2012年天津市高考数学试卷(理科)

1、2012年天津市高考数学试卷（理科）2012年天津市高考数学试卷（理科）一、选择题1. （3分）i是虚数单位，复数=（）3+iA. 2+i B . 2-iC. - 2+i D. - 2-i2. （3分）设 小C R,贝U “小二0”是“f （x） =cos （x+小）（xCR）为偶函数” 的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3. （3分）阅读程序框图，运行相应的程序，当输入 x的值为-25时，输出 的值为（）A. - 1 B. 1C. 3D. 94. （3分）函数f （x） =2x+x3-2在区间（0, 1）内的零点个数是（）A. 0 B. 1

2、C. 2 D. 35. （3分）在（2x2-工）5的二项展开式中，x项的系数为（）A. 10 B. - 10C. 40 D. -406. （3分）在 ABC中，内角A, B, C所对的边分别是a, b, c.已知8b=5c,C=2B 贝U cosC=()A iB-|-蚩"士康嗒_ _7. （3分）已知ABE等边三角形，AB=2设点P,Q满足而二人疝,而二0 - Q近,入 C R.若BQ，CP=-1,则入=()A. 1 B.告丝C,零Hd.二;一8. (3分)设 m, nC R,若直线(m+力 x+ (n+1) y 2=0与圆(x 1) 2+ (y 1)2=1相切，则m+n的取值范围是

3、()A. 1 -fx/5, 1+/5 B. (-00, 1-3 U1+V3, +oo)C. 2 -2V2, 2+2>/a D. (-00, 2 - 272 U 2+2V2, +00)二、填空题9. （3分）某地区有小学150所，中学75所，大学25所.先采用分层抽样的方 法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取 所学 校，中学中抽取一所学校.10. （3分）一个几何体的三视图如图所示（单位：mj）,则该几何体的体积为 m3.正视图恻视图俯视图11. （3 分）已知集合 A=x e R|x+2| <3,集合 B=xC R| （x-m） （x-2） <0,

4、且 AC B= （ - 1, n）,则 m=, n=.12. （3分）已知抛物线的参数方程为富二分”（t为参数），其中p>0,焦点为 Lv=2pt第3页（共28页）14. (3分)已知函数15.已知函数f (x) =sin, 兀、(2x+) +sin3+2cos2x - 1, x C R.F,准线为l .过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E.若|EF|=|MF| ,点M的 横坐标是3,则p=.13. (3分)如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长 线相交于点D,过点C作BD的平行线与圆相交于点 E,与AB相交于点F, AF=3, FB=1, EF=L, WJ线段C

5、D的长为2区二LL的图象与函数y=kx-2的图象恰有两个交点,I - 1则实数k的取值范围是三、解答题(1)求函数f (x)的最小正周期；(2)求函数f (x)在区间-千，子上的最大值和最小值.16 现有 4 个人去参加娱乐活动， 该活动有甲、 乙两个游戏可供参加者选择 为 增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为 1 或 2 的人去参加甲游戏，掷出点数大于2 的人去参加乙游戏（ 1）求这4 个人中恰有2 人去参加甲游戏的概率；（ 2）求这4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（3）用X, Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数

6、，记 己二|X-Y|,求 随机变量己的分布列与数学期望EE .第 7页（共 28页）17 .如图，在四棱锥 P-ABCDfr, PZ平面 ABCD AC±AR AB±BG / BAC=45 ,PA=AD=2 AC=1.(1)证明：PC!AR(2)求二面角A- PC- D的正弦值；(3)设E为棱PA上的点，满足异面直线18 .已知an是等差数列，其前n项和为& ,bn是等比数列，且a1二bi=2,a4+b4=27,S4- b4=10.(1 )求数列a n与b n的通项公式； *(2)记 Tn=anbi+a 也+ab, nCN,证明：Tn+12= 2an+10bn (n

7、CN).2219 .设椭圆+口1(曰£0)的左右顶点分别为A, B,点P在椭圆上且异于A, ” b2B两点，O为坐标原点.(1)若直线AP与BP的斜率之积为-/，求椭圆的离心率；(2)若|AP|=|OA| ,证明直线OP的斜率k满足凶6.20 .已知函数f (x) =x-ln (x+a)的最小值为0,其中a>0.(1)求a的值;(2)若对任意的x 0 , +oo),有f (x) < kx2成立，求实数k的最小值;(3)证明：£ ？ - ln(2n+l)<2 (nCN*).i=l21 - 12012年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1.

