两条直线所成的角

1、两条直线所成的角、教学目标（一 ） 知识教学点一条直线与另一条直线所成角的概念及其公式，两直线的夹角公式，能熟练运用公式解题（二 ） 能力训练点通过课题的引入，训练学生由特殊到一般，定性、定量逐层深入研究问题的思想方法；通过公式 的推导，培养学生综合运用知识解决问题的能力（三 ） 学科渗透点训练学生由特殊到一般，定性、定量逐步深入地研究问题的习惯二、教材分析1 重点： 前面研究了两条直线平行与垂直， 本课时是对两直线相交的情况作定量的 研究 两直线所成的角公式可由一条直线到另一条直线的角公式直接得到，教学时要讲请 l1、 l2的公式的推导方法及这一公式的应用2，难点：公式的记忆与应用3疑点：推

2、导 l1、l2的角公式时的构图的分类依据三、活动设计分析、启发、讲练结合四、教学过程（一 ） 引入新课我们已经研究了直角坐标平面两条直线平行与垂直的情况，对于两条相交直线，怎样根据它们的 直线方程求它们所成的角是我们下面要解决的问题（二 ）l1到 l2的角正切两条直线11和 12相交构成四个角，它们是两对对顶角.为了区别这些角，我们把直线 11依逆时针方向旋转到与 12重合时所转的角，叫做 11到 12的角.图 1-27 中，直线 11到 I2的角是91，12到 11的角是92（01+92=180 ）.11到 12的角有三个要点：始边、终边和旋转方向.现在我们来求斜率分别为k1、k2的两条直线

3、 11到 12的角，设已知直线的方程分别是图1-311 1: y=kix+bil2: y=k2x+b2如果1+kik2=0，那么9=90,下面研究1+kik2工 0 的情形.由于直线的方向是由直线的倾角决定的，所以我们从研究9与l1和 l2的倾角的关系入手考虑冋题.设I1、I2的倾斜角分别是a1和a2（图 1-32），甲图的特征是 I1到 l2的角是 I1、I2和 X轴围成的三角形的内角；乙图的特征是 I1到 I2的角是 I1、I2与 X 轴围成的三角形的 外角.tga仁 k1,tga2=k2.T9=a2-a1(图 1-32),或9=n-(a1-a2)=n+(a2-a1),tg9=tg(a2-

4、a1).或tg9=tgn(a2-a1)=tg(a2-a1).可得tg0=l+tgdatga ieq x(上面的关系记忆时，可抓住分子是终边斜率减始边斜率的特征进行记忆.（三）夹角公式从一条直线到另一条直线的角，可能不大于直角，也可能大于直角，但我们常常只需要考虑不大 于直角的角（就是两条直线所成的角，（四）例题解：ki=-2， k2=1.1 +kkj 1 +1 * (- 2) 0 =arctg3宀71 34.本例题用来熟悉夹角公式.例2 已知直线 11： Aix+Biy+Ci=O 和 I2：A2x+B2y+C2=0 （Bi工0、 B2工0、 AiA2+BiB2工 0）， Ii到 I2的角是0，

5、求证：证明：设两条直线li、12 的斜率分别为 ki、k2,则A.丘盲kA?简称夹角）就可以了，这时可以用下面的公式例1求直线 Sy = 2x+3s3l3i y=x-的夹角.ALA2+BB图1-32A|A3-AgBj这个例题用来熟悉直线l1到 12的角.例3 等腰三角形一腰所在的直线 I1的方程是 x-2y-2=0，底边所在的直线 I2的方程是x+y-1=0，点（-2，0）在另一腰上，求这腰所在直线 13的方程.解：先作图演示一腰到底的角与底到另一腰的角相等，并且与两腰到底的角与底到另一腰的角相 等，并且与两腰的顺序无关.设I1、I2、I3的斜率分别是 k1、k2、k3，I1到 I2的角是91

6、，I2到 I3的角是92,则因为11、12、13所围成的三角形是等腰三角形，所以91=92.k5+1因为I3经过点（-2，0），斜率为 2,写出点斜式为解得k3=2.1 + k%2八Utg92=tg91=-3.y=2x-(-2)即2x-y+4=0 .这就是直线13的方程.讲此例题时，一定要说明：无须作图，任一腰到底的角与底到另一腰的角都相等，要为锐角都为 锐角，要为钝角都为钝角.(五)课后小结(1) 11到 l2的角的概念及 l1与 12夹角的概念；(2) 11到 l2的角的正切公式；(3) 11与 l2的夹角的正切公式；等腰三角形中，一腰所在直线到底面所在直线的角，等于底边所在直线到另一腰

7、所在直线的角.五、布置作业1.(教材第 32 页，1. 8 练习第 1 题)求下列直线 l1到 l2的角与 l2到 l1的角:1(l)d y=-x+2fla y = 3x + 7.片：x-y = 5, 1和+2y- 3 = 0.解 k厂3,询i到 j 的角为则 9仁 45.8n 3打二h幅二丄设1】到1：的角为 X 贝Ql2至 U l1的角92=n-91=arctg3 .2.(教材第 32 页，1. 8 练习第 2 题)求下列直线的夹角:9tg(2-y =5, y = 4.(3)5x3y-9, 6x + 10y+7 = 0.辄(1! =3, k2二/ ki k2=-1 ,11与 12的夹角是 90.k 仁 1,k2=0.两直线的夹角为45 .533.(习题三第 10 题)已知直线 l 经过点 P(2, 1)，且和直线 5x+2y+3=0 的夹角为 45o, 求直线 l 的方程.W：己知直线的斜率i殳所求直线的斜率为 S 依题意有:7?.解之有妬=-号或 = -t所以直线方程为(3)kr= 此li与 l2的夹角是 90.即3x+7y-13=0 或 7x-3y-11=0 .4等腰三角形一腰所在的直线 11的方程是 2x-y+4=0，底面所在的直线 l2的方程是x+y-1=0，点(-