x2mxm10 的两个根，x1x2m，x1x2m1.x12x22x1x27，(x1x2)2x1x27，即 m2m17，解得 m13，m22.m 的值为 3 或2.指出以上解题过程中存在的错误，并改正教师详解详析教师详解详析【目标突破】例 1 1解：(1)令 x22(a1)xa210，由题意知4(a1)24(a21)0，解得 a1.(2)(m，0)，(n，0)是抛物线 yx22(a1)xa21 与 x 轴的两个不同交点，m，n 为方程 x22(a1)xa210 的两个根，mn2 (a1)2a2，mna21.(m1)(n1

9、)10，即 mn(mn)110，a21(2a2)1a22a210，解得 a2 或 a4(大于 1，舍去)，a 的值是2.例 2 2解析 方程 x22x100 的解可以看成抛物线 yx22x10 与 x 轴交点的横坐标因此应先画出函数 yx22x10 的图象，由图象与 x 轴的交点的位置确定两根的取值范围，利用计算器求得根的近似值解：画出函数 yx22x10 的图象如图由图象， 知方程 x22x100 有两个根， 一个根在4 与5 之间， 另一个根在 2 和 3 之间 先求4 和5 之间的根，利用计算器进行探索：xy因此，x1是方程的一个精确到的近似解同理，可求得另一个精确到的近似解为 x22.

10、3.例 3 3解：(1)抛物线的对称轴为直线 x1，与 x 轴的一个交点坐标为(1，0)，抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为(3，0)补全图象如图由函数图象，可知当3x1 时，函数图象在 x 轴的上方，当3x1 时，y0.(2)由函数图象，可知当 x1 时，y 随 x 的增大而减小(3)由对称性，可知抛物线经过点(2，3)，当 y3 时，图象在直线 y3 的下方，此时对应的自变量 x 的取值范围是 x2 或 x0.备选目标二次函数与一元二次方程、不等式的综合应用例已知抛物线 yax2bxc 经过 A，B，C 三点，当 x0 时，其图象如图所示(1)求抛物线的函数表达式，并写出顶点的坐标；(2)画出函数 yax2bxc(x0.解析 (1)观察图象，知 A(0，2)，B(4，0)，C(5，3)，利用待定系数法即可求出其表达式；(2)画图象时，要注意先求出图象与 x 轴的交点；(3)先观察图象，再根据图象与 x 轴的交点坐标写出 x 的取值范围解：(1)由图象，知点 A(0，2)，B(4，0)，C(5，3)在二次函数的图象上，所以2c，016a4bc，325a5bc，解得a12，b32，c2.所以抛物线的函数表达式为 y12x232x2，顶点坐标为32，258 .(2)利用抛物线的对称性或解方程12x232x20，易求得抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为(1，0)所画图象