8、 （3分）（2012以津）i是虚数单位，复数二二二二（）3+iA. 2+i B . 2-iC. - 2+iD. - 2-i【分析】由题意，可对此代数分子分母同乘以分母的共腕，整理即可得到正确选项解:1 (7- IH3-0 20- LOi3+i = (3+i)(3-i) = 10-2-i故选B2. （3 分）（2012以津）设 小 C R,贝U “小=0” 是 “f （x） =cos （x+小）（xCR）为偶函数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【分析】直接把小=0代入看能否推出是偶函数，再反过来推导结论即可.【解答】解：因为小=0时，f （

9、x） =cos （x+小）=cosx是偶函数，成立；但f （x） =cos （x+小）（xCR）为偶函数时，（|） =k：t , kCZ,推不出 小=0.故“小二0”是“f （x） =cos （x+小）（xCR）为偶函数”的充分而不必要条件.故选：A.3. （3分）（2012以津）阅读程序框图，运彳T相应的程序，当输入 x的值为-25时，输出x的值为（）A. - 1 B. 1C. 3D. 9【分析】根据题意，按照程序框图的顺序进行执行，当|x| <1时跳出循环，输 出结果.【解答】解：当输入x=-25时，|x| >1,执行循环，x=J| _ 25 | 1=4；|x|=4 >1

10、,执行循环，x=7 14 | - 1=1,|x|=1 ,退出循环，输出的结果为x=2X 1+1=3.故选：C. (3分)(2012以津)函数f (x) =2x+x3-2在区间(0, 1)内的零点个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【分析】根据函数f (x) =2x+x3- 2在区间(0, 1)内单调递增，f (0) f (1)<0,可得函数在区间(0, 1)内有唯一的零点【解答】解：由于函数f (x) =2x+x3 - 2在区间(0, 1)内单调递增，又f (0)=-K0, f (1) =1>0,所以 f (0) f (1) <0,故函数f (x) =2x+x

11、3-2在区间(0, 1)内有唯一的零点, 故选B.5. （3分）（2012以津）在（2x2-二）5的二项展开式中，x项的系数为（）A. 10 B. - 10C. 40 D. -40【分析】由题意，可先由公式得出二项展开式的通项 1+1=（2工2一工（-二瞑2 5-£（ - 1）%10-3¥,再令 10-3r=1 ,得 r=3 即可 得出x项的系数【解答】解：（2x2 - ） 5的二项展开式的通项为Tr+kCgaJ） 5 r（_§=cg25-qi）q10一次令 10- 3r=1 ,得 r=3故x项的系数为C%“-" - 1尸=40 5A.T25B.25C.

12、25D.2425【分析】直接利用正弦定理以及二倍角公式，求出sinB , cosB,然后利用平方故选D （3分）（2012以津）在 ABC中，内角A, B, C所对的边分别是a, b, c.已知 8b=5c, C=2B 则 cosC=(第11页(共28页)关系式求出cosC的值即可.【解答】解：因为在 ABC中，内角A, B, C所对的边分别是a, b, c,已知8b=5c,C=2B所以 8sinB=5sinC=5sin2B=10sinBcosB所以B为三角形内角，所以Be (0,所以 sinB= 1 -5cosC=2555 25-7所以 sinC=sin2B=2 = x-=±l故选

13、：A.7. （3分）（2012以津）已知ABCJ等边三角形，AB=2设点P, Q满足而二X屈, 同二S-，正,入e r若而赤二-Z，贝U人=（）A. g B.? C. 1 孚 D.二:返【分析】根据向量加法的三角形法则求出而行/千正:正+（L 1）菽， 行二瓦+入标进而根据数量积的定义求出BQ 后5再根据的屈=-1即可 求出入.【解答】解：二总，而二（1 人正，入CRBQ=MAQ=BA（1 -记 百二五十万二示+人蛆; ABE等边三角形，AB=2底济氤不+入威五+ （1-入）硬呵诙（1-覆）菽标=2X2Xcos60° + 入 X2X2Xcos180° + （1-入）X2X2

14、Xcos180° + 入（1-入） X2X2Xcos60°=2 - 4 入 +4 入-4+2 入-2 人,=-2 入 2+2 入-2,fBG-CP=- 4入 2-4入 +1=0（2 入 T） 2=0入2故选A8. （3 分）（2012以津）设 m, nCR,若直线（m+ x+ （n+1） y-2=0与圆（xT） 2+ （y-1） 2=1相切，则m+n的取值范围是（a. 11+HA B. （ -8, 1 -立U1+7j, +oo）C. 2-2后，2+2/2 D.（-巴 2-2U2+2也 +）【分析】由圆的标准方程找出圆心坐标和半径 r,由直线与圆相切时，圆心到直 线的距离等于

15、圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后利用基 本不等式变形，设m+n=x得到关于x的不等式，求出不等式的解集得到 x的范 围，即为m+n的范围.【解答】解：由圆的方程（x-1） 2+ （y-1） 2=1,得到圆心坐标为（1, 1）,半 径 r=1 , 直线（m+D x+ （n+1） y-2=0与圆相切, 圆心到直线的距离d= 口=1,整理得： m+n+1=mna .一 i II 2 13 - 2、2 ,、一 一一2 设 m+n=x 贝1有 x+1<-,即 x - 4x- 4>0.x2 4x 4=0 的解为：x1=2+2/2, x2=2 - 2衣， .不等式变形得：（x-

16、2-2%耳）（x-2+2历） 0,解得：x2+2%或x02-班，贝U m+n的取值范围为（8, 2-2圾U 2+2收，+8）.故选D二、填空题9. （3分）（2012以津）某地区有小学150所，中学75所，大学25所.先采用分层抽样的方法从这些学校中抽取 30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取18所学校，中学中抽取 9所学校.【分析】从250所学校抽取30所学校做样本，样本容量与总体的个数的比为 3: 25,得到每个个体被抽到的概率，根据三个学校的数目乘以被抽到的概率，分 别写出要抽到的数目，得到结果.【解答】解：某城地区有学校150+75+25=250所，现在采用分层抽样方法从所有学校

17、中抽取 30所，每个个体被抽到的概率是口 =,250 25某地区有小学150所，中学75所，大学25所.用分层抽样进行抽样，应该选取小学 Ax 150=18所，选取中学R-X 75=9所.2525故答案为：18, 9.10. （3分）（2012以津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m）,则该几何体的体积为 18+9万 m.正视图侧视图俯视图第17页（共28页）【分析】由三视图可知该几何体为上部是一个长方体，长、宽、高分别为6, 3,1 （单位：mj）,下部为两个半径均为 三的球体.分别求体积再相加即可.【解答】解：由三视图可知该几何体为上部是一个长方体， 长、宽、高分别为6,3, 1 （单位

18、：mj）,体积 6X 3X 1=18.卜部为两个半径均为|的球体，体积2xi|L?仔）3=9 几故所求体积等于18+9冗 故答案为：18+9兀11. （3分）（2012次津）已知集合 A=xCR|x+2| <3,集合 B=x C R| （x - mj）（x 2） < 0,且 AC B= （ - 1, n）,则 m= - 1 , n= 1.【分析】由题意，可先化简A集合，再由B集合的形式及AH B=（-1, n）直接 作出判断，即可得出两个参数的值.【解答 解：A=xCR|x+2| <3=x C R| 5<x<1, 又集合 B=xC R| (x-mj) (x2) &

19、lt; 0 , AH B= ( 1, n).如图由图知m=- 1, n=1, 故答案为-1,1.212. （3分）（2012以津）已知抛物线的参数方程为 二2Pt （t为参数），其中 ky=2ptp>0,焦点为F,准线为l .过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E.若|EF|=|MF| , 点M的横坐标是3,则p= 2 .【分析】把抛物线的参数方程化为普通方程为y2=2px,则由抛物线的定义可得及|EF|=|MF| ,可得 ME四等边三角形，设点M的坐标为（3, m ）,则点E （- m）,把点M的坐标代入抛物线的方程可得 p=*.再由|EF|二|ME| ,解方程 可得p的值.【解答】解：

20、抛物线的参数方程为,卡尊L（t为参数），其中p>0,焦点为F, Ly=2pt准线为l ,消去参数可得x=2p化简可得y2=2px,表示顶点在原点、开口向右、对称轴是 x轴的抛物线,故焦点F,0）,准线l的方程为x=-则由抛物线的定义可得|ME|二|MF| ,再由|EF|二|MF|,可得 MEF%等边三角形.设点M的坐标为（3,m ）,则点E （心把点M的坐标代入抛物线的方程可得 m2=2X pX3,2再由 |EF|二|ME| ,可得 p2+m2=(嘴)即p=I 22 II),即 p2+6p=9+, +3p,解得 p=2,或 p= 6（舍去），13. （3分）（2012以津）如图，已知 A

21、B和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切E,与AB相线与AC的延长线相交于点D,过点C作BD的平行线与圆相交于点交于点F, AF=3, FB=1, EF=l,则线段CD的长为宜.23 -【分析】由相交弦定理求出FC,由相似比求出BD,设DC=x则AD=4k再由切割线定理，bD=cd?a际解.【解答】解：由相交弦定理得到中 AF: AB=FC BD,即 3: 4=2:AF?FB=EF?FC即 3X1 XFC, FC=2,在AABDBR BD2,3设DC=x则AD=4x再由切割线定理,故答案为：一bD=CD?AD 即 X?4x=（三）2, x=l 31-114. （3分）（2012以津）已知函数y1丁

22、一 1 的图象与函数y=kx-2的图象恰 x - 1有两个交点，则实数 k的取俏范围是（0. 1） U （1. 4）.I y2 - 11【分析】先化简函数的解析式，在同一个坐标系下画出函数y二一二的图象尺一 1与函数y=kx-2的图象，结合图象，可得实数 k的取值范围.【解答】解：y=x- 1'-I H+1 I:<<1k+1k>1函数y=kx - 2的图象包过点（0, - 2）. ris2 -111在同一个坐标系下回出函数 y=的图象与函数y=kx-2的图象结合图象可实数k的取值范围是(0, 1) U (1, 4)故答案为：(0, 1) U (1, 4)三、解答题15

23、. (2012以津)已知函数 f (x) =sin (2x+-) +sin (2x-) +2cos2x 1,33x£ R.(1)求函数f (x)的最小正周期；(2)求函数f (x)在区间-千，子上的最大值和最小值.【分析】(1)利用正弦函数的两角和与差的公式与辅助角公式将f (x) =sin(2xI+sin(2x+2cos2x- 1 化为 f (x) 二：sin(2x+),即可求得函数f (x)的最小正周期；(2)可分析得到函数f (x)在区间-工，三上是增函数，在区间三，二上是减函数，从而可求得f (x)在区间-二，?上的最大值和最小值.44【解答】解：(1) f (x ) =si

24、n2x?cos ?+cos2x?sin - +sin2x?cos JJJ兀cos2x?sin +cos2x=sin2x+cos2x =/2sin (函数f (x)的最小正周期T兀=兀.(2)二函数f (x)在区间-亍，专上是增函数，在区间g,1-上是减函数，又 f (-) =-1, f (工)=/2, f (工)=1, 484函数f (x)在区间-工上的最大值为也，最小值为-1. 4416. (2012以津)现有4个人去参加娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供 参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自 己去参加哪个游戏，掷出点数为 1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大

25、于 2的 人去参加乙游戏.(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率;(3)用X, Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记 己二|X-Y|,求 随机变量己的分布列与数学期望EE .一，去参加乙游戏【分析】依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为 的人数的概率为y 设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件 A (i=0, 1, 2, 3, 4),故P(A)=破仔)令)(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为 P (A2);(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏”为事件 B,则B=AUA,利用互

26、斥事件的概率公式可求；(3)己的所有可能取值为0, 2, 4,由于A与A3互斥，A与A4互斥，求出相应去参加乙的概率，可得士的分布列与数学期望.【解答】解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为 游戏的人数的概率为 设”这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件 A (i=0 , 1, 2, 3, 4),P (A)t 4-1侧号)号)27(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为 P (A2)(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏”为事件B,则B=AUA4, .P (B) =P (A3) +P (A4) =C3(3)己的所有可能取值为0, 2, 4,由于A与A互斥，A与A

27、互斥，故P(己=0)二P (AOP (己=2) =P (A) +P (A3)过P (己=4)=P (A) +P (A)4181第21页(共28页) E的分布列是17814081数学期望E.二二十二上(3J.318117. (2012以津)如图，在四棱锥 P-ABCD, PAL 平面 ABCD Ad AD, AB±BC, / BAC=45 , PA=AD=2 AC=1(1)证明：PC!AR(2)求二面角A- PC- D的正弦值;(3)设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30° ,求AE的长.建立空间直角坐标系，通过得出 >'?0,证出PCX AD

28、.(2)求出平面PCD平面PCD的一个法向量，利用两法向量夹角求解.(3)设 E (0, 0, h),其中 hC0 , 2,利用 cos< 而;F>=cos30° 二健，得 出关于h的方程求解即可.解法二：(1)通过证明ADL平面PAC#出PC!AD.(2)作AFU PC于点H,连接DH /AHM二面角A- PC- D的平面角.在 RTX DAHfr求解(3)因为/ADC：45° ,故过点B作CD的平行线必与线段 AD相交，设交点为F, 连接BE, EF,故/EBF(或其补角)为异面直线8£与CD9f成的角.在 EBF中， 因为EF< BE,从而

29、/ EBF=30 ,由余弦定理得出关于 h的方程求解即可.【解答】解法一：如图，以A为原点，建立空间直角坐标系，则 A (0, 0, 0), D 0, 0), C (0, 1, 0), B L 0), P (0, 0, 2).(1)证明：易得 PC= (0, 1, - 2), 15= (2, 0, 0),于是正面=0,所以 PC ±AD(2)解：PC= (0, 1, - 2), CD= (2, -1, 0),设平面 PCD勺一个法向量为 W =(x,y, z),则n-PC-0nCD=O取z=1,则以信=(1, 2, 1).又平面PAC的一个法向量为二二(1, 0, 0),于是cos

30、：= F巴 一泥,sin1="m ImHnl 6 M口 &所以二面角A-PC- D的正弦值为四.h).由而=(2,6(3)设 E (0, 0, h),其中 hC 0 , 2,由此得应二(二,2T, 0),故 cos丽丁而_踊而 彳3=: =匕|BE | l-CD I xV5 V10+20H2所以上=不=cos30。二厚，解得h再g,即AE=. 710+2 Oh221010解法二：（1）证明：由PZ平面ABCD可得PAaAR又由 AD±AC, PAH AC=A 故 ADL平面 PAC又PC?平面PAC所以PCX AD.（2）解：如图，作 AHL PC于点H,连接DH由

31、PCX AR PCX AH 可得 PCL平面 ADH因此 DHL PC,从而/ AHD为二面角 A-PC- D的平面角.在 RTA PAC中，PA=Z AC=1,所以 AHhV5,由（1）知，ADL AH 在 RTX DAH中,DH= ,1 1,因止匕sin / AHDDH.所以二面角A- PC- D的正弦第25页(共28页)&（3）解：如图，因为/ ADC：45° ,故过点B作CD的平行线必与线段AD相交, 设交点为F,连接BE, EF,故/EBF（或其补角）为异面直线BE与CD所成的角. 由于 BF/ CD 故/ AFB玄 ADC 在 R隹DAC中，CD晶，sin ZAD

32、C=-,故 sinz afb=L .V5在AAFB中，由BFABsinZFAB -ginZAFBAB堂，sin /FAB=sin135。二半BF=2由余弦定理，bF=aB+A/ 2ABAFco“ FA0得出设AE寸在RTA EAF中，EF=在 RT2 BAE中,在4EBF中，因为 EF< BE,从而/ EBF=30 ,由余弦定理得到，cos30。二2的BF解得h鲁公10即 ae=L .1018. (2012以津)已知an是等差数列，其前n项和为bn是等比数列，且 a二bi=2, a4+b4=27, &- b4=10.(1 )求数列a n与b n的通项公式；*、(2)记 Tn=an

33、bi+a 也+ab, nCN,证明：Tn+12= 2an+10bn (nCN).【分析】(1)直接设出首项和公差，根据条件求出首项和公差，即可求出通项.（2）先写出Tn的表达式；方法一：借助于错位相减求和; 方法二：用数学归纳法证明其成立.【解答】解：（1）设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q,由 ai=bi=2,得 a4=2+3d, b4=2q3, S4=8+6d,由条件 a4+fck=27, S4 b4=10,得方程组'2+3d+2作27 ,解得苏3力+6d-2q%io q=2M an=3n- 1, bn=2n, n N .D;(2)证明：方法一，由(1)得,Tn=2an+22

34、an i+23an-2+- +2nai;2T产Tan+2&i+ - +2&+2"&；由得，Tn=-2 (3n- 1) +3X2+3X2+ -+3X2n+2n+2=12U-2 JL l)+2n+2 6rl+2 1-2=10X2n-6n- 10;而2an+10b12= 2 (3n- 1) +10X2n- 12=10X2n-6n- 10;故 Tn+12=-2a+10b (n N).方法二：数学归纳法，当 n=1 时，Ti+12=abi+12=16, - 2ai+10bi=16,故等式成立，假设当n=k时等式成立，即Tk+12=- 2ak+10b<,则当n=k+

35、1时有，Tk+i = &+1 bi+akbz+a -ib3+,一+abk+1=ak+ibi+q (akbi+ak-ib2+- - +abk)=ak+ibi+qT=ak+ibi+q ( - 2ak+10l> - 12)2ak+i 4 (ak+i- 3) +10bk+i- 242ak+i+10b<+1- 12.即 Tk+i+12=- 2ak+i+10b<+i,因此 n=k+1 时等式成立.对任意的nCN, T+12=-2&+10a成立.19. （2012以津）设椭圆2 ,2 a2 b£二1缶>100）的左右顶点分别为 A, B,点P在椭圆上且异于A

36、, B两点，O为坐标原点.（1）若直线AP与BP的斜率之积为-求椭圆的离心率;2（2）若|AP|=|OA| ,证明直线OP的斜率k满足|k| >/j.【分析】（1）设P（Xo, y。），贝占+% J b2利用直线AP与BP的斜率之积为-1即可求得椭圆的离心率;（2）依题意，直线OP的方程为冥 £ k?x 2y=kx,设 P (xo, kx。)，贝 1-十一二 1 ,进步可得2 ,22% J工口2+2a a<1,利用AP|二|OA|, A (-a, 0),可求得 k 广二从第27页（共28页）而可求直线OP的斜率的范围.22【解答】（1）解：设P （xo, y。），+乌二1

37、” b2的左右顶点分别为A, B, .A ( 一 a,0), B (a, 0):椭圆直线AP与BP的斜率之积为-2，代入并整理得一I；. I. 丫。*。，. a2=2b22 a2 - b2 1C 二二2 b2【口 k :a b.椭圆的离心率为（2）证明：依题意，直线OP的方程为y=kx,设P （x。，kx。）2 ,22a>b>0, "金0,<1a a.二（L+k2） k/M a2®. |AP|=|OA| , A （-a, 0）,，I 2. j a_2工 + aj +k x口 一己, , （L+k?） x/+2 已町=0, _ 2a 2口 1 + J_ 92

38、代入得（l+k2）（1）<”. k2>3直线OP的斜率k满足的20. (2012以津)已知函数f (x) =x-ln (x+a)的最小值为0,其中a>0.(1)求a的值;(2)若对任意的x 0 , +oo),有f (x) < kx2成立，求实数k的最小值；(3)证明：£ - ln(2n+l)<2 (nEN).i=l21 - 1【分析】(1)确定函数的定义域，求导函数，确定函数的单调性，求得函数的最小值，利用函数f (x) =x-ln (x+a)的最小值为0,即可求得a的值；(2)当 k<0 时，取 x=1,有 f (1) =1-ln2 >0,故 k<0 不合题意；当 k>0时，令 g (x) =f (x) - kx2,即 g (x) =x-In (x+1) -